專題15 三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（解析版）

專題15三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。【模型背景】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即?！灸Ｐ徒庾x】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023上·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點P在線段上運動時，的最小值為．【答案】12【分析】根據(jù)題意易得，則有，過點P作于點E，進(jìn)而可得，當(dāng)取最小時，即為最小，則有當(dāng)點B、P、E三點共線且時最短，進(jìn)而可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過點P作于點E，如圖所示：∴，∴，∴當(dāng)取最小時，即為最小，∴當(dāng)點B、P、E三點共線時且時最小，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∴最小值為；故答案為：12．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，兩點之間線段最短，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·山東日照·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，，，點P是對角線上的動點，連接，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4【答案】B【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進(jìn)而得出最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：過點A作，過點D作于點M，交于點P，∵在矩形中，，，∴，∴，則，∴，∴，．即的最小值為6．故選B．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．例3．（2023·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為A．4 B．5 C． D．解：如圖，過點作于點，過點作于點，連接交于點．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】連接AC，作，證明當(dāng)取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，再利用勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接AC，作∵是正方形且邊長為4，∴，，，∵，∴，∴，∴當(dāng)取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，解得：，設(shè)，則，∵，∴，解得：∴，故選：D【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是證明當(dāng)取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG．例5．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為______．【答案】【分析】過點作關(guān)于的平行線，過點作垂直于該平行線于，可將轉(zhuǎn)化為，此時就等于，當(dāng)共線時，即為所要求的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點作關(guān)于的平行線，過點作垂直于該平行線于，，，，，，，，，當(dāng)，，三點共線，即在圖中在位置，在位置的時候有最小，當(dāng)，，三點共線時，有最小值，此時，的最小值為，故答案為．【點睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換．例6．（2023·山東·九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．例7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

【答案】【分析】過點C作，垂足為D，取，即可說明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)一步求出，繼而將轉(zhuǎn)化為，推出點D在以為直徑的圓上，從而可知當(dāng)為等腰直角三角形時，最大，再求解即可．【詳解】解：如圖，過點C作，垂足為D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時，最大，∵，∴點D在以為直徑的圓上，∴當(dāng)D平分時，點D到的距離最大，即高最大，則面積最大，此時，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．

．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為的長．例8．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．【答案】4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．例9．（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）點G（，），最小值為；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出點A和點B的坐標(biāo)，令x=0，可求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)點D時AC的中點，可求出點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉(zhuǎn)化為求線段長度的最大值，利用點坐標(biāo)表示線段長度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉(zhuǎn)換為共線的線段長度．【詳解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D為AC的中點，∴D（2，2），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點B和點D，，解得，∴直線BD的解析式為y＝x+1．（2）如圖所示，過點P作y軸的平行線，交BE交于點H，設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+t+4），則點H為（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時，PH最大，此時點P為（，），當(dāng)PH最大時，△PDF的面積也最大．∵直線BD的解析式為y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴點F（0，1），在Rt△BFO中，根據(jù)勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝過點E作x軸的平行線與過點G作y軸的平行線交于點M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG?sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，當(dāng)P、M、G三點共線時，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，∴當(dāng)P、M、G三點共線時，PG﹣MG最小，此時點G與點H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴點E（3，），∴PM＝﹣＝，∴點G（，），∴點G（，），PG﹣GE的最小值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)求最值問題，線段的和差求最值問題，找等腰三角形的分類討論，綜合性較強(qiáng)．課后專項訓(xùn)練1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且，點P是線段BD上的一個動點，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小為MH，再算出MC的長度，在中利用三角函數(shù)即可解得MH．【詳解】解：過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，∵菱形中，，∴，為等邊三角形，∴，，∴在中，，∴，∴此時得到最小值，，∵，，∴，又∵，∴,故選：B.【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時的P點是解題關(guān)鍵．2．（2023·廣東中山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的對角線，點E為對角線上的一動點，則的最小值為_________．【答案】3【分析】過點作的垂線，垂足為，過點作，根據(jù)已知條件求得的長，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，當(dāng)時，最小，股定理求得的長即可求解．【詳解】如圖，過點作的垂線，垂足為，過點作， 中，，如圖，當(dāng)時，最小，最小值為的最小值為．故答案為：【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求線段和的最小值，垂線段最短，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江寧波·九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．【答案】6【分析】先求出點A，點B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點B關(guān)于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，作點B關(guān)于OA的對稱點，連接，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點C的位置是解題的關(guān)鍵．4．（2023.成都市九年級期中）如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于．解：如圖，過點作，交的延長線于點，，當(dāng)點，點，點三點共線且時，有最小值，即最小值為，故答案為：5．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．【答案】【分析】“胡不歸模型”，以BF為斜邊構(gòu)造含30°角的直角三角形，結(jié)合∠B＝30°，即把Rt△ABC補(bǔ)成等邊△ABP，過F作BP的垂線FH，根據(jù)垂線段最短得，當(dāng)G、F、H成一直線時，GF+FB最短，又根據(jù)直角所對的弦是直徑，可得點G在以AC為直徑的圓上，取AC的中點O，連接OG，過點O作OQ⊥BP于點Q，據(jù)此解題．【詳解】解：如圖，延長AC到點P，使CP=AC，連接BP，過點F作FH⊥BP于點H，取AC的中點O，連接OG，過點O作OQ⊥BP于點Q，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，∴AC=CP=4，AP=8，BP=AB=8，∴△ABP是等邊三角形，∴∠FBH=30°，在Rt△FHB中，F(xiàn)H=FB，∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時，GF+FB=GF+FH取得最小值，∵AE⊥CD，∴∠AGC=90°，∵O為AC的中點，∴OA=OC=OG=AC，∴A、C、G三點共圓，圓心為O，即點G在⊙O上運動，∴當(dāng)點G運動到OQ上時，GF+FH取得最小值，∵在Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=6，sinP=，∴，∴GF+FH的最小值為，即GF+FB的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了含30°直角三角形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，垂直平分線性質(zhì)，點到直線距離，圓周角定理，最短路徑，解題關(guān)鍵是找到點G運動到什么位置時，GH最小，進(jìn)而聯(lián)想到找出點G運動路徑再計算．6．（2023上·四川成都·八年級校考期中）已知在等腰中，，，，點是直線上一點，連接，在的右側(cè)做等腰，其中，，連接，則的最小值為（用含的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】如圖所示，過點作，過點作，延長交于點，可證，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系可得，，，當(dāng)點三點共線時，的值最小，在中，可得，可證是等腰三角形，為的中點，可得，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作，過點作，延長交于點，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，，∵，∴，在中，，，∴，，∴，∴，當(dāng)點三點共線時，的值最小，∴當(dāng)點三點共線時，∵，∴點于點重合，如圖所示，

在中，，則，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴是等腰三角形，，∴為的中點，且，，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角的判定和性質(zhì)，勾股定理，含角直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合，掌握以上知識，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是上一個動點，連接，過點C作的垂線l，過點D作交l于點F，過點D作于點G，，點H是中點，連接，則的最小值為．【答案】/【分析】證明，得出，再證，求出，所以，即，可得．作的垂直平分線，交的延長線于點T，連接，過點E作于點Q，求出，所以．求的最小值，即為求的最小值，過點H作于點J，即為所求最小值．設(shè)，根據(jù)勾股定理可得出，所以，由，可求得的長度．【詳解】解：在矩形中，，∴，∵于點C，∴，∴．∴．同理可證，∴，∴，∵，∴，∴，∵于點G，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴．如圖，作的垂直平分線，交的延長線于點T，連接，過點E作于點Q，∴，∴，即．∴．∴，∴求的最小值，即為求的最小值，過點H作于點J，HJ即為所求最小值．設(shè)，則，在中，由勾股定理可知，，解得，∴．如圖，連接，，∵點H是的中點，∴，∵，∴，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積等相關(guān)知識，根據(jù)題意作出輔助線，將所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求垂線段的長度是解題關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點共線的形式是解題的關(guān)鍵.9．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點P是對角線AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進(jìn)而得出PA+PD最小值，進(jìn)而得出答案．【詳解】過點A作∠CAN=30°，過點D作DM⊥AN于點M，交AC于點P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，則∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此時PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．10．（2023·四川眉山·一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．【答案】【分析】先證明四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，進(jìn)而求出，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時，為最小，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，進(jìn)而求解即可．【詳解】兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，即，四邊形ABCD是平行四邊形，，，四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，如圖，，，，，，，，，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖，，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時，為最小，如圖，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．11．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，菱形中，，，點、分別為線段、上的動點，點為邊的中點，連接，．(1)求的長；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．

【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明是等邊三角形，即可求解；（2）延長至，使得，在上取，連接，證明，可得，，證明四邊形是平行四邊形，可得，即可得出，進(jìn)而證明，即可得證；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點共線時，，此時取得最小值，為的中點，當(dāng)為的中點時（或者設(shè)其他點為中點，再證明為中點），過點作于點，勾股定理解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵菱形中，，∴，∵，∴是等邊三角形，又∵，∴；（2）解：如圖所示，延長至，使得，在上取，連接，

在與中，∴∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，設(shè)，則在中，，∴，∴∵∴，∴在中，∴，∴，∴；（3）如圖所示，連接，過點作于點，

將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點共線時，，此時取得最小值，∵是等腰直角三角形，∴，∵三點共線∴，∴，∵為的中點，當(dāng)為的中點時，∴，，則，∴，，∵∴，∵∴又，∴，∴，∴當(dāng)是的中點時，三點共線，過點作于點，∴，，∴，在中，，∵，∴，即的最小值為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（2023·山東濟(jì)寧·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關(guān)于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達(dá)點后停止運動．當(dāng)點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②和走完全程所需時間為．【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）①構(gòu)造直角三角形求即可；②先確定點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間．【詳解】（1）四邊形是矩形，，與交于點O,且關(guān)于對稱，，，四邊形是菱形；（2）①連接,直線分別交于點,交于點，關(guān)于的對稱圖形為，，在矩形中，為的中點，且O為AC的中點，為的中位線，

，同理可得：為的中點，，

，；②過點P作交于點，由運動到所需的時間為3s，由①可得，，點Q以的速度從P到A所需的時間等于以從M運動到A，即：，由O運動到P所需的時間就是OP+MA和最小.如下圖，當(dāng)P運動到,即時，所用時間最短.，在中，設(shè)，，，解得：，，和走完全程所需時間為．13．（2021·資陽市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線上位于直線上方的一點，與相交于點E，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點D是拋物線的頂點，將拋物線沿方向平移，使點D落在點處，且，點M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點，軸交直線于點N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r，求的長．【答案】（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點的坐標(biāo)，代入直線的解析式求解即可得；（3）先根據(jù)求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設(shè)點的坐標(biāo)，從而可得點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短、垂線段最短求解即可得．【詳解】解：（1）由題意，將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，解得或，，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，解得，，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，將點代入得：，解得或，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，綜上，點的坐標(biāo)為或；（3）二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，，，解得，，則平移后的二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，如圖，連接，過點作于點，過點作于點，交于點，連接，，軸，，，由兩點之間線段最短得：的最小值為，由垂線段最短得：當(dāng)點與點重合時，取得最小值，此時點與點重合，則點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)相等，即，解得，則，，．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識點，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．14．（2020·湖南·中考真題）已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個交點為，點是x軸正半軸上的動點．（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個交點為該拋物線的頂點E時，求k，b，c的值及拋物線頂點E的坐標(biāo)；（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r，求b的值．【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3【分析】（1）由題意可知直線經(jīng)過，因而把代入直線即可求出k的值，然后把代入拋物線得出含b的代數(shù)式表達(dá)c，再根據(jù)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個交點得出拋物線的頂點坐標(biāo)E，并代入直線，解方程即可求出b的值，代入即可求解；（2）將點D的橫坐標(biāo)代入拋物線（b，c為常數(shù)，），根據(jù)點A的坐標(biāo)得到含b的代數(shù)式表達(dá)c，求出點D的縱坐標(biāo)為，可知點D在第四象限，且在直線的右側(cè)，取點，過點D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交于點M，過點D作QH⊥x軸于點H，則點H，在Rt△MDH中，可知，由題意可知點，用含b的代數(shù)式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案．【詳解】解：（1）∵直線經(jīng)過，∴把代入直線，可得，解得；∵拋物線（b，c為常數(shù)，）經(jīng)過，∴把代入拋物線，可得，∵當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個交點為該拋物線的頂點E，∴頂點的坐標(biāo)為，把代入直線，可得，∴，解得，∵，∴，∴，∴頂點的坐標(biāo)為．（2）∵點D在拋物線（b，c為常數(shù)，）上，且點D的橫坐標(biāo)為，∴，∵在拋物線（b，c為常數(shù)，）上，∴，即，∴，可知點D在第四象限，且在直線的右側(cè)．∵，∴可取點，如圖2，過點D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交于點M，∴，得，則此時點M滿足題意，過點D作QH⊥x軸于點H，則點H，在Rt△MDH中，可知，∴，∵點，∴，解得：，∵，∴，∴．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識點，解題的關(guān)鍵是學(xué)會使用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．15．（2022·四川成都·中考模擬）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為．（1）若點的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點，使得以，，為頂點的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止，當(dāng)點的坐標(biāo)是多少時，點在整個運動過程中用時最少？【答案】（1）；（2）或；（3）F．【分析】（1）根據(jù)點在曲線上點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，依次求出的值得到直線的解析式、點D的縱坐標(biāo)、的值得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可；（3）過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求，理由是，由于點M在線段AF上以每秒1個單位的速度運動，在線段FD上以每秒2個單位的速度運動，從而根據(jù)直線BD的傾斜角是30°知道，又根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知點F即為所求，從而根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求解即可．解：（1）拋物線，令，解得或，，．直線經(jīng)過點，，解得，直線解析式為：．當(dāng)時，，，．點，在拋物線上，，．拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．即．（2）由拋物線解析式，令，得，，．因為點在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是或．①若，則有，如答圖所示．設(shè)，過點作軸于點，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點重合，舍去），．，，即，解得：．②若，則有，如答圖所示．設(shè)，過點作軸于點，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點重合，舍去），．，，，解得，，，綜上所述，或．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：，，如答圖，過點作軸于點，則，，，，．過點作軸，則．過點作于點，則．由題意，動點運動的路徑為折線，運動時間：，，即運動的時間值等于折線的長度值．由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段．過點作于點，則，與直線的交點，即為所求之點．點橫坐標(biāo)為，直線解析式為：，，，．綜上所述，當(dāng)點坐標(biāo)為，時，點在整個運動過程中用時最少．方法二：作，，交直線于點，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，最小，點在整個運動中用時為：，，，【點睛】本題考查單動點問題；二次函數(shù)和一次函數(shù)交點問題；曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直線段最短的性質(zhì)；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．（2023上·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）已知為等邊三角形，D是直線上一點，連接．(1)如圖1，若點D在線段上，以為邊向上作等邊，連接．當(dāng)時，求的大?。?2)如圖2，若點D在線段的延長線上，以為邊向上作，使得且，連接交線段于點F．求證：；(3)如圖3，若點D為線段的中點，射線上有一點E，且，為的角平分線，P為上一動點，為上動點，連接，．已知，．直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)的最小值是【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，先證，再證，得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得答案；（2）在線段上截取，連接