第三章 第13講　二次函數(shù)綜合題

1、.第13講二次函數(shù)綜合題12019·煙臺(tái)如圖1，拋物線yax22xc與x軸交于A4，0，B1，0兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線ykx分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D.1求直線和拋物線的表達(dá)式；2動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PDC為直角三角形？請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值；3如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DMMN的值最??？假設(shè)存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由圖1 圖2解：1把A4，0，B1，0

2、代入yax22xc，得解得拋物線的解析式為yx22x.直線ykx過點(diǎn)B，將B1，0代入ykx，得k，直線BD的解析式為yx.2t的值為或或.3存在由題意知，直線EF的解析式為yx，拋物線的對(duì)稱軸為直線x.在拋物線上取點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DNEF于點(diǎn)N，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，圖2過點(diǎn)N作NHDD于點(diǎn)H，此時(shí)，DMMNDN最小，此時(shí)，EOFNHD.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為a，a，即，解得a2，那么N點(diǎn)坐標(biāo)為2，2由D2，4，N2，2可求得直線ND的解析式為yx1.當(dāng)x時(shí)，y，M點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，DMMN的最小值為2.22019·衡陽如圖，直線y2x4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，拋物線過A，B兩

3、點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D.1假設(shè)拋物線的解析式為y2x22x4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；2當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似？假設(shè)存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由解：1如解圖1.圖1y2x22x42x2，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)x時(shí)，y2×43，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為，3；不存在理由如下：MN3，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為m，2m4，那么Dm，2m22m4，PD2m22m42m42m24m.PDMN，當(dāng)PDMN

4、時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即2m24m，解得m1舍去，m2，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，1PN，PNMN，平行四邊形MNPD不為菱形，不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形2存在如解圖2，OB4，OA2，那么AB2，圖2當(dāng)x1時(shí)，y2x42，那么P1，2，PB.設(shè)拋物線的解析式為yax2bx4，把A2，0代入，得4a2b40，解得b2a2，拋物線的解析式為yax22a1x4.當(dāng)x1時(shí)，yax22a1x4a2a242a，那么D1，2a，PD2a2a.DCOB，DPBOBA.當(dāng)AOBBDP90°時(shí)，PDBBOA，即，解得a2，此時(shí)拋物線的解析式為y2x22x4；當(dāng)AOBDBP90°時(shí)，

5、PDBBAO，即，解得a，此時(shí)拋物線的解析式為yx23x4.綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y2x22x4或yx23x4.32019·懷化如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22xc與x軸交于A1，0，B3，0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)1求拋物線的解析式和直線AC的解析式；2請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；3試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？假設(shè)存在，懇求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由 備用圖解：1設(shè)拋物線的解析式為yax1x3，即yax22ax3a，2a2，解得a1

6、，拋物線的解析式為yx22x3.當(dāng)x0時(shí)，yx22x33，那么C0，3設(shè)直線AC的解析式為ypxq，把A1，0，C0，3代入，得解得直線AC的解析式為y3x3.2yx22x3x124，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，4作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接DB交y軸于點(diǎn)M，如解圖1，那么B3，0圖1 圖2MBMB，MBMDMBMDDB，此時(shí)MBMD的值最小，而BD的值不變，此時(shí)BDM的周長最小由D1，4，B3，0易得直線DB的解析式為yx3.當(dāng)x0時(shí)，yx33，點(diǎn)M的坐標(biāo)為0，33存在過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如解圖2.直線AC的解析式為y3x3，直線PC的解析式可設(shè)為yxb.把C0，3代入，得b3，直

7、線PC的解析式為yx3.聯(lián)立解得或那么此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為yxb，把A1，0代入，得b0，解得b，直線PC的解析式為yx.聯(lián)立解得或那么此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或，42019·揚(yáng)州如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，6點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停頓設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒圖1 圖21當(dāng)t2時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為_；2當(dāng)CBQ與PAQ相似時(shí)，求t的值；3當(dāng)t1時(shí)，拋物

8、線yx2bxc經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖2所示那么該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使MQDMKQ？假設(shè)存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由解：1，22當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停頓，且此時(shí)以點(diǎn)P，A，Q為頂點(diǎn)的圖形不能構(gòu)成三角形，0t3.四邊形OABC是矩形，BPAQ90°.當(dāng)CBQ與PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：當(dāng)PAQQBC時(shí)，整理得4t215t90，解得t13舍去，t2.當(dāng)PAQCBQ時(shí)，整理得t29t90，解得t.7，t不符合題意，舍去，t.綜上所述，當(dāng)CBQ與PAQ相似時(shí)，t的值是或.3當(dāng)t1時(shí)，P1，0，Q3，2，把P1，0，Q3，代入拋物線yx2bxc中，得解得拋物線的解析式為yx23x2x2，頂點(diǎn)K，Q3，2，M0，2，MQx軸當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)M的上方時(shí)，作拋物線的對(duì)稱軸，交MQ于點(diǎn)E，如解圖1，KMKQ，KEMQ，MKEQKEMKQ，MQDMKQQKE.設(shè)DQ交y軸于點(diǎn)H，HMQQEK90°，KEQQMH，即，MH2，H0，4由H0，4，Q3，2，易得直線HQ的解析式為y