量子力學(xué)（第2版）課件 14不確定關(guān)系 電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

§3-8不確定關(guān)系知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)不確定關(guān)系的表述不確定關(guān)系的實(shí)質(zhì)和意義不確定關(guān)系的應(yīng)用

能熟練表述不確定關(guān)系。深刻領(lǐng)悟不確定關(guān)系的意義。能利用不確定關(guān)系估算簡(jiǎn)單體系的基態(tài)能量。本節(jié)內(nèi)容1不確定關(guān)系2說(shuō)明1

不確定關(guān)系2說(shuō)明不確定關(guān)系的表述設(shè)、代表兩力學(xué)量算符，且它們的對(duì)易關(guān)系為，那么對(duì)于任意的歸一化波函數(shù)，有其中，是算符或普通的數(shù)；、稱為偏差算符。偏差算符的特征：是厄米算符；偏差平方算符的平均值為1

不確定關(guān)系2說(shuō)明證明引入實(shí)參數(shù)ξ，令則所以又因此考慮到1

不確定關(guān)系2說(shuō)明由不確定關(guān)系可以看出，若，即、不對(duì)易時(shí)，它們的方均偏差不會(huì)同時(shí)為零，其乘積大于某一正數(shù)。舉例在的本征態(tài)下，上式變?yōu)槔?.寫出坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系。

例2.寫出角動(dòng)量算符之間的不確定關(guān)系。

1

不確定關(guān)系2說(shuō)明把經(jīng)典力學(xué)中描述純屬粒子性的力學(xué)量（如坐標(biāo)和動(dòng)量）用于有波動(dòng)性的粒子，不會(huì)完全適用。特點(diǎn)和意義不是由測(cè)量過(guò)程決定的，關(guān)系的存在源于微粒的波動(dòng)性。不確定關(guān)系正確反映了微觀世界的規(guī)律，是人們對(duì)于物質(zhì)世界認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步深化。揭示了用經(jīng)典理論描述微觀粒子的局限性。1

不確定關(guān)系2說(shuō)明一般情況下，兩個(gè)不對(duì)易的力學(xué)量不可能同時(shí)具有確定值，其中一個(gè)力學(xué)量取值越確定，另一個(gè)力學(xué)量取值就越不確定。例如注意：個(gè)別情況下，兩個(gè)不對(duì)易的力學(xué)量算符，也可能同時(shí)有準(zhǔn)確測(cè)量值。例如，在態(tài)下，

，、同時(shí)具有準(zhǔn)確值0，即1

不確定關(guān)系2說(shuō)明微觀粒子的位置和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定值，所以經(jīng)典力學(xué)中軌道概念對(duì)微觀粒子一般是不適用的。按不確定關(guān)系，可以得到電子速度的不確定度為電子速度的不確定度與電子的速度幾乎是同一個(gè)量級(jí)。例如，氫原子中電子速度是106m/s，坐標(biāo)的不確定度是原子的線度，即。對(duì)原子問(wèn)題，經(jīng)典力學(xué)已不適用了，必須采用量子力學(xué)。1

不確定關(guān)系2說(shuō)明h標(biāo)志著微觀規(guī)律和宏觀規(guī)律之間的差異。若h→0，則坐標(biāo)和動(dòng)量以及角動(dòng)量之間都對(duì)易，在其共同的本征態(tài)中同時(shí)具有確定值，量子力學(xué)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)。若h很大，如h=6.63Js，則宏觀物體的坐標(biāo)和動(dòng)量也遵從不確定關(guān)系，即宏觀物體也會(huì)表現(xiàn)出明顯的波動(dòng)性，經(jīng)典力學(xué)就不再存在。1

不確定關(guān)系2說(shuō)明舉例例3.線性諧振子處于基態(tài)，計(jì)算。方法一：1

不確定關(guān)系2說(shuō)明方法二：利用波函數(shù)遞推公式1

不確定關(guān)系2說(shuō)明基態(tài)能量的估算：在態(tài)下，能量的平均值即所以，在運(yùn)算時(shí)常用能量平均值的最小值作為基態(tài)能量的近似。1

不確定關(guān)系2說(shuō)明例4.估算線性諧振子的零點(diǎn)能（基態(tài)能量）。任意態(tài)下，能量平均值由不確定關(guān)系，得能量平均值的最小值令，得所以即線性諧振子的零點(diǎn)能是不確定關(guān)系所要求的最小能量。1

不確定關(guān)系2說(shuō)明ABCD提交14-1下列關(guān)于“不確定關(guān)系”說(shuō)法錯(cuò)誤的是揭示了用經(jīng)典理論描述微觀粒子的局限性。不是由測(cè)量過(guò)程決定的，關(guān)系的存在源于微粒的波動(dòng)性。不適用于經(jīng)典粒子，所以不確定關(guān)系是錯(cuò)誤的。導(dǎo)致微觀粒子的位置和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定值。單選題1分§3-9電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)中心力場(chǎng)的特點(diǎn)中心力場(chǎng)中的定態(tài)薛定諤方程粒子在庫(kù)侖場(chǎng)中的能量和波函數(shù)熟悉中心力場(chǎng)的特點(diǎn)。記住電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的能量表達(dá)式和波函數(shù)的構(gòu)成形式。本節(jié)內(nèi)容1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)中心力場(chǎng)中的哈密頓算符特點(diǎn)：，即勢(shì)能與、無(wú)關(guān)，中心對(duì)稱。經(jīng)典物理

1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

稱為有效勢(shì)能因?yàn)樗哂修D(zhuǎn)動(dòng)參考系中離心力的形式，故U1稱為離心勢(shì)能。1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)量子力學(xué)徑向動(dòng)能離心勢(shì)能形式上與經(jīng)典力學(xué)一致1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)徑向動(dòng)量算符1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)中心力場(chǎng)的薛定諤方程令，代入薛定諤方程中心力場(chǎng)中徑向波函數(shù)滿足的方程ABCD提交14-2粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是

粒子的勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)。粒子的勢(shì)能與徑向無(wú)關(guān)。粒子的勢(shì)能與角向無(wú)關(guān)。粒子的勢(shì)能是一定值。單選題1分1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)庫(kù)侖場(chǎng)徑向波函數(shù)滿足的方程令，則該方程與一維薛定諤方程形式上相似，但有幾點(diǎn)區(qū)別：1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)變量r的范圍是0→∞，而不是-∞→+∞。代替了勢(shì)能U(r)。有效勢(shì)能（如圖所示）為了保證波函數(shù)

有限，必須附加邊界條件

。1粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)能量本征解（E<0）【參閱周世勛《量子力學(xué)教程》（第二版）60-62頁(yè)】合流超幾何多項(xiàng)式其中為玻爾半徑。徑向波函數(shù)1粒子在中心力場(chǎng)中