2024年深圳中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題匯編《解答題二》含答案解析VIP

初中初中04挑戰(zhàn)壓軸題（解答題二）1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O(shè)點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．

2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點處有個吊燈的中點為(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長度．(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓相切，為切點，為上一點，為入射光線，為反射光線，求的長度．(3)如圖③，是線段上的動點，為入射光線，為反射光線交圓于點在從運動到的過程中，求點的運動路徑長．3．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學(xué)們有以下思路：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達(dá)；③請直接寫出當(dāng)結(jié)論成立時k的取值范圍：．1．（2020·河南周口·統(tǒng)考三模）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，過點作直線．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將反比例函數(shù)向下平移1個單位，得函數(shù)__________；函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為___________；（3）將直線向下平移個單位后與函數(shù)的圖象有唯一交點，求的值．2．（2021上·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）某模具廠計劃生產(chǎn)一批面積為，周長為的矩形模具，需要確定的取值范圍．小亮利用圖象的方法解決此問題的過程如下：（1）建立函數(shù)模型，設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為，，由矩形的面積為，得，即；由周長為，得，即．滿足要求的應(yīng)是這兩個函數(shù)圖象在第________象限內(nèi)交點的坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象，如圖，在同一直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)和的圖象．（3）平移直線可以得到函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點時，周長的值為________；②請你直接寫出在直線平移過程中，與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的其它情況及對應(yīng)的周長的取值范圍．（4）得出結(jié)論，若能生產(chǎn)出面積為的矩形模具，則周長的取值范圍為__________．3．（2021上·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獃是關(guān)于x的函數(shù)，若存在時，函數(shù)值，則稱函數(shù)y是關(guān)于x的倩影函數(shù)，此時點叫該倩影函數(shù)的影像點．例如對于函數(shù)，若存在時，函數(shù)值，則，解得，則函數(shù)是倩影函數(shù)，點是函數(shù)的影像點．（1）判斷函數(shù)是否為倩影函數(shù)．如果是，請求出影像點．如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)．①求證：該函數(shù)總有兩個不同的影像點；②是否存在一個k值，使得函數(shù)的影像點的橫坐標(biāo)都為整數(shù)，如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．4．（2024上·寧夏銀川·九年級銀川市第三中學(xué)校考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象交于A，B兩點，其中，直線與y軸、x軸分別交于C，D兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上找一點P，使的值最小，并求滿足條件的點P的坐標(biāo)．5．（2024上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，B點坐標(biāo)為，反比例函數(shù)與交于點D，與交于點E，．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，點P在x軸上，連接，以點D為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時針旋轉(zhuǎn)90°得，若點恰好落在反比例函數(shù)上，求點P的坐標(biāo)．6．（2024上·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰三角形中，，以邊為直徑的與交于點，，垂足為，的延長線與的延長線交于點．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．7．（2024上·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在P點觀察所測物體最高點C，當(dāng)量角器零刻度線上A，B兩點均在視線上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請直接用含的代數(shù)式示；(2)為弘揚革命傳統(tǒng)精神，某校組織學(xué)生前往永州市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀所震撼，想知道紀(jì)念碑的高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進(jìn)行測量．如圖3，他們在地面的B點用測角儀測得碑頂A的仰角為，在C點處測得碑頂A的仰角為，已知，（B，C，D在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的高．（，，）8．（2022上·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期末）矩形的面積為6，一邊長為x，這條邊的鄰邊長為，則與x的函數(shù)解析式為；如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，兩點．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出使成立的x的取值范圍是______；(3)將直線平移h個單位長度后，與上述反比例函數(shù)圖象在第一象限有且只有一個交點，求h的值．9．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點與點重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為；【思考說理】（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的值．【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．①求線段的長；②若點是邊的中點，點為線段上的一個動點，將沿折疊得到，點的對應(yīng)點為點，與交于點，求的取值范圍．10．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對角線平分，．

(1)求證：；(2)連接交與點，請直接寫出與之間的關(guān)系：________；(3)，是的高，連接，若，四邊形的面積為2，求的長．11．（2021·陜西·九年級西安市鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖1．在中，，，點D、E分別在邊、上，，連接，點M、N、P分別為、、的中點，連接、．（1）圖1中，線段、的數(shù)量關(guān)系是___________，的度數(shù)為___________；（2）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置．連接．你認(rèn)為是什么特殊三角形，請寫出你的猜想并證明你的結(jié)論；（3）把繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若，，請寫出面積的最大．12．（2023上·遼寧沈陽·九年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）在中，，，點D在直線上，連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點F是線段的中點，連接．(1)如圖1，當(dāng)點D在的延長線上時，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，當(dāng)點D在的延長線上時，若點G是線段的中點，連接，求證：；(3)如圖3，連接和，若，當(dāng)線段取最小值時，請直接寫出的面積．13．（2023上·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．【概念理解】(1)在已經(jīng)學(xué)過的“平行四邊形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中點四邊形”一定是正方形，因此它一定是“中方四邊形”（填序號）．【性質(zhì)探究】(2)如圖1，若四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形的一條結(jié)論：______．【問題解決】(3)如圖2，以銳角的兩邊為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連結(jié)，依次連接四邊形的四邊中點得到四邊形．求證：四邊形是“中方四邊形”．14．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在中，，，．點是射線上一動點，作的外接圓．(1)若圓心在邊上，如圖2，則此時的長為______；(2)當(dāng)與的某一邊所在的直線相切時，求此時的長；(3)隨著點的運動，與的邊的公共點的個數(shù)有哪些變化？直接寫出對應(yīng)的長的值或取值范圍．15．（2022上·福建龍巖·七年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，點、表示的數(shù)分別為、，那么、兩點之間的距離為；反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離．已知點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點表示的數(shù)為，且滿足．(1)______，______，______．（直接寫出結(jié)果）(2)如圖1，點是數(shù)軸上一點，點到點的距離是點到點的距離的3倍（即），求點在數(shù)軸上表示的數(shù)；(3)如圖2，點，分別從點，同時出發(fā)，分別以，的速度沿數(shù)軸負(fù)方向運動（在，之間，在，之間），運動時間為秒，點為，之間一點，且點到的距離是點到的距離的一半（即），若，運動過程中到的距離（即）總為一個固定的值，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．16．（2024上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點，分別在軸和軸上，把矩形沿對角線所在的直線折疊，點落在點處，連接與軸相交于點．已知矩形的邊，的長是一元二次方程的兩個根，且．

(1)求直線的解析式；(2)求點的坐標(biāo)；(3)若點是直線上的動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．17．（2024上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）【問題背景】若，在內(nèi)部，，，分別平分和．(1)如圖1，當(dāng)，重合時，則；【問題一般化】(2)如圖2，在（1）的情形下，如果將繞點O點順時針能轉(zhuǎn)n（），求的度數(shù)（用含n的式子表示）；【問題拓展化】(3)如圖3，在（1）的情形下，若和的邊、的位置不變．將繞著O點，以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將繞著O點，以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t，當(dāng)t為何值時，，請直接寫出兩個t的值．18．（2024上·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，，，連接，，探究，的位置關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)時，直接寫出，的位置關(guān)系：__________；（2）如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)，，時，將繞點C旋轉(zhuǎn)，使A，D，E三點恰好在同一直線上，求的長．19．（2023·河南信陽·?？既＃┚C合與實踐瑩瑩復(fù)習(xí)教材時，提前準(zhǔn)備了一個等腰三角形紙片，如圖，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把，點B與點C重疊對折，得折痕，展開后，她把點B與點A重疊對折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點O，則點O就是的重心．教材重現(xiàn)：如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個點的位置嗎？

在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線（median）如圖，是的邊上的中線．

(1)初步觀察：連接，則與的數(shù)量關(guān)系是：________；(2)初步探究：請幫助瑩瑩求出的面積；(3)猜想驗證：瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現(xiàn)．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由；(4)拓展探究：瑩瑩把剪下后得，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過程中點不與點重合，直接寫出拼成四邊形時的長．20．（2023下·江西宜春·八年級江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是矩形的對角線，于點，點是的中點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中，在上作點，使；(2)在圖②中，在上作點，使．04挑戰(zhàn)壓軸題（解答題二）1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O(shè)點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．

【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為，求出點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出時對應(yīng)的自變量的值，得到的長，再減去兩個正方形的邊長即可得解；（3）求出直線的解析式，進(jìn)而設(shè)出過點的光線解析式為，利用光線與拋物線相切，求出的值，進(jìn)而求出點坐標(biāo)，即可得出的長．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點，設(shè)拋物線的解析式為，∵四邊形為矩形，為的中垂線，∴，，∵，∴點，代入，得：，∴，∴拋物線的解析式為；（2）∵四邊形，四邊形均為正方形，，∴，延長交于點，延長交于點，則四邊形，四邊形均為矩形，

∴，∴，∵，當(dāng)時，，解得：，∴，，∴，∴；（3）∵，垂直平分，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則：，解得：，∴，∵太陽光為平行光，設(shè)過點平行于的光線的解析式為，由題意，得：與拋物線相切，聯(lián)立，整理得：，則：，解得：；∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用．讀懂題意，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點處有個吊燈的中點為(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長度．(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓相切，為切點，為上一點，為入射光線，為反射光線，求的長度．(3)如圖③，是線段上的動點，為入射光線，為反射光線交圓于點在從運動到的過程中，求點的運動路徑長．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）由，可得出為的中位線，可得出D為中點，即可得出的長度；（2）過N點作，交于點D，可得出為等腰直角三角形，根據(jù),可得出，設(shè)，則，根據(jù)，即可求得，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（3）依題意得出點N路徑長為：，推導(dǎo)得出，即可計算給出，即可得出答案．【詳解】（1）∵∴為的中位線∴D為的中點∵∴（2）過N點作，交于點D，∵，∴為等腰直角三角形，即，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，，∴在中，；（3）如圖，當(dāng)點M與點O重合時，點N也與點O重合．當(dāng)點M運動至點A時，點N運動至點T，故點N路徑長為：．

∵．∴．∴．∴，∴，∴N點的運動路徑長為：，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識，并能靈活運用是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學(xué)們有以下思路：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達(dá)；③請直接寫出當(dāng)結(jié)論成立時k的取值范圍：．【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，見解析；③【分析】（1）直接求出邊長為2的正方形周長與面積，再求出周長擴(kuò)大2倍即邊長擴(kuò)大2倍時正方形的面積，比較是否也為2倍即可；（2）①依題意根據(jù)一元二次方程根的情況判斷即可；②設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立，求出關(guān)于x、y的一元二次方程，判斷根的情況；③設(shè)新矩形長和寬為x和y，則由題意，，同樣列出一元二次方程，利用根的判別式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）邊長為2的正方形，周長為8，面積為4；當(dāng)周長為其2倍時，邊長即為4，面積為16，即為原來的4倍，故不存在；（2）①存在；∵的判別式，方程有兩組正數(shù)解，故存在；從圖像來看，：，：在第一象限有兩個交點，故存在；②設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，因為，此方程無解，故這樣的新矩形不存在；從圖像來看，：，：在第一象限無交點，故不存在；③；設(shè)新矩形長和寬為x和y，則由題意，，聯(lián)立得，，故．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式．需要認(rèn)真閱讀理解題意，根據(jù)題干過程模仿解題．1．（2020·河南周口·統(tǒng)考三模）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，過點作直線．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將反比例函數(shù)向下平移1個單位，得函數(shù)__________；函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為___________；（3）將直線向下平移個單位后與函數(shù)的圖象有唯一交點，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）點B在反比例函數(shù)上，將點B的坐標(biāo)代入，即可求出比例系數(shù)k，反比例函數(shù)的解析式可得；（2）將反比例函數(shù)向下平移1個單位，即可得到，將y=0代入，即可求得該解析式與x軸交點；（3）設(shè)直線的解析式為，將點A、B坐標(biāo)代入，可求得直線AB解析式，按照題意寫出直線AB平移后的解析式與y2聯(lián)立的方程組，且圖象僅有唯一交點，即，即可求得n的值．【詳解】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）將反比例函數(shù)向下平移1個單位，可得，將y=0代入，解得：x=8，即可求得該解析式與x軸交點為；（3）設(shè)直線的解析式為，且，∴，∴∴直線的解析式為，設(shè)直線平移后的解析式為，聯(lián)立方程組整理得：，若兩函數(shù)圖象有唯一交點，則，解得（舍），，故的值為．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、函數(shù)圖像的平移、一元二次函數(shù)根的判別式，解題的關(guān)鍵在于掌握函數(shù)圖像平移后的解析式寫法．2．（2021上·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）某模具廠計劃生產(chǎn)一批面積為，周長為的矩形模具，需要確定的取值范圍．小亮利用圖象的方法解決此問題的過程如下：（1）建立函數(shù)模型，設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為，，由矩形的面積為，得，即；由周長為，得，即．滿足要求的應(yīng)是這兩個函數(shù)圖象在第________象限內(nèi)交點的坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象，如圖，在同一直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)和的圖象．（3）平移直線可以得到函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點時，周長的值為________；②請你直接寫出在直線平移過程中，與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的其它情況及對應(yīng)的周長的取值范圍．（4）得出結(jié)論，若能生產(chǎn)出面積為的矩形模具，則周長的取值范圍為__________．【答案】（1）一；（2）見解析；（3）①；②當(dāng)交點個數(shù)為時，；當(dāng)交點個數(shù)為時，；（4）．【分析】（1）根據(jù)，是矩形相鄰兩邊的長，即可得到，，即可判斷這是在第一象限的點；（2）根據(jù)所給的函數(shù)解析式，正確的畫出函數(shù)圖像即可；（3）①設(shè)平移的距離為a，則平移后的直線解析式為然后聯(lián)立，得到一個一元二次方程，根據(jù)只有一個交點，即根的判別式等于0，即可求解；②同①原理，聯(lián)立兩個解析式得到一個一元二次方程，然后利用根的判別式求解即可得到答案；（4）根據(jù)（3）②的求解情況即可得到答案.【詳解】解：（1）∵，是矩形相鄰兩邊的長∴，∴兩個函數(shù)的交點圖像在第一象限；（2）如圖所示，即為所求：（3）①設(shè)平移的距離為a，則平移后的直線解析式為然后聯(lián)立得：整理得：∵當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點時∴此時方程只有一個實數(shù)根∴解得∵由（1）得兩者交點在第一象限∴直線是向上平移∴∴∴解得，則∴②當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象沒有交點時∴此時方程沒有實數(shù)根∴∴∵∴∴∴當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有兩個交點時∴此時方程有兩個不等的實數(shù)根∴∴∵∴∴∴（4）由（3）可得，當(dāng)，直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點，當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有兩個不同交點當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象沒有交點∴能生產(chǎn)出面積為的矩形模具，則周長的取值范圍為【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程根的判別式.3．（2021上·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若存在時，函數(shù)值，則稱函數(shù)y是關(guān)于x的倩影函數(shù)，此時點叫該倩影函數(shù)的影像點．例如對于函數(shù)，若存在時，函數(shù)值，則，解得，則函數(shù)是倩影函數(shù)，點是函數(shù)的影像點．（1）判斷函數(shù)是否為倩影函數(shù)．如果是，請求出影像點．如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)．①求證：該函數(shù)總有兩個不同的影像點；②是否存在一個k值，使得函數(shù)的影像點的橫坐標(biāo)都為整數(shù)，如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）函數(shù)是倩影函數(shù)，影像點為（2，-2），（-2，2）．（2）①見解析；②不存在k的值，使得影像點的橫坐標(biāo)x1，x2都為整數(shù)．【分析】（1）把點（p，-p）代入，有解則是倩影函數(shù)，求出影像點；（2）①把點（p，-p）代入，得到關(guān)于p的二次方程，用求根公式的判別式證明；②在①的條件下，求出x的值，結(jié)合x為整數(shù)求出k的值．【詳解】（1）解：由題意得：把點（p，-p）代入得：，解得：p1=2，p2=-2，∴函數(shù)是倩影函數(shù)，影像點為（2，-2），（-2，2）．（2）①證明：把點（p，-p）代入得：，化簡得：3p2+（-6-k）p+k=0，∴Δ=（-6-k）2-4×3×k=k2+36＞0，∴該函數(shù)總有兩個不同的影像點．②解：由①得，方程3p2+（-6-k）p+k=0的解為：，∵影像點的橫坐標(biāo)x1，x2都為整數(shù)，∴是6的整數(shù)倍，且k為整數(shù)，設(shè)=6n（n為整數(shù)），化簡得：3n2-nk-3=0，解得：，∴n=1或3，當(dāng)n=1時，k=0（舍），當(dāng)n=3時，k=8，此時，x1=4，x2=，不符合題意，綜上所述：不存在k的值，使得影像點的橫坐標(biāo)x1，x2都為整數(shù)．【點睛】本題以新定義為背景，考查了反比例函數(shù)和一元二次方程的解相關(guān)知識點，解題的關(guān)鍵是把（p，-p）代入函數(shù)解析式后，結(jié)合求根公式的判別式Δ判斷一元二次方程的根情況．4．（2024上·寧夏銀川·九年級銀川市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象交于A，B兩點，其中，直線與y軸、x軸分別交于C，D兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上找一點P，使的值最小，并求滿足條件的點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)圖見解析，【分析】（1）根據(jù)在反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象上，代入反比例函數(shù)解析式求出答案即可；（2）求出B點坐標(biāo)，作點B關(guān)于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P，則點P即為所求點，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求出直線與x軸的交點P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）∵在反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象上，∴，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象交于A，B兩點，∴，解得或，∴，如圖，作點B關(guān)于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P，則點P即為所求點，設(shè)直線的解析式為，把和代入得，則，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，解得，∴點．【點睛】此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．5．（2024上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，B點坐標(biāo)為，反比例函數(shù)與交于點D，與交于點E，．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，點P在x軸上，連接，以點D為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時針旋轉(zhuǎn)90°得，若點恰好落在反比例函數(shù)上，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由點B的坐標(biāo)及，可求得點D的坐標(biāo)，再代入中，即可求得結(jié)果；（2）先求出點E的坐標(biāo)，則可計算出，，再由，即可得，利用對應(yīng)角相等即可證明平行；（3）過P作于M，過作于N，易得，則有且；設(shè)，則可表示出的坐標(biāo)，由此點在反比例函數(shù)圖象上即可求得點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，

將代入，得，

解得，

∴；（2）證明：將代入，得，∴，

∴，∵，∴，∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴；（3）解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴；過P作于M，過作于N，如圖，則，∵四邊形為矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴；∵，，∴，在與中，，∴，∴，，設(shè)，∴，∴，∴，，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴將代入，得，∴【點睛】本題是函數(shù)與幾何的綜合，考查了求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用這些知識是關(guān)鍵．6．（2024上·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰三角形中，，以邊為直徑的與交于點，，垂足為，的延長線與的延長線交于點．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）連接，，由圓周角定理可知，由等腰三角形的性質(zhì)可知，由，可知是的中位線，可得，進(jìn)而可知，由為半徑，即可證明是的切線；（2）利用勾股定理可得，利用面積法可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵是直徑，∴，又∵在中，，∴，即是的中點，∵，即是的中點，∴是的中位線，∴，又∵，∴，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，，∵，∴．【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．7．（2024上·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在P點觀察所測物體最高點C，當(dāng)量角器零刻度線上A，B兩點均在視線上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請直接用含的代數(shù)式示；(2)為弘揚革命傳統(tǒng)精神，某校組織學(xué)生前往永州市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀所震撼，想知道紀(jì)念碑的高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進(jìn)行測量．如圖3，他們在地面的B點用測角儀測得碑頂A的仰角為，在C點處測得碑頂A的仰角為，已知，（B，C，D在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的高．（，，）【答案】(1)(2)【分析】本題考查余角關(guān)系，三角函數(shù)實際應(yīng)用．（1）根據(jù)題意過點向下的箭頭延長與過點的水平延長線相交，再利用互余關(guān)系即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意先求出，再利用三角函數(shù)列出等式正確計算即為本題答案．【詳解】（1）解：如圖所示：由題意知在中，，則，即∴；（2）解：由題意可得：，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，在中，，由，即，解得：，檢驗：把代入中，，所以是方程的解，∴烈士紀(jì)念碑的高為．8．（2022上·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期末）矩形的面積為6，一邊長為x，這條邊的鄰邊長為，則與x的函數(shù)解析式為；如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，兩點．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出使成立的x的取值范圍是______；(3)將直線平移h個單位長度后，與上述反比例函數(shù)圖象在第一象限有且只有一個交點，求h的值．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)面積可求出反比例函數(shù)的k值，再通過A、B兩點所給坐標(biāo)與反比例函數(shù)解析式得出A、B完整坐標(biāo)，再建立方程解出一次函數(shù)；（2）即是y軸到A點的范圍和B點之后的范圍；（3）用待定系數(shù)法令一次函數(shù)和反比例函數(shù)相等時得到的一元二次方程只有一個根，再通過判別式求出k值即可．【詳解】（1）解：（1）矩形面積為6∴k=6∴將y=6代入反比例函數(shù)得A（1,6）將x=3代入反比例函數(shù)得B（3,2）再把A、B兩點橫縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)得（2）解：結(jié)合函數(shù)圖象所以符合題意的范圍是：或（3）解：整理得：，結(jié)合題意可得：以上方程有兩個相等的實數(shù)根，解得當(dāng)時，直線與下方的反比例函數(shù)圖象有一個交點，不符合題意舍去.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)圖像的幾何特征，一次函數(shù)圖像的平移，一元二次方程根的判別式，掌握以上知識是解本題關(guān)鍵9．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點與點重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為；【思考說理】（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的值．【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．①求線段的長；②若點是邊的中點，點為線段上的一個動點，將沿折疊得到，點的對應(yīng)點為點，與交于點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）①；②．【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出BM的長，最后根據(jù)線段的和差可得AM的長，由此即可得出答案；（3）①先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的定義可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得BM、AM、CM的長，最后代入求解即可得；②先根據(jù)折疊的性質(zhì)、線段的和差求出，的長，設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)x的取值范圍即可得．【詳解】（1），理由如下：由折疊的性質(zhì)得：是的中位線點M是AB的中點則故答案為：；（2）由折疊的性質(zhì)得：，即在和中，，即解得；（3）①由折疊的性質(zhì)得：，即在和中，，即解得解得；②如圖，由折疊的性質(zhì)可知，，，點O是邊的中點設(shè)，則點為線段上的一個動點，其中當(dāng)點P與點重合時，；當(dāng)點P與點O重合時，，即在和中，則．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3）②，正確設(shè)立未知數(shù)，并找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．10．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對角線平分，．

(1)求證：；(2)連接交與點，請直接寫出與之間的關(guān)系：________；(3)，是的高，連接，若，四邊形的面積為2，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)1【分析】（1）延長，在的延長線上截取，利用證明，得，從而得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，，即可得出結(jié)論；（3）延長、交于，作于，說明，得，可知，再說明點為的中點，得出四邊形的面積為，從而解決問題．【詳解】（1）證明：延長，在的延長線上截取，則，，，，，平分，，，，，；（2）解：，，設(shè)，則，，，，故答案為：；（3）解：延長、交于，作于，，，，，，，，是的中位線，，，，，，，，∴，四邊形的面積為，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，證明點為的中點，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為面積的2倍是解題的關(guān)鍵．11．（2021·陜西·九年級西安市鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖1．在中，，，點D、E分別在邊、上，，連接，點M、N、P分別為、、的中點，連接、．（1）圖1中，線段、的數(shù)量關(guān)系是___________，的度數(shù)為___________；（2）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置．連接．你認(rèn)為是什么特殊三角形，請寫出你的猜想并證明你的結(jié)論；（3）把繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若，，請寫出面積的最大．【答案】（1）NM＝NP，60°；（2）等邊三角形；理由見解析（3）【分析】（1）根據(jù)點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，得MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，可知MN＝PN，而∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋∠AEB，即可求出∠MNP＝60°；（2）先證△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，然后由（1）同理可得MN＝PN，∠MNP＝60°；（3）先求出MN的最大值，由（2）知△MNP為等邊三角形知，MN最大時，△MNP面積的最大，求出此時的面積即可．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋∠AEB，∵∠ABE＋∠AEB＝180°?∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案為：NM＝NP，60°；（2）為等邊三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)得：∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP＋∠NPB＝∠NBP＋∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ACE＋∠ABE＋∠EBC＋∠EBC＋∠ECB＝180°?∠BAC＝60°，∴△MNP是等邊三角形；（3）由題意知BD≤AB＋AD，即BD≤8，∴MN≤4，由（2）知△MNP是等邊三角形，∴MN＝4時，S△MNP最大，∴S△MNP最大為．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，證明出△MNP是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·遼寧沈陽·九年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）在中，，，點D在直線上，連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點F是線段的中點，連接．(1)如圖1，當(dāng)點D在的延長線上時，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，當(dāng)點D在的延長線上時，若點G是線段的中點，連接，求證：；(3)如圖3，連接和，若，當(dāng)線段取最小值時，請直接寫出的面積．【答案】(1)3(2)見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形的判定證明得到，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得，然后直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可；（2）連接AE，證明得到，利用三角形的中位線性質(zhì)得到即可證的結(jié)論；（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)知當(dāng)最小時，最小，根據(jù)垂線段最短知當(dāng)時，最小，即最小，證明，利用等高模型得到，即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵F為線段的中點，，∴；（2）證明：連接，∵，∴，∴，∴，∴，∵F為線段的中點，點G是線段的中點，∴為的中位線，∴，∴；（3）解：∵，∴為等腰直角三角形，，又F為斜邊的中點，∴，，∴當(dāng)最小時，最小，根據(jù)垂線段最短知當(dāng)時，最小，即最小，如圖，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于幾何旋轉(zhuǎn)綜合題型，考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、垂線段最短、等高等底等面積等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，尋找全等三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．13．（2023上·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．【概念理解】(1)在已經(jīng)學(xué)過的“平行四邊形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中點四邊形”一定是正方形，因此它一定是“中方四邊形”（填序號）．【性質(zhì)探究】(2)如圖1，若四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形的一條結(jié)論：______．【問題解決】(3)如圖2，以銳角的兩邊為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連結(jié)，依次連接四邊形的四邊中點得到四邊形．求證：四邊形是“中方四邊形”．【答案】(1)(2)或(3)見解析【分析】（1）根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；（2）由四邊形是“中方四邊形”，可得是正方形且分別是、、、的中點，利用三角形中位線定理即可得出答案；（3）連接交于，連接交于，利用三角形中位線定理可證得四邊形是平行四邊形，再證得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）解：概念在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因為正方形的對角線相等且垂直，故答案為：④；（2）解：或，理由如下：四邊形是“中方四邊形”，是正方形且分別是、、、的中點，，，，，，，，，故答案為：或；（3）解：如圖2，連接交于，連接交于，四邊形各邊中點分別為，分別是、、、的中位線，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，即，在和中，，，，，，，是菱形，∵，．，，，，，，，菱形是正方形，即原四邊形是“中方四邊形”．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，理解“中方四邊形”的定義并運用是本題的關(guān)鍵．14．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在中，，，．點是射線上一動點，作的外接圓．(1)若圓心在邊上，如圖2，則此時的長為______；(2)當(dāng)與的某一邊所在的直線相切時，求此時的長；(3)隨著點的運動，與的邊的公共點的個數(shù)有哪些變化？直接寫出對應(yīng)的長的值或取值范圍．【答案】(1)3(2)6或(3)當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有4個交點；當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有2個交點．【分析】本題主要考查了圓與平行四邊形，三角形綜合．熟練掌握圓切線性質(zhì)與判定，垂徑定理及推論，圓周角定理及推論，勾股定理解直角三角形，矩形判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，四點共圓，分類討論，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑對的圓周角是直角得到，根據(jù)正弦定義得到，根據(jù)勾股定理得到．（2）當(dāng)與相切時，得到，根據(jù)，得到，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)，即得；當(dāng)與相切于點F，設(shè)交于點H，作于點L，推出，根據(jù)垂徑定理得到，推出四邊形是矩形，得到，推出，得到，設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理得到，解得，得到，推出，結(jié)合，推出，得到，求得，得到；根據(jù)、都與有兩個交點，得到、與都不相切．（3）分，，，四種情況，與的邊的交點分別有3個，4個，3個，2個．【詳解】（1）當(dāng)圓心在邊上時，，∵，，∴，∴；故答案為：3；（2）如圖，當(dāng)與相切時，與只有一個交點，此時A切點，則，延長交于點E，∵，∴，∴，由①結(jié)論可得，，∴，∴；當(dāng)與相切時，設(shè)切點為F，延長線交于點H，過點A作于點L，，，∵，∴，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，∵，∴，解得，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)與相切，與相切時，∵與有A、B兩個交點，與有B、P兩個交點，∴、與相切都不存在．故當(dāng)與的某一邊所在的直線相切時，的長為6或．（3）如圖，由（2）知，當(dāng)時，與有3個交點；如圖，在射線上取點M，N，使，，則，，∵，∴，∵，∴，∴，由（2）知，,∴，∴，∵，∴四邊形是等腰梯形，，∴A、B、N、D四點共圓，∴當(dāng)時，與有4個交點；當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有2個交點．綜上所述，當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有4個交點；當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有2個交點．15．（2022上·福建龍巖·七年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，點、表示的數(shù)分別為、，那么、兩點之間的距離為；反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離．已知點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點表示的數(shù)為，且滿足．(1)______，______，______．（直接寫出結(jié)果）(2)如圖1，點是數(shù)軸上一點，點到點的距離是點到點的距離的3倍（即），求點在數(shù)軸上表示的數(shù)；(3)如圖2，點，分別從點，同時出發(fā)，分別以，的速度沿數(shù)軸負(fù)方向運動（在，之間，在，之間），運動時間為秒，點為，之間一點，且點到的距離是點到的距離的一半（即），若，運動過程中到的距離（即）總為一個固定的值，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，，(2)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為3或9．(3)，理由見解析【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點的距離公式，絕對值方程的應(yīng)用，整式的加減運算，數(shù)軸上的動點問題．熟練掌握各知識點，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性即可求出a和b的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離公式計算，即可求出的長；（2）設(shè)點P對應(yīng)的數(shù)為n，根據(jù)題意即可列出關(guān)于n的絕對值方程，解出n即可；（3）根據(jù)題意得可得出，，即可求出．再根據(jù)點Q到N的距離是點A到N的距離的一半，可得出．從而可求出QM的長為，要想的值總為一個固定的值，即其與t的值無關(guān)即可，由此得出，從而即得出．【詳解】（1）解：∵，∴，，解得：，，∴．（2）設(shè)點P對應(yīng)的數(shù)為n，根據(jù)題意，得，即，解得n＝3或n＝9．故點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為3或9．（3）v2＝2v1；理由：根據(jù)題意得：，，∴，即．∴，∵Q到M的距離（即）總為一個固定的值，∴的值與t的值無關(guān)，∴，∴．16．（2024上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點，分別在軸和軸上，把矩形沿對角線所在的直線折疊，點落在點處，連接與軸相交于點．已知矩形的邊，的長是一元二次方程的兩個根，且．

(1)求直線的解析式；(2)求點的坐標(biāo)；(3)若點是直線上的動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)直線解析式為(2)(3)或或或或【分析】（1）由一元二次方程求出，，再用待定系數(shù)法可得直線解析式為；（2）根據(jù)把矩形沿對角線所在的直線折疊，點落在點處，可證明，設(shè)則有，解得，即得，，直線解析式為，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）設(shè)，，分三種情況：當(dāng)，為對角線時，的中點即為的中點，且，當(dāng)，為對角線時，的中點即為的中點，且，當(dāng)，為對角線時，，的中點重合，且，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，分別列出方程組，解方程組可得答案．【詳解】（1）解：由一元二次方程得或，，，設(shè)直線解析式為把，代入得：，解得，直線解析式為；（2）把矩形沿對角線所在的直線折疊，點落在點處，，，，，設(shè)則在中，，，解得，，，由，得直線解析式為，設(shè)，由折疊可知，，解得不符合題意，舍去或，（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，理由如下：設(shè)，，而，，當(dāng)，為對角線時，的中點即為的中點，且，，解得，；當(dāng)，為對角線時，的中點即為的中點，且，，解得或，或；當(dāng)，為對角線時，，的中點重合，且，，解得或，或；綜上所述，的坐標(biāo)為或或或或．【點睛】本題考查解一元二次方程，一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法，翻折變換，勾股定理，菱形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．17．（2024上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）【問題背景】若，在內(nèi)部，，，分別平分和．(1)如圖1，當(dāng)，重合時，則；【問題一般化】(2)如圖2，在（1）的情形下，如果將繞點O點順時針能轉(zhuǎn)n（），求的度數(shù)（用含n的式子表示）；【問題拓展化】(3)如圖3，在（1）的情形下，若和的邊、的位置不變．將繞著O點，以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將繞著O點，以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t，當(dāng)t為何值時，，請直接寫出兩個t的值．【答案】(1)25(2)(3)，（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義及角的和差關(guān)系求解；（2）由旋轉(zhuǎn)可得，用含n的式子表示出，再根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)題意得出和的旋轉(zhuǎn)角度及方向，當(dāng)和的旋轉(zhuǎn)角度之和加上的初始角度等于的奇數(shù)倍時，．【詳解】（1）解：當(dāng)，重合時，，分別平分和，，，，故答案為：25；（2）解：將繞點O點順時針能轉(zhuǎn)n（），則，如圖，，分別平分和，，，，；（3）解：平分，的位置不變，繞著O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，繞著O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，平分，的位置不變，將繞著O點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，繞著O點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，由（1）知，旋轉(zhuǎn)前，旋轉(zhuǎn)時間為t時，和的旋轉(zhuǎn)角度之和加上的