第2章 彈性力學基礎

1、第2章 彈性力學基礎內(nèi)容提要：本章主要介紹彈性力學的基本概念，主要包括應力、應變的定義和性質(zhì)，應力平衡方程、幾何方程和物理方程，并對彈性力學問題的基本求解方法進行簡介。為了便于對機械結(jié)構(gòu)有限元計算結(jié)果能夠很好地分析評價，本章還介紹了結(jié)構(gòu)強度與失效的基本理論。有關(guān)能量法的簡單知識是后續(xù)有限元法的重要理論基礎。教學要求：學習掌握應力、應變基本概念和主要性質(zhì)，掌握彈性力學基本方程、應力邊界條件、協(xié)調(diào)方程等，了解彈性力學平面問題的應力函數(shù)法，掌握結(jié)構(gòu)強度失效準則中的等效應力理論等內(nèi)容，了解能量法的基本思想。2.1 引言彈性力學（Elastic Theory）作為一門基礎技術(shù)學科，是近代工程技術(shù)的必要基

2、礎之一。在現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)分析，特別是航空、航天、機械、土建和水利工程等大型結(jié)構(gòu)的設計中，廣泛應用著彈性力學的基本公式和結(jié)論。彈性力學與材料力學(Foundamental Strengths of Materials)在研究內(nèi)容和基本任務方面，是基本相同的，研究對象也是近似的，但是二者的研究方法卻有較大的差別。彈性力學和材料力學研究問題的方法都是從靜力學、幾何學、物理學三方面入手的。但是材料力學的研究對象是桿狀構(gòu)件，即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件，分析這類構(gòu)件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)等幾類典型外載荷作用下的應力和位移。在材料力學中，除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析外，為了簡化推導，還引用了

3、一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應力分布的假定（如平面截面的假定、拉應力在截面上均勻分布的假定等等）。桿件橫截面的變形可以根據(jù)平面假設確定，因此綜合分析的結(jié)果，即問題求解的基本方程，是常微分方程。對于常微分方程，數(shù)學求解是沒有困難的。而在彈性力學里研究桿狀構(gòu)件一般都不必引用那些假定，所以其解答要比材料力學里得出的解答精確得多。當然，彈性力學在研究板殼等一些復雜問題時，也引用了一些有關(guān)形變狀態(tài)或應力分布的假定來簡化其數(shù)學推導。但是由于彈性力學除研究桿狀構(gòu)件之外，還研究板、殼、塊，甚至是三維物體等，因此問題分析只能從微分單元體入手，以分析單元體的平衡、變形和應力應變關(guān)系，因此問題綜合分析的結(jié)果是滿足一定邊

4、界條件的偏微分方程。也就是說，問題的基本方程是偏微分方程的邊值問題。從理論上講，彈性力學能解決一切彈性體的應力和應變問題。但在工程實際中，一般構(gòu)件的形狀、受力狀態(tài)、邊界條件都比較復雜，所以除少數(shù)的典型問題外，對大多數(shù)工程實際問題，往往都無法用彈性力學的基本方程直接進行解析求解，有些只能通過數(shù)值計算方法來求得其近似解。彈性力學的研究方法決定了它是一門基礎理論課程，把彈性力學的理論直接用于分析工程問題具有很大的困難。原因主要在于它的基本方程偏微分方程邊值問題求解的困難。由于經(jīng)典的解析方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此探討近似解法是彈性力學發(fā)展中的特色。近似求解方法，如差分法和變分法等，特別是隨著計算機

5、的廣泛應用而發(fā)展的有限單元法，為彈性力學的發(fā)展和解決工程實際問題開辟了廣闊的前景。本章主要介紹彈性力學基本概念、用解析法求解簡單彈性力學問題的基礎知識，主要包括彈性力學基本方程、邊界條件表達式等。掌握這些彈性力學的基礎知識對后續(xù)有限單元法的學習非常重要。此外，為了更好地理解機械結(jié)構(gòu)有限元分析的基本原理以及將來對分析結(jié)果更好地評價和理解，還介紹了機械結(jié)構(gòu)強度失效準則、結(jié)構(gòu)分析中的能量法等方面的基本內(nèi)容。作為固體力學(Solid Mechanics)學科的一個分支，彈性力學的基本任務是針對各種具體情況，確定彈性體內(nèi)應力與應變的分布規(guī)律。也就是說，當已知彈性體的形狀、物理性質(zhì)、受力情況和邊界條件時，

6、確定其任一點的應力、應變狀態(tài)和位移。彈性力學的研究對象是理想彈性體，其應力與應變之間的關(guān)系為線性關(guān)系，即符合虎克定律。所謂理想彈性體，是指符合下述假設的物體。 連續(xù)性假定。也就是假定整個物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何空隙。盡管一切物體都是由微小粒子組成的，并不能符合這一假定，但是只要粒子的尺寸以及相鄰粒子之間的距離都比物體的尺寸小得很多，則對于物體的連續(xù)性假定，就不會引起顯著的誤差。有了這一假定，物體內(nèi)的一些物理量（如應力、應變、位移等等）才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。 完全彈性假定。這是假定物體服從虎克定律，即應變與引起該應變的應力成正比。

7、反映這一比例關(guān)系的常數(shù)，就是所謂的彈性常數(shù)。彈性常數(shù)不隨應力或應變的大小和符號而變。由材料力學已知：脆性材料的物體，在應力未超過比例極限前，可以認為是近似的完全彈性體；而韌性材料的物體，在應力未達到屈服極限前，也可以認為是近似的完全彈性體。這個假定，使得物體在任意瞬時的應變將完全取決于該瞬時物體所受到的外力或溫度變化等因素，而與加載的歷史和加載順序無關(guān)。 均勻性假定。也就是假定整個物體是由同一材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性常數(shù)才不會隨位置坐標而變，可以取出該物體的任意一小部分來加以分析，然后把分析所得的結(jié)果應用于整個物體。如果物體是由多種材料組成的，但是

8、只要每一種材料的顆粒遠遠小于物體而且在物體內(nèi)是均勻分布的，那么整個物體也就可以假定為均勻的。 各向同性假定。這是假定物體的彈性在所有各方向上都是相同的。也就是說，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變化。對于非晶體材料，是完全符合這一假定的。而由木材、竹材等作成的構(gòu)件，就不能當作各向同性體來研究。至于鋼材構(gòu)件，雖然其內(nèi)部含有各向異性的晶體，但由于晶體非常微小，并且是隨機排列的，所以從統(tǒng)計平均意義上講，鋼材構(gòu)件的彈性基本上是各向同性的。（5）小位移和小變形的假定。在彈性力學中，所研究的問題主要是理想彈性體的線性問題。為了保證研究的問題限定在線性范圍，還需要作出小位移和小變形的假定。這就是說，要假定物體受力以

9、后，物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，并且其應變和轉(zhuǎn)角都小于1。所以，在建立變形體的平衡方程時，可以用物體變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致引起顯著的誤差，并且，在考察物體的變形及位移時，對于轉(zhuǎn)角和應變的二次冪或其乘積都可以略去不計。對于工程實際中的問題，如果不能滿足這一假定的要求，一般需要采用其他理論來進行分析求解（如大變形理論等）。上述假定都是為了研究問題的方便，根據(jù)研究對象的性質(zhì)、結(jié)合求解問題的范圍而作出的。這樣可以略去一些暫不考慮的因素，使得問題的求解成為可能。彈性力學問題的求解方法按求解方式上可以分為兩類：解析方法和數(shù)值算法。解析方法是通過彈性力學的基本方程和邊界條件、

10、用純數(shù)學的方法進行求解。但是，在實際問題中能夠用解析方法進行精確求解的彈性力學問題只是很少一部分?，F(xiàn)在工程實際中廣泛采用的是數(shù)值的方法，如有限單元法。2.2 彈性力學的幾個基本概念2.2.1 外力與內(nèi)力1 外力(Load)作用于物體的外力通?？煞譃閮深悾疵媪?Surface Force)和體力(Body Force)。面力是指分布在物體表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如壓力容器所受到的內(nèi)壓、水壩所受的靜水壓力、物體和物體之間的接觸壓力等等。通常情況下，面力是物體表面各點的位置坐標的函數(shù)。在物體表面P點處取一微小面

11、積DS，假設其上作用有表面力DF，則P點所受的表面力定義為 (2.1)體力(Body Force)一般是指分布在物體體積內(nèi)的外力，作用于彈性體內(nèi)每一個體積單元。通常與物體的質(zhì)量成正比、且是各質(zhì)點位置的函數(shù)，如重力、慣性力、磁場力等。作用在物體內(nèi)P點上的體力，可按面力定義方式進行定義，即在P點處取一微小體積DV，假定其上作用有體力DR，則P點所受的體力可定義為 (2.2)2 內(nèi)力(Internal force)物體在外力作用下，其內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形的“附加內(nèi)力”，簡稱內(nèi)力。若假想用一經(jīng)過物體內(nèi)P點的截面mn將物體分為兩部分A和B，并移去其中的一部分B。我們知道，當一個物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)

12、時，物體各部分都應保持平衡。顯然，在截面mn上必定有某種力存在，這種力就稱為內(nèi)力，實際上也就是物體內(nèi)部的相互作用力。如圖2-1所示，在截面mn上應該有移去的虛線部分B對A部分作用的內(nèi)力。2.2.2 應力的概念圖2.1 物體內(nèi)任意點處的應力所謂一點處某個截面上的應力(Stress)就是指該截面上的“附加內(nèi)力”，即內(nèi)力在該點處的集度。如圖2.1所示，一點P處在截面mn上，在該點處取一微小面積DA，假設作用于DA上的內(nèi)力為DG，則 (2.3)T就是P點處的應力。通常將應力沿截面DA的法向和切向進行分解，相應的分量就是正應力 和剪應力。它們滿足 （2.4） 在物體內(nèi)的同一點處，不同方向截面上的應力(正

13、應力和剪應力)是不同的。只有同時給出過該點截面的外法向方向，才能確定物體內(nèi)該點處此截面上應力的大小和方向。圖2.2 微小正方體元素的應力狀態(tài)在彈性力學中，為了描述彈性體內(nèi)任一點P的應力狀態(tài)，可能從彈性體的連續(xù)性假定出發(fā)，整個彈性體可以看作是由無數(shù)個微小正方體元素組成的。在該點處切取一微小正方體，正方體的棱線與坐標軸平行，如圖2.2所示。正方體各面上的應力可按坐標軸方向分解為一個正應力和兩個剪應力，即每個面上的應力都用三個應力分量來表示。由于物體內(nèi)各點的內(nèi)力都是平衡的，作用在正方體相對兩面上的應力分量大小相等、方向相反。這樣，用9個應力分量寫成矩陣的形式來表示正方體各面上的應力，即 (2.5)其

14、中，正應力，下標表示作用面和作用方向；是剪應力，第一下標表示與截面外法線方向相一致的坐標軸，第二下標表示剪應力的方向。應力分量的符號規(guī)定：若應力作用面的外法線方向與坐標軸的正方向一致，則該面上的應力分量就以沿坐標軸的正方向為正，沿坐標軸的負方向為負。相反，如果應力作用面的外法線是指向坐標軸的負方向，那么該面上的應力分量就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負。根據(jù)材料力學的基本概念（下一節(jié)中也將進一步證明），從圖2.2中微小正方體的平衡條件（力矩平衡方程）出發(fā)，作用在正方體各面上的剪應力存在著互等關(guān)系：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的，不僅大小相等，而且正負號

15、也相同，即 ， (2.6)這就是所謂的剪應力互等定理。2.2.3 應變的概念物體在外力作用下，其形狀要發(fā)生改變，變形指的就是這種物體形狀的變化。這種形狀的改變不管多么復雜，對于其中的某一個單元體來說，只包括棱邊長度的改變和各棱邊的夾角的改變兩類。因此，為了考察物體內(nèi)某一點處的應變(Strain)，同樣可在該點處從物體內(nèi)截取一單元體，研究其棱邊長度和各棱邊夾角之間的變化情況。對于微分單元體的變形，將分為兩部分討論：棱邊長度的伸長（或縮短）量，即正應變(或線應變, Linear Strain)，以及兩棱邊間夾角的改變量（用弧度表示），即剪應變（或角應變, Shear Strain）。圖2.3是對這

16、兩種應變的幾何描述。在每個圖例中單元體的初始位置和變形后的位置分別由實線和虛線表示。物體變形時，物體內(nèi)一點處產(chǎn)生的應變，與該點的相對位移有關(guān)。圖2.3表示在變形前后的單元體在x y面上的投影，圖中表示了單元體的應變和剛體轉(zhuǎn)動與位移導數(shù)的關(guān)系。在小應變情況下（位移導數(shù)遠小于1的情況），位移分量與應變分量之間的關(guān)系（變形幾何方程）。在圖2.3(a)中，單元體在x方向上有一個的伸長量。微分單元體棱邊的相對變化量就是正應變。假設表示x 軸方向的正應變，則 (2.7)(a) (b) (c)圖 2.3 單元體應變的幾何描述 (a)x方向的線應變, (b)y方向的線應變, (c)xy面內(nèi)的剪應變相應地，如圖

17、2.3(b)所示為y軸方向的正應變?yōu)?(2.8)圖2.3(c)所示為x-y 面內(nèi)的剪應變。剪應變定義為微分單元體棱邊之間夾角的變化。圖中總的角變化量為。假設和都非常小，于是可以認為+ =。根據(jù)圖2.3(c) (2.9)因此，剪應變 為 (2.10)由于正向剪應變和分別引起微分單元棱邊夾角減小，所以，在彈性力學中把相對初始角度的減小量視為為正向剪應變。, 和分別代表了一點上x，y，z軸方向的線應變。,和則分別代表了xy, yz 和 xz面上的剪應變。與直角應力分量類似，上邊的六個應變分量也被稱為直角應變分量。這六個應變分量還可以以矩陣形式表示，即 (2.11)線應變和剪應變都是無量綱的量，的單位

18、是rad(弧度)。除了上面介紹的兩種應變，另外還有一種應變體積應變(Volume Starin)。體積應變是指微分單元體積的相對變化。2.3 應力分析應力是彈性力學理論中的一個重要概念。應力分析主要包括：一點的應力狀態(tài)，主應力（Principle stress）, 柯西應力公式（Cauchys stress formula），利用該公式確定應力邊界條件, 建立應力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即應力平衡微分方程(Differential equations of equilibrium of stresses)。 2.3.1一點的應力狀態(tài)一般地，彈性體內(nèi)各點的應力狀態(tài)都是不同的。假定已知彈性體

19、內(nèi)任一點P的六個應力分量、 、 、，按下述方法可以求得經(jīng)過P點的任一斜面上的應力。如圖2.4所示，在P點附近取一平面ABC與給定斜面平行，且該平面與經(jīng)過P點而垂直于坐標軸的三個平面形成一個微小四面體PABC。當平面ABC無限接近于P點時，平面ABC上的應力就無限接近于斜面上的應力。圖2.4 一點的應力狀態(tài)設平面ABC的外法線為N，而N的方向余弦為cos (N, x)= nx，cos (N, y)= ny，cos (N, z)= nz （2.12）可見，如果把平面ABC的外法線N作為變換后的任一坐標軸，則上面方向余弦對應變換矩陣的一行。用應力變換的方法可快速求得平面ABC上的正應力。 （2.13

20、）采用靜力平衡推導的方法求平面ABC上的全應力Tn、正應力和剪應力。若三角形ABC的面積為DA，則三角形PCA、PBC、PAB的面積分別為nxDA、nyDA、nzDA 。令Txn 、Tyn 、Tzn 分別為三角形ABC上的全應力在坐標軸上的投影。由平衡條件 SFx = 0，得 （2.14）這里沒有考慮體積力，因為當平面ABC趨近于P點時，四面體的體積與各面的表面積相比是高階的微量，可以忽略不計。同理，由平衡條件 SFy = 0和 SFz = 0得到另外兩個相似的方程，整理得 （2.15）以上方程稱為柯西應力公式（Cauchys stress formula）, 它描述了彈性體內(nèi)任一點P的6個應

21、力分量與通過P點任一平面上的應力之間的關(guān)系。由上述公式容易求出平面ABC上的全應力Tn 為 (2.16)平面ABC上的正應力則可通過投影求得 (2.17)且有 (2.18)可見，在彈性體的任意一點處，只要已知該點的六個應力分量，就可求得過該點任一斜面上的正應力和剪應力，也就是說六個應力分量完全確定了一點的應力狀態(tài) 。2.3.2主應力可以證明，在過一點的所有截面中，存在著三個互相垂直的特殊截面，在這三個截面上沒有剪應力，而僅有正應力。這種沒有剪應力存在的截面稱為過該點的主平面，主平面上的正應力稱為該點的主應力，主應力的方向總是與主平面的法線方向平行，稱為該點應力的主方向。 設一主平面方向余弦為n

22、x，ny，nz，因為在主平面上沒有剪應力，可用代表該主平面上的全應力，則全應力在x,y,z軸的投影可表示為 （2.19）由柯西應力公式得 （2.20）整理得 （2.21）因為 ，即不全為0。上述方程組中有非平凡解的條件是其系數(shù)矩陣的行列為0，即 （2.22）將此行列式展開，得到一個關(guān)于應力的一元三次方程 （2.23）可以證明，該方程有三個實根s 1，s 2，s 3，這三個根就是P點處的三個主應力。將主應力分別代入（2.20），并結(jié)合（2.21）式便可分別求出各主應力方向的方向余弦。還可以證明，三個主方向是相互垂直的。方程式(2.23)中，的系數(shù)以及常數(shù)項可表示為 （2.24） (2.25) (

23、2.26)定義為第一，第二，第三應力不變量。方程(2.23)可表示為 (2.27)2.3.3平衡微分方程一般情況下物體內(nèi)不同的點將有不同的應力。這就是說，各點的應力分量都是點的位置坐標（x, y, z）的函數(shù)，而且在一般情況下，都是坐標的單值連續(xù)函數(shù)。當彈性體在外力作用下保持平衡時，可根據(jù)平衡條件來導出應力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。圖2.5 微小單元體的應力平衡假定有一物體在外力作用下而處于平衡狀態(tài)。由于整個物體處于平衡，其內(nèi)各部分也都處于平衡狀態(tài)。為導出平衡微分方程，我們從中取出一微小正六面體進行研究，其棱邊尺寸分別為dx、dy、dz，如圖2-5所示。為清楚起見，圖中僅畫

24、出了在x方向有投影的應力分量。需要注意的是，兩對應面上的應力分量，由于其坐標位置不同，而存在一個應力增量。例如，在AADD面上作用有正應力sx，那么由于BBCC面與AADD面在x坐標方向上相差了dx，由泰勒級數(shù)，并舍棄高階項，可導出BBCC面上的正應力應表示為。其余情況可類推。由于所取的六面體是微小的，其各面上所受的應力可以認為是均勻分布的，且作用在各面的中心。另外，若微小六面體上除應力之外，還作用有體積力，那么也假定體積力是均勻分布的，且作用在微元體的體積中心。這樣，在x方向上，根據(jù)平衡方程SFx = 0，有 （2.28）整理得 （2.29）同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即 （2.

25、30）上述這組微分關(guān)系是彈性力學中的基本關(guān)系之一。凡處于平衡狀態(tài)的物體，其應力分量函數(shù)都應滿足這個方程。再列出三個力矩方程。在將各面上的應力分量全部寫出后，首先列出得 （2.31）展開這個式子，略去四階微量，整理后得到用同樣的方法列出另外兩個力矩平衡方程，。這樣將得到任意一點處應力分量的另一組關(guān)系式， （2.32）這個結(jié)果表明任意一點處的六個剪應力分量成對相等，即所謂的剪應力互等定理。由此可知，前節(jié)所說的一點的九個應力分量中，獨立的只有六個。對于處于運動狀態(tài)的物體，只要加上慣性力，也可用列平衡方程的方法來得到運動方程。這時，所得方程的形式仍如式（2.30）一樣，但在等式左邊的最后一項中，應加有

26、單位體積內(nèi)的慣性力在響應方向的分量。例如，設u(x,y,z,t)，v(x,y,z,t)，w(x,y,z,t)分別表示一點在x，y，z方向的位移分量，它們都是點的坐標及時間的函數(shù)。再用表示物體的密度（單位體積的質(zhì)量）。則對圖2.5的單元體，在三個坐標方向上應分別加上慣性力，。當考慮到這些慣性力（屬于體積力）來列平衡方程時，得到 （2.33）2.3.4邊界條件若物體在外力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么物體內(nèi)部各點的應力分量必須滿足前述的平衡微分方程（2.30）式。該方程是基于各點的應力分量，以點的坐標函數(shù)為前提而導出的。現(xiàn)在，如果考察位于物體表面上的點，即邊界點，顯然，這些點的應力分量（代表由內(nèi)部作用

27、于這些點上的力）應當與作用在該點處的外力相平衡。這種邊界點的平衡條件，稱為用表面力表示的邊界條件，也稱為應力邊界條件。在應力邊界問題中，可以建立面力分量與應力分量之間的關(guān)系。彈性體邊界上的點同樣滿足柯西應力公式，設彈性體上一點面力為，由柯西應力公式有 (2.34)上式既為物體應力邊界條件的表達式。但是，如果我們用表示整個彈性體的表面積，則往往只在其中一部分面積上給定了外力，而另一部分面積屬于上則給定的是位移。當然，=+。例如一根矩形截面的懸臂梁，固定端這一部分面積屬于部分，它們給定了位移，而未給定外力；其余五個面都屬于部分，它們的外力已給定（包括外力等于零）。根據(jù)上面的推導方法，顯然，在部分的

28、各點都應滿足表面力表示的邊界條件(2.34)。但與此同時，在部分上的各點還應滿足用位移表示的邊界條件，也即幾何邊界條件?，F(xiàn)設，表示給定的上的點在x,y,z軸方向的位移，則幾何邊界條件為在上 u=, v=, w= (2.35)應當注意，邊界條件是求解彈性力學問題的重要條件。它表明，應力分量函數(shù)不僅在物體內(nèi)部的各點應滿足平衡的微分方程（2.30），在部分的邊界點上還應滿足邊界條件(2.34)，在部分的邊界上，其位移還要滿足幾何邊界條件(2.35)，否則不能認為是該問題的解。這一點也正是彈性力學問題求解的困難之一。例2-1 圖2.6是重力水壩截面，坐標軸是Ox和Oy，OB面上的面力為求OB面的應力邊

29、界條件。圖2.6 重力水壩截面解：OB面方向余弦為 由柯西公式有 所以應力邊界條件為2.4 應變分析應變分析是從材料變形的角度研究彈性體，包括幾何方程(Geometry equations)、相容性條件等。2.4.1幾何方程：應變位移關(guān)系彈性體受到外力作用時，其形狀和尺寸會發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。在彈性力學中所考慮的幾何學方面的問題，實質(zhì)上就是研究彈性體內(nèi)各點的應變分量與位移分量之間的關(guān)系。應變分量與位移分量之間存在的關(guān)系式一般稱為幾何方程，或叫做Cauchy幾何方程。,和是任意一點在x, y 和 z方向上的線應變（正應變），,和分別代表在xy, yz 和xz 平面上的剪應變。類似于應力矩形分量

30、，上面6個應變分量可定義為應變矩形分量?？疾煅芯课矬w內(nèi)任一點P (x, y, z )的變形，與研究物體的平衡狀態(tài)一樣，也是從物體內(nèi)P點處取出一個正方微元體，其三個棱邊長分別為dx、dy、dz，如圖2.7所示。當物體受力變形時，不僅微元體的棱邊長度會隨之改變，各棱邊間的夾角也要發(fā)生變化。為研究方便，可將微元體分別投影到oxy、oyz和ozx三個坐標面上，如圖2-8所示。圖2.8 位移與應變圖2.7 微元體在外力作用下，物體可能發(fā)生兩種位移，一種是與位置改變有關(guān)的剛體位移，另一種是與形狀改變有關(guān)的形變位移。在考慮物體的變形時，可以認為物體內(nèi)各點的位移都是坐標的單值連續(xù)函數(shù)。在圖2.8中，若假設A點

31、沿坐標方向的位移分量為u、v，則B點沿坐標方向的位移分量應分別為 和 ，而D點的位移分量分別為 及。據(jù)此，可以求得 (2.36)根據(jù)線應變（正應變）的定義，AB線段的正應變?yōu)?(2.37)因，故由上式可得：代入(2.36)式，得 (2.38)由于只是微小變形的情況，可略去上式中的高階微量（即平方項）。這樣， (2.39)當微元體趨于無限小時，即AB線段趨于無限小，AB線段的正應變就是P點沿x方向的正應變。用同樣的方法考察AD線段，則可得到P點沿y方向的正應變 (2.40)現(xiàn)在再來分析AB和AD兩線段之間夾角（直角）的變化情況。在微小變形時，變形后AB線段的轉(zhuǎn)角為 (2.41)式中 與1相比可以

32、略去，故 (2.42)同理，AD線段的轉(zhuǎn)角為 (2.43)由此可見，AB和AD兩線段之間夾角變形后的改變（減?。┝繛?(2.44)把AB和AD兩線段之間直角的改變量 gxy 稱為P點的角應變（或稱剪應變），它由兩部分組成，一部分是由y方向的位移引起的，而另一部分則是由x方向位移引起的；并規(guī)定角度減小時為正、增大時為負。至此，討論了微元體在oxy投影面上的變形情況。如果再進一步考察微元體在另外兩個投影面上的變形情況，還可以得到P點沿其它方向的線應變和角應變。在三維空間中，變形體內(nèi)部任意一點共有六個應變分量，即ex、ey 、ez 、gxy 、gyz 、gzx ，這六個應變分量完全確定了該點的應變狀

33、態(tài)。也就是說，若已知這六個應變分量，就可以求得過該點任意方向的正應變及任意兩垂直方向間的角應變，也可以求得過該點的任意兩線段之間的夾角的改變?？梢宰C明，在形變狀態(tài)下，物體內(nèi)的任意一點也一定存在著三個相互垂直的主應變，對應的主應變方向所構(gòu)成的三個直角，在變形之后仍保持為直角（即剪應變?yōu)榱悖?。幾何方程完整表示如下?(2.45)不難看出，當物體的位移分量完全確定時，應變分量就被完全確定。但反之，當應變分量完全確定時，位移分量卻不完全被確定。這是因為，應變的產(chǎn)生是由于物體內(nèi)點與點之間存在相對位移，而具有一定形變的物體還可能產(chǎn)生不同的剛體位移。例2-2 考慮位移區(qū)域，求在P(1,0,2)的應變分量是多

34、少？解：在(1,0,2)線應變?yōu)樵?1,0,2)剪應變?yōu)?.4.2相容性條件變形協(xié)調(diào)方程也稱變形連續(xù)方程，或叫相容方程。它是一組描述六個應變分量之間所存在的關(guān)系式。在彈性力學中，我們認為物體的材料是一個連續(xù)體，它是由無數(shù)個點所構(gòu)成，這些點充滿了物體所占的空間。從物理意義上講，物體在變形前是連續(xù)的，那么在變形后仍然是連續(xù)的。對于假定材料是連續(xù)分布且無裂隙的物體，其位移分量應是單值連續(xù)的，即u、v、w是單值連續(xù)函數(shù)。這就是說，當物體發(fā)生形變時，物體內(nèi)的每一點都有確定的位移，且同一點不可能有兩個不同的位移；無限接近的相鄰點的位移之差是無限小的，故變形后仍為相鄰點，物體內(nèi)不會因變形而產(chǎn)生空隙。對于前面

35、所討論的六個應變分量，都是通過三個單值連續(xù)函數(shù)對坐標求偏導數(shù)來確定的。因而，這六個應變分量并不是互不相關(guān)的，它們之間必然存在著一定的內(nèi)在關(guān)系。我們可以設想把一個薄板劃分成許多微元體，如圖2.9 (a) 所示。如果六個應變分量之間沒有關(guān)聯(lián)，則各微元體的變形便是相互獨立的。從而，變形后的微元體之間有可能出現(xiàn)開裂和重迭現(xiàn)象，這顯然是與實際情況不相符的，如圖2.9(b)、(c) 所示。要使物體變形后仍保持為連續(xù)，圖2.9 (d) 所示的情況，那么各微元體之間的變形必須相互協(xié)調(diào)，即各應變分量之間必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。(a) (b) (c) (d)圖2.9 變形協(xié)調(diào)的討論 六個應變分量之間的關(guān)系可以分兩

36、組來討論。由幾何方程 (2.46)若對（2.46）式的前兩式分別對y、x求二階偏導數(shù)，并注意到位移分量是坐標的單值連續(xù)函數(shù)，有 (2.47)兩式相加，得 (2.48)進行類似的推導可得到另外兩個關(guān)系式。對于幾何方程的剪切應變與位移關(guān)系式分別對z、x、y求偏導，得, , (2.49)先將后兩式相加、減去第一式，消去位移分量項，得 (2.50)再求上式對z的偏導，即 (2.51)同樣可得到另外兩個與上式相似的關(guān)系式。綜上兩組公式將得到應變分量之間的如下六個微分關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程 (2.52)上述方程從數(shù)學上保證了物體變形后仍保持為連續(xù)，各微元體之間的變形相互協(xié)調(diào)，即各應變分量之間滿足一定的相容

37、性協(xié)調(diào)條件。2.5 物理方程本節(jié)研究應力與應變關(guān)系的方程式，即物理方程（Physical equation）。物理方程與材料特性有關(guān)，它描述材料抵抗變形的能力，也叫本構(gòu)方程(Constitutive law)。本構(gòu)方程是物理現(xiàn)象的數(shù)學描述，是建立在實驗觀察以及普遍自然原理之上。對物理現(xiàn)象進行準確的數(shù)學描述一般都十分復雜甚至不可行，本構(gòu)關(guān)系則是對一般真實行為模式的一種近似。另外，本構(gòu)方程只描述材料的行為而不是物體的行為，所以，它描述的是同一點的應力狀態(tài)與它相應的應變狀態(tài)之間的關(guān)系。2.5.1廣義虎克定律1 廣義虎克定律的一般表達式和Lame系數(shù)在進行材料的簡單拉伸實驗時，從應力應變關(guān)系曲線上可以

38、發(fā)現(xiàn)，在材料達到屈服極限前，試件的軸向應力正比于軸向應變e，這個比例常數(shù)定義為楊氏模量E，有如下表達式 (2.53) 在材料拉伸實驗中還可發(fā)現(xiàn)，當試件被拉伸時，它的徑向尺寸（如直徑）將減少。當應力不超過屈服極限時，其徑向應變與軸向應變的比值也是常數(shù)，定義為泊松比。 實驗證明，彈性體剪切應力與剪應變也成正比關(guān)系，比例系數(shù)稱之為剪切彈性模量，用G表示。 對于理想彈性體，可以設6個直角坐標應力分量與對應的應變分量成線性關(guān)系，如下式 (2.54)上式即為廣義虎克定律的一般表達式。按照廣義虎克定律，三個主應力, , 與三個主應變, , 之間同樣也是線性關(guān)系，以為例 (2.55)這里的a,b,c是常數(shù)。對

39、于各向同性材料，對主應變和的影響應該是相同的，因此b和c應該相等。因此，上式關(guān)于的表達式可寫成 (2.56)式中，即為體積應變。若符號b用表示，(a-b) 用表示 ，則關(guān)于的方程可表示為 (2.57a)相似地，對于可得到 (2.57b) (2.57c)式中，和是兩個常數(shù)，稱為Lame系數(shù)。2 廣義虎克定律的工程表達式在工程上，廣義虎克定律常采用的表達式為 （2.58）它與下面的表達式等價 (2.59)對于剪應力和剪應變，線性的各向同性材料的剪應變與剪應力的關(guān)系是 (2.60a)式中，G剪切模量。與此類似，其它剪應變與其相應的剪應力的關(guān)系為 (2.60b) (2.60c)這樣，一點的六個應力分量

40、和六個應變分量之間的關(guān)系可以用如下矩矩陣形式來表示 (2.61)式中，D彈性矩陣，它是一個常數(shù)矩陣，只與材料常數(shù)楊氏模量E和泊松比有關(guān)。其表達式為 (2.62)在式(2.61)的基礎上，可以直接得到如下關(guān)系式 (2.63)用主應力分量表達的廣義虎克定律為 (2.64)3 Lame系數(shù)與材料常數(shù)的關(guān)系由式(2.57a, b, c)可以得到 (2.65)代入式(2.57a)并整理得 (2.66)對照式(2.64)的第一式可以得到 (2.67)由式(2.67)解得 (2.68)由此得出，Lame系數(shù)等于剪切彈性模量G, 即 (2.69)2.5.2用位移表達的平衡微分方程應力分析中推導出的平衡微分方程

41、是描述彈性體內(nèi)某一點6個直角應力分量與體積力分量之間的關(guān)系。本節(jié)研究的物理方程則描述了應力和應變之間的關(guān)系，綜合這兩組基本方程，可以推導出用應變表示的平衡微分方程，更進一步，再考慮描述應變與位移關(guān)系的幾何方程，可以推導出用位移表示的平衡微分方程，即位移平衡微分方程。具體如下。由推導出的平衡微分方程為 (2.70)對于各向同性的材料，有 (2.71)將式（2.71）代入式(2.70)，變?yōu)?(2.72)再用幾何方程進行進一步替換，得到 (2.73)整理得 (2.74)其中考慮到體積應變的公式 (2.75)得到下式 (2.76)上式即是位移平衡微分方程中的第一式?？紤]由另外兩式導出的平衡微分方程，

42、經(jīng)過類似的推導可得到另外兩個用位移表示的平衡微分方程。定義拉普拉斯算子，最后得到用位移表示的平衡微分方程如下 (2.77)上述用位移表達的平衡微分方程涉及應力、應變以及應力和應變關(guān)系，反映了彈性體的力學特征、幾何特征和物理特征，該方程在彈性力學問題求解中較為重要。2.5.3圣維南原理在求解彈性力學問題時，不僅要使應力分量、應變分量、位移分量在求解域內(nèi)（物體內(nèi)）完全滿足前述的基本方程，而且在邊界上要滿足給定的邊界條件。但是，在工程實際中物體所受的外載荷往往比較復雜，一般很難完全滿足邊界條件。當所關(guān)心的并不是載荷作用區(qū)域內(nèi)的局部應力分布時，可以利用圣維南原理加以簡化。針對等截面長桿的彎曲和扭轉(zhuǎn)問題

43、, 在1855年圣維南發(fā)表了他的著名的理論。圣維南原理一般可以這樣來敘述：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（即主矢量相同、對同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分布將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。圣維南原理還可以表述為：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（即主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使得近處產(chǎn)生顯著的應力，遠處的應力可以不計。應該特別注意的是，應用圣維南原理不能離開“靜力等效”的條件。例如，對圖2.10（a）所示的受力桿件，如果把一端或兩端的拉力P變換為靜力等效的力P/2、或均勻分布的拉力P/A（A為桿件的橫截面積），那么只

44、有圖中虛線部分的應力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響可以不計。這就是說，在圖2-10所示的四種情況下，離開兩端較遠的部位的應力分布并沒有顯著的差別。圖2.10 圣維南原理示意圖圣維南原理提出至今已有一百多年的歷史，雖然目前還沒有確切的數(shù)學表示和嚴格的理論證明，但無數(shù)的實際計算和實驗測量都證實了它的正確性。2.6 彈性力學中的幾個典型問題任何一個彈性體都是一個空間物體，其所受的外力也都是空間力系，所以，嚴格地講，任何一個實際的彈性力學問題都是空間問題。但是，如果所分析的彈性體具有某種特殊的形狀、并且所承受的外力是某種特殊的外力，那么就可以把空間問題簡化為近似的典型問題進行求解。這樣的簡化處

45、理可以大大簡化分析計算的工作量，且所獲得的結(jié)果卻仍然能夠滿足工程上的精度要求。本節(jié)主要介紹平面問題、軸對稱問題和板殼問題。2.6.1平面問題平面問題是工程實際中最常遇到的問題，許多工程實際問題都可以簡化為平面問題來進行求解。平面問題一般可以分為兩類，一類是平面應力問題，另一類是平面應變問題。1 平面應力問題所謂平面應力問題是指，所研究的對象在z方向上的尺寸很?。闯势桨鍫睿?，外載荷（包括體積力）都與z軸垂直、且沿z方向沒有變化，在 z =h/2 處的兩個外表面（平面）上不受任何載荷，如圖2.11所示。圖2.11 平面應力問題對于這種情況，在 z =h/2 處的兩個外表面上的任何一點，都有sz

46、=tzx =tzy =0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物體內(nèi)任意一點的sz、tzx、tyz 都等于零，而其余的三個應力分量sx、sy、txy 則都是x, y的函數(shù)。此時物體內(nèi)各點的應力狀態(tài)就叫做平面應力狀態(tài)。在平面應力狀態(tài)下，由于sz =tzx =tzy =0，所以可以很容易得到平面應力問題的平衡方程 (2.78)平面應力問題的幾何方程 (2.79)平面問題中的物理方程 (2.80)2 平面應變問題圖2.12 平面應變問題與上述情況相反，如圖2.12所示，當物體z方向上的尺寸很長，物體所受的載荷（包括體積力）又平行于其橫截面（垂直于z軸）且不沿長度方向（z方向）變化，即物體的

47、內(nèi)在因素和外來作用都不沿長度方向變化，那么這類問題稱為平面應變問題。對于平面應變問題，一般可假想其長度為無限長，以任一橫截面為xy面、任一縱線為z軸，則所有應力分量、應變分量和位移分量都不沿z方向變化，而只是x, y的函數(shù)。在這種情況下，由于任一橫截面都可以看作是對稱面，所以物體內(nèi)各點都只能在xy平面上移動，而不會發(fā)生z方向上的移動。根據(jù)對稱條件可知，tzx =tzy =0，并且由剪應力互等關(guān)系可以斷定，txz =tyz =0。但是，由于z方向上的變形被阻止了，所以一般情況下sz 并不等于零。在平面應變狀態(tài)下，由于sx 、sy 、sz 及txy 都只是x, y的函數(shù)，而txz =tyz =0，

48、且因外力都垂直于z軸，故無z方向的分量。由應力平衡微分方程式可以看出，其中的第三個方程能夠自動滿足，剩余的兩個式子與式（2.78）相同。對于平面應變問題，因位移分量都不沿z方向變化，且w = 0，故有 ez =gzx =gzy =0，所以其幾何方程與平面應力問題的幾何方程相同。但是，由于 ez = 0，即，因而平面應變問題的物理方程與平面應力問題的物理方程不同，即 (2.81)對有些實際問題，例如擋土墻和重力壩的問題等，雖然其結(jié)構(gòu)并不是無限長，而且在靠近兩端之處的橫截面也往往是變化的、并不符合無限長柱形體的條件，但這些問題很接近于平面應變問題，對于離開兩端較遠之處按平面應變問題進行分析計算，得出的結(jié)果是可以滿足工程要求的。2.6.2 軸對稱問題在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束狀態(tài)以及外載荷都對稱于某一根軸（過該軸的任一平面都是對稱面），那么彈性體的所有應力、應變和位移也就都對稱于這根軸。這類問題通常稱為空間軸對稱問題。對于軸對稱問題，采用圓柱坐標r、q、z比采用直角坐標x、y、z方便得多。這是因為，當以彈性體的對稱軸為z軸時（如圖2.13所示），則所有的應力分量、應變分量和位移分量都將只是r和 z的函數(shù)，而與q無關(guān)（即不隨q變化）。為推得軸對稱