云南省保山曙光學(xué)校高一數(shù)學(xué)《指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（一）》教學(xué)設(shè)計(jì)（通用）

1、 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（一）一、內(nèi)容及其解析（一）內(nèi)容：章導(dǎo)言，引出指數(shù)冪概念的推廣，根式（二）解析：本節(jié)課是關(guān)于根式的一節(jié)概念課，是高中新課改人教A版教材第二章的第一節(jié)課第一章主要介紹了函數(shù)的概念，本章計(jì)劃用14個(gè)課時(shí)重點(diǎn)介紹幾類具體的基本初等函數(shù)，以此進(jìn)一步理解函數(shù)概念，認(rèn)識(shí)函數(shù)的思想其中，指數(shù)函數(shù)計(jì)劃用6課時(shí)，具體分配如下：根式（含章導(dǎo)言）1課時(shí)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1課時(shí)，無(wú)理指數(shù)冪1課時(shí)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)3課時(shí)1章導(dǎo)言在本節(jié)課起到了一個(gè)承上啟下的作用，特別對(duì)學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)具有引導(dǎo)作用2本章首先要介紹的是指數(shù)函數(shù)，即f(x)=ax（a0且a1），這里的ax是一個(gè)指數(shù)冪，其中xR這就涉

2、及到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念，而在此之前同學(xué)只學(xué)過(guò)整數(shù)指數(shù)冪，所以需要在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前將同學(xué)已有指數(shù)冪的概念進(jìn)行推廣，由整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪，再進(jìn)一步推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪由于先有根式才有有理指數(shù)冪（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪），根式就成了有理指數(shù)冪的基礎(chǔ)，而方根又是根式概念的核心，所以本節(jié)課主要就是針對(duì)有理指數(shù)冪，從n次方根逐步認(rèn)識(shí)根式，為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)有理指數(shù)冪奠定基礎(chǔ)3由于本模塊、本章和本節(jié)都是圍繞函數(shù)這一核心，從不同角度展開(kāi)研究，所以無(wú)論是指數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算，還是根式，都是為函數(shù)教學(xué)服務(wù)的，都不是我們研究的重點(diǎn)這樣，本節(jié)課的重點(diǎn)就應(yīng)該放在為后續(xù)內(nèi)容的鋪墊上，即將整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪和引入指數(shù)函數(shù)，而關(guān)鍵在于

3、根式的概念，包括n次方根定義、表示和性質(zhì)二、目標(biāo)及其解析（一）教學(xué)目標(biāo)1初步了解指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)；2通過(guò)類比平方根、立方根，認(rèn)識(shí)n次方根，進(jìn)而初步理解根式的概念（二）解析1課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有明確提出本節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容和要求，但根據(jù)它對(duì)本模塊、本章和本節(jié)的內(nèi)容要求，結(jié)合教科書(shū)當(dāng)前和今后內(nèi)容的實(shí)際，基于對(duì)相關(guān)內(nèi)容的分析，提出了上述教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)容并給出了相應(yīng)的要求定位2初步了解指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)，主要是指結(jié)合具體事例，從它們的表示形式上對(duì)它們有所了解，并不給出它們的定義，更不涉及其運(yùn)算或圖象、性質(zhì)3由于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容不僅涉及根式的定義，還涉及其表示和性質(zhì)，后續(xù)內(nèi)容還涉及其運(yùn)算，所以對(duì)根式概念的定位應(yīng)該是

4、理解層次而本小節(jié)教科書(shū)之后將不再專門介紹根式，所以本節(jié)課務(wù)求初步理解根式概念，而在下節(jié)課的根式運(yùn)算中逐步達(dá)到真正的理解4在與平方根、立方根比較的過(guò)程中，可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)類比的思想方法，提高同學(xué)的思維水平并在推廣與化歸的過(guò)程中，形成根式的知識(shí)鏈三、問(wèn)題診斷分析同學(xué)在理解根式概念的過(guò)程中可能會(huì)遇到困難，具體表現(xiàn)在對(duì)n次方根定義的理解，特別是n次方根的存在性，以及性質(zhì)的認(rèn)識(shí)因?yàn)閺钠椒礁土⒎礁絥次方根，是一個(gè)特殊到一般的變化過(guò)程，要求同學(xué)具有一定的歸納概括能力和抽象能力要克服這一困難，關(guān)鍵是引導(dǎo)同學(xué)建立n次方根與平方根和立方根的聯(lián)系，通過(guò)類比平方根和立方根，讓同學(xué)在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，從具體例子出發(fā)，

5、不斷地觀察、比較、模仿、判斷，從而形成概念，同時(shí)將新知識(shí)同化到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而克服可能遇到的困難四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程概念的引入概念的形成概念的明確概念的表示本章學(xué)習(xí)引導(dǎo)概念的鞏固和應(yīng)用（二）教學(xué)情景1本章學(xué)習(xí)引導(dǎo)問(wèn)題1：老師想和在座的每一位同學(xué)簽署一份合同，合同的具體要求是：從今天開(kāi)始的一個(gè)月內(nèi)（即31天），老師每天給你10萬(wàn)元錢，而你第一天只需給老師1分錢，以后每天給老師的錢是前一天的兩倍你是否愿意簽署這份合同？請(qǐng)思考一分鐘，然后作出決定設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)有趣的情景，將同學(xué)的注意力引向本章的學(xué)習(xí)之中并借此揭示指數(shù)函數(shù)的形式和爆炸性增長(zhǎng)的特點(diǎn)師生活動(dòng)：對(duì)愿意和不愿意簽署

6、合同的同學(xué)，都要求其說(shuō)明原因，即：（1）同學(xué)每天得到的錢（萬(wàn)元）：10，10，10；一個(gè)月得到的總和（萬(wàn)元）：=310（2）老師每天得到的錢（萬(wàn)元）：10-6，210-6，2210-6，2n-110-6，23010-6；一個(gè)月得到的總和（萬(wàn)元）：10-6+210-6+2210-6+2n-110-6+23010-6=2 147.483 647注：上式的計(jì)算可借助計(jì)算工具，若嫌求和復(fù)雜，可只求最后一個(gè)數(shù)進(jìn)行體會(huì)，23010-6=1 073.741 824若同學(xué)們余興未盡，還可以進(jìn)一步地問(wèn)：從哪一天起，同學(xué)的支出超過(guò)收入？引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算器探究，并為第三章函數(shù)零點(diǎn)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)問(wèn)題2：閱讀章導(dǎo)言，看章

7、頭圖并思考章頭問(wèn)題，然后回答：本章我們將要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？教科書(shū)為什么這樣安排？你準(zhǔn)備怎樣學(xué)？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)對(duì)本章內(nèi)容有一個(gè)概括性的認(rèn)識(shí)，并大致清楚學(xué)習(xí)的目標(biāo)和方法師生活動(dòng)：從同學(xué)的回答來(lái)把握其認(rèn)識(shí)的程度，并從中進(jìn)行引導(dǎo)：（1）當(dāng)同學(xué)泛泛地回答本章將學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)時(shí)，可進(jìn)一步追問(wèn)：哪些基本初等函數(shù)，每類函數(shù)又會(huì)學(xué)哪些內(nèi)容？以此來(lái)引導(dǎo)同學(xué)認(rèn)真閱讀教科書(shū)的章導(dǎo)言，并結(jié)合前一章的內(nèi)容進(jìn)行思考（2）對(duì)教科書(shū)“為什么這樣安排”的問(wèn)題，可結(jié)合章頭圖和章頭問(wèn)題，引導(dǎo)同學(xué)形成特殊到一般再到特殊的認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，具體講就是從一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等特殊函數(shù)到一般函數(shù)，再由一般函數(shù)到幾類基本

8、初等函數(shù)這些特殊函數(shù)并從中領(lǐng)會(huì)本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)（3）在學(xué)法指導(dǎo)上，可引導(dǎo)同學(xué)借助第一章函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法（4）為了進(jìn)一步了解有關(guān)概念，可讓同學(xué)舉出類似前面情景問(wèn)題和章頭問(wèn)題的例子，也可給出本節(jié)教科書(shū)開(kāi)始的兩個(gè)例子將問(wèn)題所涉及到的指數(shù)冪概括為an的形式問(wèn)題3：繼續(xù)閱讀教材P48頁(yè)的兩個(gè)例子，然后回答：（1） 正整數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？它具有哪些運(yùn)算性質(zhì)？（2） 兩個(gè)例子中的數(shù)均可以用同一種形式來(lái)表示，請(qǐng)將這種形式寫(xiě)出來(lái)。問(wèn)題4：對(duì)于an，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)的意義我們已經(jīng)知道；當(dāng)n是正分?jǐn)?shù)時(shí)，它的意義又是什么呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)建立與根式的聯(lián)系師生活動(dòng)：可進(jìn)一步作出下列引導(dǎo)，幫助同學(xué)建立與根式的聯(lián)

9、系：以an的一個(gè)簡(jiǎn)單情形為例，如果整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理指數(shù)冪也同樣適用，那么就有根據(jù)平方根的意義，就是2的一個(gè)正的平方根，而2的正的平方根是，可見(jiàn)=由此啟發(fā)我們，可以通過(guò)已經(jīng)有所認(rèn)識(shí)的根式來(lái)認(rèn)識(shí)指數(shù)冪an2概念的引入問(wèn)題5：我們知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x叫做a的立方根（3次方根）請(qǐng)問(wèn)：（1）你由此想到，還有哪些方根？（2）你能否根據(jù)上述定義，給你所說(shuō)的這些方根進(jìn)行定義？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧平方根和立方根，讓同學(xué)在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，與同類概念進(jìn)行比較，通過(guò)類比得到對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)方法上的啟發(fā)，并為領(lǐng)會(huì)新概念找到一個(gè)固著點(diǎn)，從而引出n次方根的定義以

10、此促進(jìn)概括，明確n次方根概念的內(nèi)涵，進(jìn)而準(zhǔn)確把握此概念師生活動(dòng)：為了幫助同學(xué)進(jìn)行類比，可以將平方根和立方根的定義上下對(duì)齊寫(xiě)在黑板上，然后讓同學(xué)將類比出的定義寫(xiě)在它們的下面3概念的形成問(wèn)題6：根據(jù)平方根和立方根的定義，我們可以舉例，例如，由于（2）2=4，所以2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根類似地，請(qǐng)根據(jù)你所給出的其他方根的定義，舉出相應(yīng)的例子設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)n較大或就是n時(shí)，同學(xué)舉例困難了，于是引入n次方根的表示師生活動(dòng)：可引導(dǎo)同學(xué)類比平方根和立方根的表示，給出n次方根的表示：（1）我們知道，4的平方根是2，可以表示為=2；8的立方根是2，可以表示為=2；-8的立方根是-2，可

11、以表示為=-2那么類似地，16的4次方根怎樣表示？32的5次方根怎樣表示？-32的5次方根怎樣表示？a的n次方根又怎樣表示？（2）從上述例子中我們是否能看出什么規(guī)律？也就是：n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有幾個(gè)？是正數(shù)，負(fù)數(shù)，還是零？怎樣表示？負(fù)數(shù)a的n次方根有幾個(gè)？是正數(shù)，負(fù)數(shù)，還是零？怎樣表示？n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有幾個(gè)？是正數(shù)，負(fù)數(shù)，還是零？怎樣表示？（3）負(fù)數(shù)有沒(méi)有偶次方根？（4）0的n次方根是多少？可以怎樣表示？4概念的明確問(wèn)題7：請(qǐng)把前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容歸納一下，什么叫n次方根？如何表示？設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)明確n次方根的概念師生活動(dòng)：為了讓同學(xué)進(jìn)一步明確根據(jù)n次方根的概念，解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，()n= ；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，()n= 舉例說(shuō)明（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，= ；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，= 舉例說(shuō)明5概念的表示前面用來(lái)表示a的n次方根的式子，我們把它叫做根式，讀作n次根號(hào)下a（其中一般讀作根號(hào)a），其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng)根指數(shù)為n時(shí)，又把叫做n次根式問(wèn)題8：請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)根式，并讀出來(lái)，然后指出它的根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)設(shè)計(jì)意圖：在明確了根式的概念之后，讓同學(xué)通過(guò)舉例和表示，并利用概念對(duì)具體例子進(jìn)行判斷，推動(dòng)他們對(duì)概念的理解活動(dòng)，從而進(jìn)一步形成對(duì)根式概念抽象的認(rèn)識(shí)師生活動(dòng)：為了讓同學(xué)對(duì)概念有豐富的例證，在他們舉例的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)提出下列問(wèn)題：讀出下列根