2020年普通高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用精品學(xué)案（通用）

1、2020年普通高考數(shù)學(xué)和最佳實(shí)踐復(fù)習(xí)第26課平面矢量的定量乘積及其應(yīng)用一.課程要求：1.平面向量的數(shù)量積通過(guò)物理學(xué)中的“工作”等例子，理解平面向量量化積的意義和物理意義。了解平面向量的數(shù)量積和向量投影的關(guān)系。掌握?qǐng)?zhí)行平面矢量數(shù)量積運(yùn)算的數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式?？梢杂孟蛄糠e表示兩個(gè)向量的夾角，用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。向量應(yīng)用程式經(jīng)驗(yàn)向量是處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，是開(kāi)發(fā)計(jì)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)經(jīng)歷了以向量方式解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、機(jī)械問(wèn)題和其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。二、命題趨勢(shì)本課以選擇題、填空問(wèn)題為例，探討本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)探討平面向量量化積的概念和應(yīng)用。主

2、要經(jīng)驗(yàn)向量是代數(shù)幾何的組合體，這種問(wèn)題并不困難，而是59分的分?jǐn)?shù)。平面矢量的合成問(wèn)題是“新熱點(diǎn)”題注類(lèi)型，它與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等相關(guān)聯(lián)，以解決角度、垂直、共線等問(wèn)題。2020年高考預(yù)測(cè)：(1)平行、垂直關(guān)系的確定或角度、側(cè)重長(zhǎng)度問(wèn)題的選擇題和填空問(wèn)題；屬于中級(jí)標(biāo)題。(2)利用三角形和數(shù)列、分析幾何作為矢量，研究矢量的運(yùn)算和特性的解；三.要點(diǎn)1.向量的數(shù)量積(1)兩個(gè)非零向量的夾角如果已知非零矢量a和a為=，=，=，則AOA=(0)稱(chēng)為與的角度。說(shuō)明：(1) =0時(shí)的相同方向；(2) =時(shí)和逆；(3) =時(shí)，垂直，記憶；(4)在兩個(gè)向量的夾角定義中，兩個(gè)向量必須是0q180范圍內(nèi)的同一個(gè)

3、起點(diǎn)。c(2)數(shù)量積的概念如果已知兩個(gè)非零向量及其角度為，則= cos稱(chēng)為and的數(shù)量積(或內(nèi)部積)。規(guī)定；規(guī)定。向量的投影：cos=r，稱(chēng)為方向上的向量投影。投影的絕對(duì)值稱(chēng)為投影。(3)數(shù)量乘積的幾何意義：相同長(zhǎng)度和方向的投影的乘積。(4)矢量數(shù)量積的性質(zhì)矢量的模塊與平方的關(guān)系：乘法公式成立平面矢量數(shù)量積的運(yùn)算法則交換法成立：錯(cuò)誤的接合法成立：分配法成立：矢量角度：cos=。=00(僅當(dāng)兩個(gè)非零矢量處于同一方向時(shí)，才忽略與其他非零矢量的角度問(wèn)題，=1800，0)。(5)兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算如果兩個(gè)向量已知=。(6)垂直：和(900)如果有夾角，則稱(chēng)為垂直，表示。兩個(gè)非零向量法向的充要條

4、件：o，平面向量數(shù)積的性質(zhì)。(7)平面上兩點(diǎn)之間距離的公式設(shè)置，或。表示矢量的垂直線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，(平面上兩點(diǎn)之間的距離公式)。向量應(yīng)用程式(1)矢量在幾何中的應(yīng)用；(2)矢量在物理學(xué)中的應(yīng)用。四。案例分析問(wèn)題1:數(shù)量乘積的概念范例1。判斷以下命題是否正確：(1)；(2)；(3)如果是；(4)如果是這樣，僅在當(dāng)時(shí)成立。(5)為所有向量設(shè)定。(6)對(duì)于隨機(jī)矢量。分析：(1)錯(cuò)誤；(2)是；(3)錯(cuò)誤；(4)錯(cuò)誤；(5)錯(cuò)誤；沒(méi)錯(cuò)。評(píng)論：通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，我們清楚地理解向量的數(shù)值相乘和數(shù)量積的差值是0，而不是0向量。范例2 .(1)，是任意矢量，mr時(shí)，以下等式不一定是()A.bC.m

5、()=m m D，設(shè)定為任意非零平面向量，且彼此不共線()()=| | | |-|()-非垂直(3-2)(3-2)=9 | | 2-4 | |二中真命題如下()A.b .c .d .分析：(1)答案：d；因?yàn)?，而且；方向和方向不一定相同?2)答案：D平面向量的乘積不滿足連接規(guī)律。所以是假的；從矢量減法可以看出，| |、|、|-|是三角形三條邊的長(zhǎng)度，“兩條邊的差小于第三條邊”這一點(diǎn)來(lái)看，真；因?yàn)?)-()=()-()=0，所以垂直。因此虛假； (3 2) (3-2)=9-4=9 | | 2-4 | | 2。所以真的。注釋?zhuān)哼@個(gè)問(wèn)題回顧了平面向量的數(shù)量積和運(yùn)算法則。向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足接合規(guī)

6、則。問(wèn)題2:向量的角度范例3 .(1)已知向量、滿足、和的夾角為()A.b.c.d(2)已知向量=(cos，sin)、=(cos，sin)和的角度大小為。(3)如果已知的2個(gè)單位向量和的角度為，則嘗試與的角度。(4)| |=1、| |=2、=、和時(shí)，向量和角度為()A.30B.60C.120D.150分析：(1)c；(2)；(3)提問(wèn)，夾角，所以，而且，而且，可以用同樣的道理得到。而且，設(shè)定為的角度，婦聯(lián)。(4)c；設(shè)定兩個(gè)向量的夾角，如下所示也就是說(shuō)：所以注釋?zhuān)航鉀Q矢量夾角問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)公式掌握矢量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。可以看到矢量的模數(shù)方法和矢量之間的乘法計(jì)算。此公式的變形應(yīng)用需要熟練，并且需要

7、矢量垂直(平行)的充分條件。范例4 .(1)設(shè)定平面向量、的和。向量、匹配，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后方向與相同。()A.-=B.-=C.-=D.=(2)如果已知方程式具有實(shí)際根，則的角度范圍為()A.b.c.d分析：(1)d；(2)b；解說(shuō)：對(duì)于平面矢量的數(shù)倍，要學(xué)會(huì)技巧的應(yīng)用，好解決實(shí)際問(wèn)題。問(wèn)題3:向量的模組范例5 .(1)如果已知向量和的角度為，則等于()A.5B.4C.3D.1(2)向量滿足設(shè)定()A.1 B.2 C.4 D.5分析：(1)b；(2)d；意見(jiàn)：掌握向量數(shù)乘積的反運(yùn)算。范例6 .已知=(3，4)，=(4，3)，x，y求值的值 | x y |=1。分析：=(3，4)，=(4，3)，

8、x y=(3x 4y，4x 3y)；)；和(x y)y)=03(3x4y)4(4x3y)=0；也就是25x 240=0；此外，| x y |=1 | x y | 2=1(3x4y)2(4x3y)2=1；25x2 48xy 25y 2=1表示x(25x 2 24y)24xy 25y 2=1；24xy 25y 2=1；用代替變異就行了：y=；再次是。評(píng)論：在這里，注意兩個(gè)條件相互制約，具體化方程系統(tǒng)的思想。問(wèn)題4:矢量垂直和平行判斷范例7 .已知向量、和。分析：，范例8 .已知的，根據(jù)以下條件得出正確的值：(1)；(2)；即可從workspace頁(yè)面中移除物件。解決方案：(1)；(2)；，即可從w

9、orkspace頁(yè)面中移除物件。注釋?zhuān)哼@個(gè)例子顯示了矢量以坐標(biāo)形式平行、垂直、模式的基本運(yùn)算。問(wèn)題5:平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用范例9 .已知。分析：可以看作矢量的模冪，但是是數(shù)量的乘積，并使用數(shù)量積的性質(zhì)證明了這個(gè)不等式。證明：設(shè)置婦聯(lián)。評(píng)論：在向量這部分的內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們會(huì)遇到很多具有不等式結(jié)構(gòu)的公式。例如：范例10 .已知。在這里。(1)尋求證據(jù)：互垂；與(2)()長(zhǎng)度相同。解決方法：(1)因?yàn)樗员舜舜怪薄?2)、而且，所以，而且，因?yàn)?，所以，有，因?yàn)?，所以，另一個(gè)原因是，所以。評(píng)論：平面向量和三角函數(shù)在“角”之間有密切的關(guān)系。在平面矢量和三角函數(shù)的相遇中設(shè)計(jì)試題，其形式多樣，解法靈活

10、，很有思考性和挑戰(zhàn)性。根據(jù)給定三角化的結(jié)構(gòu)和矢量之間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。簡(jiǎn)化故障診斷過(guò)程，加快故障診斷速度。問(wèn)題6:平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用范例11 .已知兩點(diǎn)且點(diǎn)P(x，y)公差小于零的等差序列。(1)尋求證據(jù)。如果點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2)，請(qǐng)記住和的角度。分析：(1)簡(jiǎn)單解決方案：直接方法(2) p不在x軸上時(shí)，而且因此，如果p在x軸上，常識(shí)仍然成立。圖1注釋?zhuān)赫颐娣e公式獲得了三角形面積與數(shù)量積的關(guān)系，并通過(guò)面積等價(jià)物方法建立了等量關(guān)系。范例12 .用矢量方法證明：直徑的圓周角度垂直。已知：AB是 o的直徑，點(diǎn)p是o的不干點(diǎn)(與a，b不匹配)。驗(yàn)證：apb=90。證明：連接OP，設(shè)置向量，即

11、APB=90。評(píng)論：平面向量是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的好工具，具有良好的運(yùn)算和明確的幾何意義。數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域和相關(guān)學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。問(wèn)題7:平面向量在物理學(xué)中的應(yīng)用范例13 .如圖所示，正六邊形PABCDE具有5個(gè)力，其邊長(zhǎng)度為b，作用于同一點(diǎn)p，并取得5個(gè)力的合力。分析：使用PA，PE作為邊，需要平行四邊形PAOE的五種力的合力為立方體特性，o點(diǎn)位于PC上，PB，PD作為邊，平行四邊形PBFD作為立方體特性，f點(diǎn)位于PC的延長(zhǎng)線上，如圖3所示。也可以用正六角形的性質(zhì)來(lái)求因此，通過(guò)矢量的加法，可以看出5個(gè)力的合力的合力與的方向大小相同。V.事故摘要1.兩個(gè)向量的數(shù)積與向量的實(shí)數(shù)積有很大的區(qū)別(1)兩個(gè)

12、矢量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，而不是由cosq的符號(hào)確定的矢量。(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積。以后要學(xué)兩個(gè)向量的外積，但兩個(gè)向量的個(gè)數(shù)乘積在寫(xiě)的時(shí)候要嚴(yán)格區(qū)分。符號(hào)“”在向量運(yùn)算中不是乘法，不能省略，也不能用“”代替；(3)在實(shí)數(shù)中，如果A0和ab=0，則b=0；但是，如果數(shù)量乘積為零，=0，則不能推=。因?yàn)镃osq可以為零。(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，ab=bc a=c。但是=；右側(cè)：=| | cosb=| | OA |，c=| c | cosa=| | | OA |=但是；(5)實(shí)數(shù)有()=()，但() ()是一個(gè)向量，其左端與c共線，右端與c共線，通常不與c共線。2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法

13、則特別注意：(1)接合法不成立：(2)剔除法不成立，就不能得到。(3)=無(wú)法獲得0=或=。3.向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)是數(shù)學(xué)。它在物理學(xué)等許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，代數(shù)形式和幾何的“雙重身份”可以合并為一個(gè)整體，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的很多主要知識(shí)綜合在一起，形成知識(shí)的互通，因此在高考中要引起足夠的注意。乘法的主要應(yīng)用：模塊化長(zhǎng)度；尋找角度；垂直判定；重視數(shù)學(xué)思維方式的教育。數(shù)字組合的思維方式。矢量本身具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，因此，在矢量知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)反映數(shù)模結(jié)合的思維方式，在解決問(wèn)題的過(guò)程中形成數(shù)模的思維習(xí)慣，進(jìn)一步理解知識(shí)的要點(diǎn)，提高應(yīng)用意識(shí)。轉(zhuǎn)換的思維方式。向量的角度、平行、垂直等關(guān)系的研究可以分為相應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題。三角形形狀的確定可以歸類(lèi)為相應(yīng)向量的數(shù)量積問(wèn)題。傳遞矢量和實(shí)數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的矢量的數(shù)量積公式；一些實(shí)際問(wèn)題也可以使用向量知識(shí)來(lái)解決。分類(lèi)討論的思維方式。向量可分為與共線向量不共線的向量。平行向量(共線向量)可分為各向同性和反向向量。方向上的矢量投影有三種情況：正、負(fù)和零，具體取決于它們之間的角度。在固定得分點(diǎn)公式中，根據(jù)點(diǎn)p的位置，它可以大于0或小于0。擠出