2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（重慶卷含答案）（通用）

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（重慶卷，含答案）本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘第卷考生注意：1答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫(xiě)清楚 ，并貼好條形碼請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目2每小題選出答案后，用2鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)在試題卷上作答無(wú)效3本卷共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的4所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效5考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨(dú)立，那么如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是

2、，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率以為半徑的球體積：一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為（ ）A相切 B相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心 C直線(xiàn)過(guò)圓心D相離2已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為2，則=（ ）A B CD 3的展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ）A16B70C560D11204已知，則向量與向量的夾角是（ ）ABCD 5不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD6鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（ ）A

3、 B C D 7設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，向量，若，則=（ ）ABCD 8已知，其中，則的值為（ ）A6BCD9已知二面角的大小為，為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與平面和平面所成的角都是的直線(xiàn)的條數(shù)為（ ）A2B3C4D5 10已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上11若，則 12若是奇函數(shù)，則 13將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）14設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= 15已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍

4、是 三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16（本小題滿(mǎn)分13分，（）小問(wèn)7分，（）小問(wèn)6分）設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期 （）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求當(dāng)時(shí)的最大值17（本小題滿(mǎn)分13分，（）問(wèn)7分，（）問(wèn)6分）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為和，且各株大樹(shù)是否成活互不影響求移栽的4株大樹(shù)中：（）兩種大樹(shù)各成活1株的概率；（）成活的株數(shù)的分布列與期望 18（本小題滿(mǎn)分13分，（）問(wèn)5分，（）問(wèn)8分）設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)（）求的值；（）若函數(shù)，討論的單調(diào)性 19（本小題滿(mǎn)分12分，（）

5、問(wèn)5分，（）問(wèn)7分）如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，求：（）點(diǎn)到平面的距離；（）二面角的大小 20（本小題滿(mǎn)分12分，（）問(wèn)5分，（）問(wèn)7分）已知以原點(diǎn)為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為，離心率，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（）若的坐標(biāo)分別是，求的最大值；（）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿(mǎn)足條件：，求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程；21（本小題滿(mǎn)分12分，（）問(wèn)5分，（）問(wèn)7分）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈（）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，求通項(xiàng)；（）若每個(gè)數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：； 絕密啟用前2020年普通高

6、等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）答案一、 選擇題：每小題5分，滿(mǎn)分50分 .(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C(7) C (8) D (9) B (10) B.二填空題：每小題5分，滿(mǎn)分25分 .(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )三解答題：滿(mǎn)分75分 .(16)（本小題13分）解：（）= = = 故的最小正周期為T(mén) = =8 ()解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) .由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而 = = 當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上的最大值為解法二： 因區(qū)間關(guān)于x = 1的對(duì)稱(chēng)區(qū)間為，且與的

7、圖象關(guān)于x = 1對(duì)稱(chēng)，故在上的最大值為在上的最大值由（）知 當(dāng)時(shí)，因此在上的最大值為 .(17)（本小題13分）解：設(shè)表示甲種大樹(shù)成活k株，k0，1，2表示乙種大樹(shù)成活l株，l0，1，2則，獨(dú)立. 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有 , . 據(jù)此算得 , , . , , . () 所求概率為. () 解法一：的所有可能值為0，1，2，3，4，且 , , = , . .綜上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9從而，的期望為（株）解法二：分布列的求法同上令分別表示甲乙兩種樹(shù)成活的株數(shù)，則故有從而知18、（本小題13分）解（）因又在x=0處取得極限值，故從而由曲線(xiàn)y=在（1

8、，f（1）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直可知該切線(xiàn)斜率為2，即（）由（）知，令（1）當(dāng)（2）當(dāng)K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)（3）方程有兩個(gè)不相等實(shí)根當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，故上為減函數(shù)時(shí)，故上為增函數(shù)（19）（本小題12分）解法一：（）因?yàn)锳D/BC,且所以從而A點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由AD/BC，得,又由知，從而為點(diǎn)A到平面的距離，因此在中()如答（19）圖1，過(guò)E電作交于點(diǎn)G，又過(guò)G點(diǎn)作,交AB于H，故為二面角的平面角，記為，過(guò)E點(diǎn)作EF/BC,交于點(diǎn)F,連結(jié)GF,因平面,故.由于E為BS邊中點(diǎn)，故,在中，,因，又故由三垂線(xiàn)定理的逆定理得,從而又可得因此而在中，在中，可得，

9、故所求二面角的大小為解法二：（）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS與平面yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E為BS的中點(diǎn).BCS為直角三角形 ,知 設(shè)B(0,2, )，0，則2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GECD .由故 又點(diǎn)G在直線(xiàn)CD上，即，由=（），則有聯(lián)立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 .因?yàn)?，,所以 故所求的二面角的大小為 .(20)（本小題12分）解：（）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為（a b 0 ）. 設(shè)，由準(zhǔn)線(xiàn)方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 . 又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以, 從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)上式取等號(hào)，的最大值為4.（II）如圖（20）圖，設(shè) .因?yàn)?，?因?yàn)?所以 . 記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)所以 由因?yàn)?，結(jié)合，得 故動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)方程為（21）（本小題12分） 解：（I）因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 從而當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由是