第一專題 量化誤差2.pptx

1、量化誤差與有限字長效應(yīng),第六專題,前言,數(shù)字信號處理的實質(zhì)：一組數(shù)值運算 從設(shè)計的角度來討論：認(rèn)為數(shù)字是無限精度的 從實現(xiàn)的角度考慮：數(shù)字的精度就是有限的 從設(shè)計時的無限精度到實現(xiàn)時的有限精度，會產(chǎn)生 相對于原設(shè)計系統(tǒng)的誤差，嚴(yán)重時會導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。,有限字長的影響，主要表現(xiàn)在以下三方面,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,即A/D變換器將模擬輸入信號變?yōu)橐唤M離散電平時產(chǎn)生的量化誤差。,濾波器的系數(shù)量化誤差,數(shù)字運算過程中的有效字長效應(yīng),即把系統(tǒng)系數(shù)用有限二進(jìn)制數(shù)表示時產(chǎn)生的量化誤差。,數(shù)字運算過程中為限制位數(shù)而進(jìn)行尾數(shù)處理、防止溢出而產(chǎn)生的有效字長效應(yīng)。,前言,主要內(nèi)容,數(shù)字運算過程中的有效字

2、長效應(yīng),濾波器的系數(shù)量化誤差,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,總 結(jié),定點數(shù)表示就是指小數(shù)點在數(shù)中的位置是固定不變的。 常用表達(dá)形式為： 其中，最高位為符號位，0為正，1為負(fù)，小數(shù)點緊跟在符號位后；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”；,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),定點數(shù)的表示,十進(jìn)制計算公式為：,式中， 為符號位； 為整數(shù)寬度，表示長度為 位； 表示小數(shù)寬度。,定點數(shù)在FPGA IP核中表示,十進(jìn)制計算公式為,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),定點數(shù)在FPGA IP 核中表示,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),定點數(shù)在FPGA IP 核中表示,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),定點數(shù)表示的缺點,定點數(shù)作加減法時結(jié)果

3、可能會 “溢出” 乘法運算不溢出，但字長要增加一倍。,例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111,成為六位數(shù)，截尾變成0.001。產(chǎn)生誤差。,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),數(shù)據(jù)的二進(jìn)制數(shù)采用定點表示動態(tài)范圍小，有溢出，尾數(shù)處理會帶來截尾或舍入誤差。由此，在數(shù)字系統(tǒng)的計算中便會發(fā)生有限字長效應(yīng)。,結(jié) 論,浮點數(shù)的表示,數(shù)碼中小數(shù)點的位置是浮動的，b位二進(jìn)制數(shù)分成指數(shù)部分和尾數(shù)部分。浮點數(shù)F可表示為:,:尾數(shù)，決定浮點的精度。,2C:指數(shù)，決定浮點數(shù)的動態(tài)范圍 ：階碼,符號位,符號位，正數(shù)小數(shù)點往右移，負(fù)數(shù)往左移,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)的表示,例1：F=0.1012

4、010=0.6254=2.5,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)的表示,例2：若兩個二進(jìn)制浮點數(shù) 求 及,將 的階碼變成與 一樣：,兩數(shù)相加可得：,將兩浮點數(shù)的階碼相加，小數(shù)部分相乘即可。 結(jié)果為,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)在FPGA IP核中的表示,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)浮點數(shù)字長由一個符號位S、指數(shù)e和無符號(小數(shù))的規(guī)格化尾數(shù) m構(gòu)成。 其格式如下圖所示。,最常見的浮點數(shù)格式為IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)。IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)有：32位單精度浮點數(shù)、4位雙精度浮點數(shù)及80位擴(kuò)展雙精度浮點數(shù)。,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)在FPGA IP核中的表示,最高位為符號位,O表示正數(shù),1表示負(fù)數(shù)。其后是用原碼表

5、示的指數(shù)e,若指數(shù)為E位,則表示范圍為: ,指數(shù)的偏移量下式表示：,指數(shù)表示移位數(shù)：,浮點數(shù)字長的代數(shù)表達(dá)式為：,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)在FPGA IP核中的表示,例：此處以32位單精度浮點數(shù)（1，8，23）為例：,計算結(jié)果,符號位,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)在FPGA IP核中的表示,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),浮點數(shù)在FPGA IP核中的表示,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),定點數(shù)：數(shù)據(jù)的二進(jìn)制數(shù)采用定點表示動態(tài)范圍小，有溢出，尾數(shù)處理會帶來截尾或舍入誤差。由此，在數(shù)字系統(tǒng)的計算中會發(fā)生有限字長效應(yīng)。,浮點數(shù)：浮點表示法尾數(shù)的字長決定浮點表示的精度，因此在硬件中（如DSP、FPGA

6、）實現(xiàn)計算時，由于硬件資源的限制及計算速率的要求對尾數(shù)的處理也會帶來截尾或舍入誤差。由于浮點表示的階碼決定浮點數(shù)的動態(tài)范圍，因此與定點相比，浮點有更大的動態(tài)范圍，且不易溢出。,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),結(jié) 論,小 結(jié),綜上所述，在數(shù)字運算中，數(shù)據(jù)的二進(jìn)制數(shù)無論是由定點表示還是由浮點表示，由于硬件的資源及計算速率的要求，計算結(jié)果中均有截尾誤差或舍入誤差，即存在有效字長效應(yīng)。除非我們以資源或速率換取高精度，否則截尾誤差及舍入誤差是難免的。,1 程佩青.數(shù)字信號處理教程(第三版).清華大學(xué)出版社.2007 2 陳后金.數(shù)字信號處理(第二版).高等教育出版社.2004,數(shù)字運算中的有效字長效應(yīng),主要內(nèi)

7、容,數(shù)字運算過程中的有效字長效應(yīng),濾波器的系數(shù)量化誤差,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,總 結(jié),輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,A/D轉(zhuǎn)換器是一種將輸入的模擬信號x(t)轉(zhuǎn)換為b位二進(jìn)制數(shù)字信號的器件。b的數(shù)值可以是8，12或高至20。它可以分為以下兩部分： 采樣：時間離散，幅度連續(xù)； 量化：數(shù)字編碼，對采樣序列作舍入或截尾處理，得有限字長數(shù)字信號 。 A/D變換器的功能原理圖如下圖所示。,A/D變換的工作原理,抽樣,量化器,抽樣 產(chǎn)生抽樣序列x(n)x(t)|t=nTx(nT)， x(n)： 可看成是一個無限精度的數(shù)字信號 在滿足抽樣定理的前提下，模擬信號時間離散化的過程是可逆的。,

8、量化 對抽樣序列進(jìn)行幅度上的離散化之后，用某種格式的數(shù)字代碼來表示。 量化過程是不可逆的 必定要引入量化誤差或量化噪聲。 量化噪聲的大小決定了A/D轉(zhuǎn)換器的動態(tài)范圍，是恒量A/D轉(zhuǎn)換器性能 的一個最重要指標(biāo)。,量化誤差的來源,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,A/D變換器的統(tǒng)計模型,實際采樣時要精確地知道所有的量化誤差e(n)是很困難的，一般情況下只要計算它的平均效應(yīng)就可以了，所以用統(tǒng)計分析方法來分析量化誤差的效應(yīng)。,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,A/D變換器的統(tǒng)計模型,理想ADC,量化器相當(dāng)于抽樣序列與加性白噪聲求和,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,抽樣,量化器,x(n),e(n

9、),A/D變換器可建模為一個無限精度的數(shù)字信號 和量化誤差 的疊加，即:,這時，我們常采用信噪比SNR來衡量量化效應(yīng)：,其中， 表示信號功率， 表示噪聲功率。,A/D變換器的誤差計算,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,A/D變換器的誤差計算,由此，可以計算誤差為：,SNR用dB表示有：,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,信號功率 越大，信噪比越高； 字長越長，A/D變換的信噪比越高； 隨著字長b的增加，信噪比也增大，字長b每增加一位，則信噪比增加約6dB。,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,結(jié) 論,在實際的信號處理中，輸入信號的幅值往往會大于A/D變換器的動態(tài)范圍，因此，需要將原有模擬輸

10、入信號 壓縮為 ， ，然后對其量化。由于 的實際方差為 ，所以信噪比為：,由于 ,壓縮輸入信號幅度將使SNR減小。,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,思 考,為了提高信噪比，是不是b越大越好呢？ b越大SNR越高，但芯片的復(fù)雜度越高； 輸入信號本身也含有噪聲n(t) 增加b，使量化噪聲功率遠(yuǎn)小于信號本身攜帶的噪聲功率即可，即：,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,小結(jié),輸入信號經(jīng)A/D變換會產(chǎn)生量化誤差。采用信噪比來估算量化誤差的大小可知，提高A/D的量化信噪比的方法有： 增大輸入信號 增加字長b,輸入信號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,數(shù)字運算過程中的有效字長效應(yīng),濾波器的系數(shù)量化誤差,輸入信

11、號經(jīng)A/D變換產(chǎn)生的量化誤差,總 結(jié),濾波器的系數(shù)量化誤差,問題的提出,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可用下式表示： 理想濾波器系數(shù) 和 是無限精度的，但在硬件中實現(xiàn)時二者必須用有限位的二進(jìn)制數(shù)存儲在有限長的寄存器中，經(jīng)過量化后的系數(shù)用 和 表示，則有,由濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分母表達(dá)式進(jìn)一步推導(dǎo)可知，量化誤差的表達(dá)式為 （*） 基于此，若用三個相同的一階IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)為 的數(shù)字濾波器，由于每個一階極點都是相同的 ，為了使該系統(tǒng)穩(wěn)定，由（*）式可得 ，即表示系數(shù)0.99只需用6位字長的二進(jìn)制數(shù)表示即可。,濾波器的系數(shù)量化誤差,由此可知，濾波器系數(shù)在硬件中實現(xiàn)時其長度不可能是無限精度的

12、，它會受到硬件資源的限制。而若對其進(jìn)行量化則會產(chǎn)生截尾誤差或量化誤差，這一點是無可避免的，為了保持系統(tǒng)穩(wěn)定，我們只能用有限字長來對濾波器系數(shù)以二進(jìn)制表示。,濾波器系數(shù)量化效應(yīng)除了與寄存器的字長有直接的關(guān)系外，還與濾波器的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。高階直接型結(jié)構(gòu)濾波器的極點數(shù)目多而密集，而低階直接型結(jié)構(gòu)濾波器的極點數(shù)目少而稀疏，因而前者對系數(shù)量化誤差要敏感得多12。,1 程佩青.數(shù)字信號處理教程(第三版).清華大學(xué)出版社.2007 2 桂志國，樓國紅.數(shù)字信號處理.數(shù)字信號處理.2009,濾波器的系數(shù)量化誤差,數(shù)字系統(tǒng)中的每一個數(shù)總是用有限字長的二進(jìn)制數(shù)碼表示， 運算過程中需要的數(shù)字信號的值、系統(tǒng)的系數(shù)和運算過程中的結(jié)果都是存儲在有限字長的存儲單元中的，此時數(shù)字的精度就是有限的，這就會使數(shù)值的二進(jìn)制表示存在截尾誤差或舍入誤差。,浮點數(shù)具有更大的動態(tài)范圍，取相同的尾數(shù)字長時，浮點運算的誤差要比定點運算的誤差小，因此在數(shù)值運算時盡量采用浮點運算。,為了減小A/D變換的量化誤差，可以增大輸入信號或增加字長，但若長到使A/D變換器的量化噪聲比輸入信號的噪聲電平更低則沒有意義