高中數(shù)學 報刊專題研究精選 一類應用題的統(tǒng)一解法素材（通用）

1、一類應用題的統(tǒng)一解法有關應用題中最值問題，在實際條件的約束下，不能僅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比較法，把問題轉化為與端點值的大小關系問題。例1 某種印刷品，單面印刷，其版面（如圖中陰影部分）排成矩形，版面面積為A，它的左右兩邊都要留寬為a的空白，上下兩邊都要留有寬為b的空白，且印刷品左右長度不超過定值l。問：如何選擇尺寸（紙張也是矩形），才能使印刷品所用紙張面積最?。繌亩褂∷⒌目傆眉埩孔钚?。解：設版面左、右長為x，上、下寬為y則有（x0，y0）設每張印刷品所用紙張面積為S則（1）當時，當且僅當時取“=”號，解得即此時左右長為，上下寬為（2）當時因為所以且所以 當時取等號，即選擇左、右

2、尺寸為l，上、下尺寸為用紙量最小。綜上所述，當時，選擇左右尺寸為時，上、下尺寸為2b+;當時，選擇左、右尺寸為l，上、下尺寸為所用紙量最小。例2 一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，甲、乙兩地相距s（千米），水速為常量p（千米/時），船在靜水中的最大速度為q（千米/時）（qp）。已知船每小時燃料費用（以元為單位）與船在靜水中速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為k。（I）把全程燃料費用y（元）表示為靜水中速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（II）為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度應為多少？解：（I）依題意知船由甲地勻速行駛至乙地所用的時間為，全程燃料費用為：，故所求函數(shù)及其

3、定義域為：（II）由題意知k、s、v、p、q均為正數(shù)，且vp，故有當且僅當，即時上式取等號若，則當時，全程燃料費用y最小。若2pq，當時，有因又所以當且僅當v=q時等號成立，即當v=q時，全程燃料費用最小。綜上知，為使全程燃料費用最小，當時，船的實際前進速度為p；當2pq時，船的實際前進速度應為。例3 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時。已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元。（I）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（II）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解：（I）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為故所求函數(shù)及其定義域為：（II）依題意知s，a，b，v都為正數(shù)，故有當且僅當時上式中等號成立若時上式中等號成立若時，有 因為，故有所以，且僅當v=c時等號成立。也