2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章數(shù)列推理與證明第35課等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教師用書

1、第35課 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和最新考綱內(nèi)容要求ABC等比數(shù)列1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nN，q為非零常數(shù))(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn3等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(n，mN)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，則amanapa

2、qa；(3)若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，anbn，(0)仍然是等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)滿足an1qan(nN，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)G為a，b的等比中項(xiàng)G2ab.()(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anan，則其前n項(xiàng)和為Sn.答案(1)(2)(3)(4)2已知等比數(shù)列an的公比為，則的值是_22.3(2017揚(yáng)州期末

3、)已知等比數(shù)列an滿足a22a14，aa5，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和為_31an是等比數(shù)列，由得解得S531.4(教材改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439q3，q327，q3.插入的兩個(gè)數(shù)分別為9327,27381.5在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項(xiàng)和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，解得n6.等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)已知Sn是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a416，S37，則a8_.(2)已知數(shù)列an是遞增的

4、等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于_(1)128(2)2n1(1)an為等比數(shù)列，a2a416，a34，a3a1q24，S37，S23，(1q2)3(1q)，即3q24q40，q或q2.an0，q2，則a11，a827128.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有解得或又an為遞增數(shù)列，Sn2n1.規(guī)律方法1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用2在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，在運(yùn)算過程中，應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算變式訓(xùn)練1(1)在等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)

5、和S321，則公比q的值為_(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3a60，則_. 【導(dǎo)學(xué)號：】(1)1或(2)28(1)根據(jù)已知條件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由題可知an為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.等比數(shù)列的判定與證明設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12，a25，b1a22a13.又，得an14an

6、4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列(n1)，故an(3n1)2n2.規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列an中，an0，且aanan2(nN)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN)，則an是等比數(shù)列說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于客觀題中的判定變式訓(xùn)練2(2016全國卷)已

7、知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3，則_.(2)(2017蘇州模擬)數(shù)列an的首項(xiàng)為a11，數(shù)列bn為等比數(shù)列且bn，若b10b112 017，則a21_. 【導(dǎo)學(xué)號：】(1)(2)2 017an是等比數(shù)列，S2

8、，S4S2，S6S4也成等比數(shù)列由3得S43S2，設(shè)S2x，則S43x，即x,2x，S63x成等比數(shù)列，S67x，.(2)bn，a21a1b20b19b18b1a1，又bn成等比數(shù)列，b1b20b2b19b10b112 017，a21(b10b11)10102 017.規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度2等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口變式訓(xùn)練3(1)在正項(xiàng)等比數(shù)

9、列an中，a1 008a1 009，則lg a1lg a2lg a2 016_.(2)(2017南昌一模)若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為_(1)2 016(2)2(1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016.(2)由題意得S49，所以.由a1a1qa1q2a1q3(aq3)2得aq3.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項(xiàng)倒數(shù)的和為2.思想與方法1方程的思想等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解2函數(shù)的思想通項(xiàng)公式

10、an a1qn1可化為anqn，因此an是關(guān)于n的函數(shù)，即an中的各項(xiàng)所表示的點(diǎn)(n，an)在曲線yqx上，是一群孤立的點(diǎn)3分類討論思想當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Snna1；當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考易錯點(diǎn)易錯與防范1特別注意q1時(shí)，Snna1這一特殊情況2由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.3在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽視q1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不成

11、等比數(shù)列；當(dāng)q1或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列)課時(shí)分層訓(xùn)練(三十五)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1若三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a52，c52，則b_. 【導(dǎo)學(xué)號：】1a，b，c成等比數(shù)列，b2ac(52)(52)1.又b0，b1.2(2017蘇州模擬)等比數(shù)列an的公比大于1，a5a115，a4a26，則a3_.4由得得2q25q20，解得q2或q(舍去)，把q2代入得a11.a3q24.3在等比數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a32S21，a42S31，則公比q等于_3兩式相減得a4a32a3，從而求得3，即q3.4數(shù)列an滿足：an1

12、an1(nN，R且0)，若數(shù)列an1是等比數(shù)列，則的值等于_2由an1an1，得an11an2.由于數(shù)列an1是等比數(shù)列，所以1，得2.5設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.3n1因?yàn)?S1,2S2，S3成等差數(shù)列，所以4S23S1S3，即4(a1a2)3a1a1a2a3.化簡，得3，即等比數(shù)列an的公比q3，故an13n13n1.6在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am1am12am(m2)，數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m1512，則m的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】5由等比數(shù)列的性質(zhì)可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即數(shù)列an為常數(shù)列

13、，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5.7(2016常州期末)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a2，a3a4a5a640，則的值為_117an是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a3a4(a1a2)q2，a5a6(a1a2)q4，a3a4a5a6(a1a2)(q2q4)40，即(q2q4)40，解得q29.又q0，q3，由a1a2得a1，117.8等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，則對任意的nN，都有an2an12an0，則S5_.11an是等比數(shù)列，an2an12anan(q2q2)0，又an0，故q2q20，即q2或q1(舍去)，S511.9在正項(xiàng)等比

14、數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n_.14由(q3)33得q3，an1anan1(a1a2a3)q3n64n2由4n2324，得4，即n14.10(2016浙江高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN，則a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.二、解答題11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a2n1. 【導(dǎo)學(xué)號：】解(1)S

15、1a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列，Sn2n1，又當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n12n22n2.當(dāng)n1時(shí)a11，不適合上式an(2)a3，a5，a2n1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN)(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解(1)證明：依題意Sn4an3(nN)，n1時(shí)，a14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是

16、首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)知ann1，由bn1anbn(nN)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n11(nN)B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1九章算術(shù)中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn_尺2n1依題意大老鼠每天打

17、洞的距離構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的距離共為2n1.同理可得前n天小老鼠打洞的距離共為2，所以Sn2n122n1.2(2017南京一模)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an0，若S62S35，則S9S6的最小值為_20設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q0且q1.由S62S35可知，5，5，q1.則S9S6510521020，當(dāng)且僅當(dāng)q32，即q時(shí)取等號S9S6的最小值為20.3已知數(shù)列an滿足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求證：an12an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an153n153n，則an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且3