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1、4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,教學(xué)目標(biāo),知識(shí)與技能: 1、掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2、會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 過程與方法:進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí),注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。 情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過運(yùn)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí),從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。 教學(xué)重點(diǎn):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)難點(diǎn):會(huì)根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,我們?cè)谇懊鎸W(xué)過,在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)確定一條直線,一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線在平面直角坐標(biāo)系中,如何確定一個(gè)圓呢?
2、,復(fù)習(xí)引入,問題,當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后,圓就唯一確定了 因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑,引入新課,如圖,在直角坐標(biāo)系中,圓心(點(diǎn))A的位置用坐標(biāo) (a,b) 表示,半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x, y)與圓心A (a,b) 的距離,符合上述條件的圓的集合是什么?你能用描述法來表示這個(gè)集合嗎?,符合上述條件的圓的集合:,圓的方程,問題,圓上任意點(diǎn)M(x, y)與圓心A (a,b)之間的距離能用什么公式表示?,圓的方程,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式:,則點(diǎn)M、A間的距離為:,即:,是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程?是否適合這個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上?,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)M(x, y)在圓上,由前面討論可
3、知,點(diǎn)M的坐標(biāo)適合方程;反之,若點(diǎn)M(x, y)的坐標(biāo)適合方程,這就說明點(diǎn) M與圓心的距離是 r ,即點(diǎn)M在圓心為A (a, b),半徑為r的圓上,問題,把這個(gè)方程稱為圓心為A(a, b),半徑長(zhǎng)為r 的圓的方程,把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(standard equation of circle).,特殊位置的圓方程,因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0, 0),將x0,y0和半徑 r 帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,問題,圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑長(zhǎng)為r 的圓的方程是什么?,得:,整理得:,例1 寫出圓心為 ,半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程,并判斷點(diǎn) , 是否在這個(gè)圓上,解:圓心是 ,半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:,把 的坐標(biāo)代入方程 左
4、右兩邊相等,點(diǎn) 的坐標(biāo)適合圓的方程,所以點(diǎn) 在這個(gè)圓上;,典型例題,把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入此方程,左右兩邊不相等,點(diǎn) 的坐標(biāo)不適合圓的方程,所以點(diǎn) 不在這個(gè)圓上,例1 寫出圓心為 ,半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程,并判斷點(diǎn) , 是否在這個(gè)圓上,解:圓心是 ,半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:,典型例題,怎樣判斷點(diǎn) 在圓 內(nèi)呢?還是在圓外呢?,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,探究,從上題知道,判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上,只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程,如果能使圓的方程成立,則在這個(gè)圓上,反之如果不成立則不在這個(gè)圓上,怎樣判斷點(diǎn) 在圓 內(nèi)呢?還是在圓外呢?,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,探究,可以看到:點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 r
5、;,點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 r ,例2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1), B(7,3),C(2, 8),求它的外接圓的方程,分析:不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓,三角形有唯一的外接圓,解:設(shè)所求圓的方程是 (1),因?yàn)锳(5,1), B(7,3),C(2, 8) 都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都滿足方程(1)于是,典型例題,所以, 的外接圓的方程 ,典型例題,解此方程組,得:,分析:不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓,三角形有唯一的外接圓,解:,例2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1), B(7,3),C(2, 8),求它的外接圓的方程,例3 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)
6、和B(2, 2),且圓心C在直線上l:x y+1=0,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,分析:已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑大小圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)和B(2, 2),由于圓心C與A, B兩點(diǎn)的距離相等,所以圓心C在線段AB的垂直平分線 上又圓心C在直線l 上,因此圓心C是直線l與直線 的交點(diǎn),半徑長(zhǎng)等于|CA|或|CB|,解:因?yàn)锳(1, 1)和B(2, 2),所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo),直線AB的斜率:,典型例題,因此線段AB的垂直平分線 的方程是,即,典型例題,例3 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)和B(2, 2),且圓心C在直線上l:x y+1=0,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解:,所以圓心C的坐標(biāo)是,圓心為C的圓的半徑長(zhǎng),所以,圓心為C的圓
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