概率湖南商學(xué)院概率統(tǒng)計.ppt

1、1,數(shù)理統(tǒng)計部分,第六章 樣本及抽樣分布,第七章 參數(shù)估計,第八章 假設(shè)檢驗,數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)分支.它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗或觀察得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律作出種種合理的估計和判斷。,數(shù)理統(tǒng)計主要內(nèi)容,2,引言 概率論（基礎(chǔ)）討論了如下問題：對隨機現(xiàn)象進行研究，在數(shù)學(xué)上建立概率的公理化體系；引入基本概念、揭示常見各類隨機現(xiàn)象的規(guī)律，總結(jié)為基本的隨機模型和分布律，并研究它們的性質(zhì)及數(shù)字特征；對大量隨機因素綜合影響的結(jié)果，以極限定理為內(nèi)容作了介紹。這樣對隨機現(xiàn)象的研究，已有了基本的概念、思想方法和工具。但當(dāng)我們實際動手研究并解決一個實際問題時，會立即遇到

2、下面的問題： （1）這個隨機現(xiàn)象可以用什么樣的分布律 (分布函數(shù)) 來刻畫，這種分布的選擇合理嗎？ （2）所選用的分布的參數(shù)是多少？如何估計和確定這些參數(shù)？,我們對要研究的這個實際問題往往所知甚少，這樣只能求助于觀測，合理地取得一些數(shù)據(jù)，據(jù)此作出統(tǒng)計上的推斷，回答上述問題，從而著手去解決問題。而這就是數(shù)理統(tǒng)計的基本且主要任務(wù)。,3,更準(zhǔn)確地說 數(shù)理統(tǒng)計的主要內(nèi)容是： 1. 實驗設(shè)計和研究，即研究如何更合理、更有效地抽取樣本，從而獲得觀測數(shù)據(jù)和資料的方法。 2. 統(tǒng)計推斷：如何利用一定的數(shù)據(jù)資料，對所關(guān)心的問題，得出盡可能準(zhǔn)確的統(tǒng)計結(jié)論： （1）估計從局部觀測資料的統(tǒng)計特征，推斷所觀測對象的總體

3、特征（包括總體分布與數(shù)字特）； （2）假設(shè)檢驗依據(jù)抽樣數(shù)據(jù)資料，對總體的某種假設(shè)做檢驗，從而決定對此假設(shè)是拒絕還是接受.,4,例 某鋼筋廠日產(chǎn)某型號鋼筋10000根，質(zhì)量檢驗員每天只抽查50根的強度，于是提出以下問題： (1) 如何從僅有的50根鋼筋的強度數(shù)據(jù)去估計整批（1000根）鋼筋的強度平均值？又如何估計這批鋼筋強度偏離平均值的離散程度？ (2)若規(guī)定了這種型號鋼筋的標(biāo)準(zhǔn)強度，從抽查得的50個強度數(shù)據(jù)如何判斷整批鋼筋的平均強度與規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)有無差異？,-參數(shù)估計,-假設(shè)檢驗,5,第六章 樣本及抽樣分布,6.1 總體與樣本,6.2 抽樣分布,6,6.1 隨機樣本,在數(shù)理統(tǒng)計中,將試驗的全部可能

4、的觀察值稱為總體，每一個可能觀察值稱為個體常以X表示總體.,容 量:總體中所包含的個體的個數(shù); 有限總體:容量為有限的總體; 無限總體:容量為無限的總體,一、總體,(2) X 的分布函數(shù)與數(shù)字特征分別稱為總體 的分布函數(shù)與數(shù)字特征;,(3) 今后將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機變量， 籠統(tǒng)稱為總體X.,說明,(1) 一個總體對應(yīng)一個隨機變量X ;,7,二、樣本與樣本值,3.樣本值 X1, X2 , Xn的一組觀察值x1,x2,xn ;,2.樣本容量 樣本中個體的數(shù)目 n ;,1.樣本 從總體X 中隨機地抽取n 個個體X1, X2 , Xn ,這樣取得的 X1, X2 , Xn 稱為來自總體X 的一個樣

5、本;,4.簡單隨機樣本 在總體中抽取樣本的目的是為了對總體的分布規(guī)律進行各種分析推斷,這就要求抽取的樣本能夠反映總體的特點,為此必須對隨機抽取樣本的方法提出如下要求：,(1)獨立性,(2)代表性,要求X1, X2 , Xn 是相互獨立的隨機變量;,要求樣本的每個Xi (i=1,2,n)與總體X具有相同的分布.,滿足以上兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本, 簡稱樣本.,8,(2) 樣本X1, X2 , Xn 可看成一個n 維隨機向量,記為 (X1, X2 , Xn ); 樣本值記為(x1,x2,xn);,注,(1) 樣本X1, X2 , Xn 相互獨立,且與總體X 同分布;,(3) 若總體X具有分布

6、函數(shù)F(x),概率密度f(x), 則樣本 (X1, X2 , Xn )的分布函數(shù)及概率密度為:,(4) 獲得簡單隨機樣本的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣.,9,樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù).但在應(yīng)用時,往往不是直接使用是樣本本身,而是針對不同的問題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù),利用這些樣本的函數(shù)進行統(tǒng)計推斷.,6.2 抽樣分布,定義1,設(shè)X1, X2 , Xn是來自總體 X 的一個樣本,g(X1, X2 , Xn)是X1, X2 , Xn函數(shù),若g 中不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1, X2 , Xn)是一個統(tǒng)計量,一、統(tǒng)計量,(1) 統(tǒng)計量是一個隨機變量; (2) (x1,x2,xn)是樣本X1, X2 , Xn

7、的觀察值, 則稱 g(x1,x2,xn) 是g(X1, X2 , Xn)的觀察值.,注,10,例如 總體 ，其中參數(shù) 為未知參數(shù)， 是 X 的樣本，則 , 等均 為統(tǒng)計量，而 等都不是統(tǒng)計 量，因為它們含有未知參數(shù),從統(tǒng)計量的定義可知，統(tǒng)計量是不含任何未知參數(shù)的 隨機變量,11,設(shè)X1, X2 , Xn是來自總體X 的一個樣本, (x1,x2,xn)是其觀察值.,幾個常用的統(tǒng)計量,樣本均值,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本k階(原點)矩,樣本k階中心矩,樣本方差,12,其觀察值:,樣本均值,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本k階原點矩,樣本k階中心矩,樣本方差,13,例1 從一批鋼筋中隨機抽取10條，測得其直徑（單位：mm）

8、為: 24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2.,(2)樣本均值,24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2.,解 (1)總體為該批鋼筋的直徑；,樣本為X1, X2 , X10,(1)寫出總體、樣本、樣本值、樣本容量；,(2)求樣本觀測值的均值、方差及二階原點矩(保留二位).,樣本值:,樣本容量: n=10;,樣本方差,二階原點矩,14,樣本矩的性質(zhì),抽樣分布,統(tǒng)計量是樣本的函數(shù), 它是一個隨機變量.統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.,15,定義：設(shè)X1, X2 , Xn是來自總體 N

9、(0,1)的樣本,則稱統(tǒng)計量,服從自由度為n的 分布,記為,這里自由度n表示相互獨立的隨機變量的個數(shù).,二、常用統(tǒng)計量的分布,注：1. X1, X2 , Xn獨立同分布且 ，則,2.,例：,16,f(y)的圖形(與n有關(guān)):,0,y,f(y)的推導(dǎo):,由已前例知,而Xi N(0,1),由定義Xi 2 2 (1),再由X1, X2 , Xn的獨立性及分布的可加性,即,17,函數(shù),分布,結(jié)論: 若X N(0, 1) , 則 X 2 (1/2, 2)=2(1),分布,X (, ),18,f(y)的圖形 (與n有關(guān)):,0,y,f(y),的概率密度為,分布,其中 .,19,分布的可加性,設(shè),且 與 相

10、互獨立,則有,分布的數(shù)學(xué)期望和方差,分布的分位點,對于給定正數(shù) (01), 稱滿足,的點 為分布 的上分位點.,例：,20,當(dāng)n充分大(45)時,有,數(shù)學(xué) 期望和方差 證明,21,例1 設(shè)X1, X2 , X6 是來自總體XN(0,1), 又設(shè) Y=(X1+ X2 + X3 ) 2 + (X4 + X5 + X6) 2 試求常數(shù)C, 使C Y服從 2分布.,解 因為X1+ X2 + X3 N(0,3), X4 + X5 + X6 N(0,3),且它們相互獨立.于是,所以,故應(yīng)取常數(shù) ，,于是 .,22,設(shè)XN(0,1),Y2(n),且X與Y相互獨立,則稱隨機變量,h(t)圖形:(關(guān)于t =0對

11、稱,其形狀與n有關(guān)),t(n)分布的概率密度函數(shù)為:,(二) t 分布,服從自由度是n的t 分布(Student分布),記作t t(n).,圖,23,n=(正態(tài)）,t 分布的分位點:,對給定 (01), 稱滿足,的點 為t(n)分布的上 分位點.,當(dāng)n45時,24,例2 設(shè)XN(2,1), Y1, Y2 , Y4 均服從N(0,4) ，且都相互獨立，令 試求T的分布, 并確定 t0 的值，使,解 因為 X-2N(0,1), Yi / 2 N(0,1), i=1,2,3,4.,故,由,查表得：,25,(三)F分布,FF(n1,n2)分布的概率密度函數(shù)為：,服從自由度為(n1, n2)的F分布,記

12、為 FF(n1,n2).,設(shè)U2(n1), V2(n2),且U 與V相互獨立, 則稱,若FF(n1,n2), 則 1/FF(n2,n1).,26,(y)的圖形:,F分布的分位點:,對給定 (01),稱滿足,的點F(n1,n2) 為F(n1,n2)分布的上分位點.,F(n1,n2),(證明見書P142),27,（四）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布,設(shè)總體X的均值為 , 方差為 2, X1, X2 , Xn是來自總體X 的樣本,則總有,推導(dǎo):,=,28,抽樣分布定理（定理1、定理2、定理3）,設(shè)X1, X2 , Xn是來自正態(tài)總體N(, 2 )的樣本,(1),(2),(3),(4),(證明見書

13、P145),29,定理4,設(shè)X1, X2 , Xn1與Y1, Y2 , Yn2分別是來自正態(tài)總體N(1, 12 ) 和N(2, 22 )的樣本,且這兩個樣本相互獨立.,其中,30,證明,1o 由定理2 知,兩者相互獨立，由F 分布定義可知,化簡后即得1o 。,2o,化簡后即得2o 。,31,以上列舉的幾個重要統(tǒng)計量的分布是數(shù)理統(tǒng)計中常用的，它們的密度函數(shù)形式都較復(fù)雜，對于應(yīng)用者來說，不要求一一推導(dǎo)，但是查表求上分位點是統(tǒng)計中經(jīng)常遇到的，必須熟練掌握 本節(jié)中的四個定理是統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)，要逐步熟悉定理的條件與結(jié)論,32,例1 設(shè)總體XN(0,1), X1, X2 , Xn 為X的樣本,例2 已知Xt(n), 求證,F(1,1),例：書P147 2, 6, 9,33,樣本的性質(zhì) 1. X1, X2 , Xn都與總體X同分布； 2. X1, X2