23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2.3 等差數(shù)列的 前n項(xiàng)和,衡陽市鐵一中學(xué) 劉小軍,2008年衡陽市高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課授課比賽,高斯（Gauss,17771855），德國著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.,有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā) 現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架， V形架的最下面一層放 一支鉛筆，往上每一層 都比它下面一層多放一 支，最上面一層放100支. 老師問：高斯，你知道這 個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？,創(chuàng)設(shè)情景,問題就是：,計(jì)算1 2 3 99 100,高斯的算法,計(jì)算： 1 2 3 99 100,高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組：

2、 第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組； 第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組； 第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組， 每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.,首尾配對(duì)相加法,中間的一組數(shù)是什么呢？,若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層 多放一支，最上面 一層有很多支鉛筆， 老師說有n支。問： 這個(gè)V形架上共放 著多少支鉛筆？,創(chuàng)設(shè)情景,問題就是：,1 2 3 (n-1) n,若用首尾配對(duì)相加法，需要分類討論.,三角形,平行四邊形,n (n-1) (n-2) 2 1,倒序相加法,那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的 前n項(xiàng)和呢

3、？,前n項(xiàng)和,分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.,問題分析,已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn .,如何才能將等式的右邊化簡？,已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn ., ,各項(xiàng)組成新的等差數(shù)列,倒序相加法,求和公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：,思考：（1）公式的文字語言；,（2）公式的特點(diǎn)；,不含d,可知三求一,公式的記憶,我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.,a1,an,公式的記憶,我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.,a1,(n-1)d,a1,an,將圖形分割成一個(gè)

4、平行四邊形和一個(gè)三角形.,公式應(yīng)用,根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50,練一練,500,2550,例1、計(jì)算 （1） 5+6+7+79+80 （2） 1+3+5+（2n-1） （3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n,-n,例題講解,n2,3230,提示：n=76,法二：,例題講解,例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校

5、校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？,分析：找關(guān)鍵句；,求什么，如何求；,解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=500,d=50,n=10.,故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為：,答,變式練習(xí),一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？,解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=21，d=1，n=19.,于是，屋頂斜面共鋪瓦片：,答：屋頂斜面

6、共鋪瓦片570塊.,例題講解,例3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？,解：由于S10310，S201220，將它們代入公式,可得,所以,例題講解,例3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？,另解：,兩式相減得,課堂練習(xí),答案: 27,練習(xí)1、,練習(xí)2、等差數(shù)列10，6，2，2， 的前_項(xiàng)的和為54？,答案: n=9，或n=-3（舍去）,課堂小結(jié),1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式； 2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法倒序相加法； 3.公式的應(yīng)用(知三求一)；,上頁,下頁,（兩個(gè)）,上頁,下頁,教材P46 A組2、5 到網(wǎng)上查找有關(guān)數(shù)學(xué)家高斯的故事，你能從這些故事中得到什么啟示呢？ 到網(wǎng)上查找等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，“發(fā)現(xiàn)”生活中的數(shù)學(xué)。 推薦網(wǎng)址：,課后作業(yè),趣味數(shù)學(xué),在右圖中，每個(gè)