121任意角的三角函數(shù)（二）課件（人教A版必修四）

1、1.2.1 任意角的三角函數(shù)(二),有向線段及三角函數(shù)線 1.有向線段 (1)定義:帶有_的線段. (2)表示:用大寫字母表示起點(diǎn)、終點(diǎn),如有向線段OM,MP.,方向,2.三角函數(shù)線,MP,OM,AT,判斷：(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值.( ) (2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù).( ) (3)若角的正弦線的長(zhǎng)度為1，則sin =1.( ) (4)若角的余弦線的長(zhǎng)度為0，則此時(shí)角的終邊在x軸上.( ),提示：(1)錯(cuò)誤. 三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值. (2)正確.凡是與x軸或y軸正向同向的為正值，反向的為負(fù)值. (3)錯(cuò)誤.沒有指明正

2、弦線的方向，故sin =1. (4)錯(cuò)誤.此時(shí)角的終邊在y軸上. 答案：(1) (2) (3) (4),【知識(shí)點(diǎn)撥】 對(duì)三角函數(shù)線的三點(diǎn)說明 (1)三角函數(shù)線的意義 正弦線、余弦線、正切線分別是正弦、余弦、正切函數(shù)的幾何表示,凡與x軸或y軸正向同向的為正值,反向的為負(fù)值.三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來,使得問題更形象直觀,為從幾何途徑解決問題提供了方便.,(2)三角函數(shù)線的畫法 定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線,同時(shí)也給出了角的三角函數(shù)線的畫法,即先找到P,M,T點(diǎn),再畫出MP,OM,AT. (3)三角函數(shù)線的作用 三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值

3、的大小,同時(shí)它也是以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).,類型 一 比較三角函數(shù)值的大小 【典型例題】 1.sin 1-cos 1_0(填“”或“” ). 2.比較下列各組數(shù)的大小.,【解題探究】1. 的正弦線和余弦線的大小關(guān)系如何？ 2.比較三角函數(shù)值的大小應(yīng)分幾步？ 探究提示： 1. 的正弦線和余弦線的大小相等. 2.分三步.(1)角的位置要“對(duì)號(hào)入座”.(2)比較三角函數(shù)線 的有向線段的長(zhǎng)度.(3)確定有向線段的正負(fù).,【解析】 1. 因?yàn)?如圖所示： 由三角函數(shù)線可得sin 1 cos 1，故sin 1-cos 10. 答案：,2.(1)如圖所示，在單位圓中作出 的余弦線OM2和 OM1

4、， 因?yàn)镺M1OM2， 所以 (2)如圖所示，分別作出 的正弦線和正切線. 因?yàn)锳TMP, 所以,【拓展提升】三角函數(shù)線比較大小的注意點(diǎn) (1)三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值 (2)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長(zhǎng)度，還要看其方向,【變式訓(xùn)練】如圖，已知角的終邊是OP，角的終邊是OQ，試?yán)?的三角函數(shù)線判斷大小. (1)sin _sin . (2)cos _cos . (3)tan _tan .,【解析】如圖所示， sin =MP，sin =NQ，MPNQ， 故sin sin ； cos =OM，cos =O

5、N,OMON, 故cos cos ； tan =AC，tan =AB，ACAB，故tan tan . 答案：(1) (2) (3),類型 二 解不等式 【典型例題】 1.解不等式 的解集為_. 2.求下列函數(shù)的定義域.,【解題探究】1.正弦值等于 的角應(yīng)是什么？ 2.如何應(yīng)用三角函數(shù)線作f()=m(-1m1)的三角函數(shù)中角 的終邊？ 探究提示： 1.若sin = ，則 2.(1)先作出直線y=m或x=m與單位圓的交點(diǎn). (2)將原點(diǎn)與交點(diǎn)連接，所得射線即為所求角的終邊.,【解析】1.如圖，作出正弦值等于 的角x的終邊，則正弦值大于 的角 x的終邊與單位圓的交點(diǎn)在劣弧 上，所以所求角x的取值范圍

6、是 答案：,2.(1)因?yàn)?cos x-10, 所以 如圖， 所以定義域?yàn)?(2)因?yàn)?-4sin2x0, 所以 如圖， 所以 所以 即定義域?yàn)?【互動(dòng)探究】若題1改為“求不等式 的解集”又如何 求解？ 【解析】如圖，作出正弦值等于 的角x 的終邊，則正弦值小于或等于 的角x的 終邊與單位圓的交點(diǎn)在優(yōu)弧 上，所以 所求角x的取值范圍是 答案：,【拓展提升】解形如f()m或f()m(|m|1)的三角不等式的方法 (1)在直角坐標(biāo)系及單位圓中，標(biāo)出滿足f()=m的兩個(gè)角的終邊(若f為sin，則角的終邊是直線y=m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線；若f為cos，則角的終邊是直線x=m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)

7、與原點(diǎn)的連線. (2)根據(jù)三角函數(shù)值的大小，找出在02內(nèi)的取值，再加上k2(kZ).,【變式訓(xùn)練】若0,2)，且 則的取值范 圍是_ 【解析】如圖， OM為0,2)內(nèi)的角 的余弦線，欲使 角 的余弦大于等于OM，當(dāng)OM伸長(zhǎng)時(shí)，OP與OQ掃過的部分為扇 形POQ，所以 答案：,類型 三 三角函數(shù)線的綜合應(yīng)用 【典型例題】 1.若是三角形的內(nèi)角，且 則這個(gè)三角形 是( ) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形 2.若 證明sin tan .,【解題探究】1.當(dāng)是銳角時(shí)，sin +cos 的值與1的 大小關(guān)系如何？若是鈍角呢？ 2.題2若利用三角函數(shù)線證明，角的幾何意義是什

8、么？ 探究提示： 1.當(dāng)是銳角時(shí),sin +cos 1；當(dāng)是鈍角時(shí)， sin +cos 1. 2.角的幾何意義是其所對(duì)應(yīng)的圓弧長(zhǎng).,【解析】1.選D.當(dāng) 時(shí)，由單位圓中的三角函數(shù)線 知，sin +cos 1，而 所以必為鈍 角,2.如圖所示，連接AP，設(shè)OAP的面積為S1，扇形OAP的面積 為S2，OAT的面積為S，弧長(zhǎng)AP為l， 因?yàn)镾1S2S,所以 又OA=1，故MPlAT，即sin tan .,【拓展提升】 1.利用三角函數(shù)線證明不等式的步驟 (1)在直角坐標(biāo)系中，利用單位圓，作出角所需要的三角函數(shù)線. (2)根據(jù)圖形，利用相關(guān)三角形及扇形的面積，構(gòu)造不等關(guān)系. (3)利用三角函數(shù)的幾何

9、意義，即證得結(jié)論,2.求解角的范圍的方法 準(zhǔn)確應(yīng)用單位圓中的三角函數(shù)線來求解角的范圍，熟記并充分應(yīng)用以下幾種情形：,【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)P(sin -cos ,tan )在第一象限， 在0,2內(nèi)的取值范圍為_. 【解析】由題意 如圖， 由三角函數(shù)線可得 所以 答案：,【易錯(cuò)誤區(qū)】三角函數(shù)線的解題誤區(qū) 【典例】(2013天水高一檢測(cè))已知角的余弦線是長(zhǎng)度為 單位長(zhǎng)度的有向線段，那么角的終邊在( ) A.x軸的非負(fù)半軸上 B.x軸的非正半軸上 C.x軸上 D.y軸上 【解析】選C.由角的余弦線是長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度的有向線段， 得cos =1，故角的終邊在x軸上.,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.正確理解

10、有向線段 有向線段是既有長(zhǎng)度又有方向的，解題時(shí)要注意，如本例中長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度的有向線段應(yīng)為1. 2.準(zhǔn)確把握三角函數(shù)線 正確理解正弦線、余弦線和正切線，注意三者的區(qū)別，如本例中不要把正弦線和余弦線混淆.,【類題試解】已知角的正切線是長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度的有向線 段，則角的終邊在直線_上. 【解析】由角的正切線是長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度的有向線段，得 tan = 1，故角的終邊在直線y=x或直線y=-x上. 答案：y=x或y=-x,1.以下說法中正確的個(gè)數(shù)為( ) 正弦線、余弦線、正切線，三條有向線段中有兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外；正弦線由垂足指向終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向切

11、線與終邊(或終邊的反向延長(zhǎng)線)的交點(diǎn). A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.由正弦、余弦及正切的三角函數(shù)線定義知，均正確.,2.利用正弦線比較sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小關(guān)系 是( ) A.sin 1sin 1.2sin 1.5 B.sin 1sin 1.5sin 1.2 C.sin 1.5sin 1.2sin 1 D.sin 1.2sin 1sin 1.5 【解析】選C.如圖所示： M1P1,M2P2,M3P3分別是1,1.2, 1.5對(duì)應(yīng)的正弦線，數(shù)形結(jié)合可知，C正確.,3.比較大?。簊in 1 155_sin(-1 654)(填“”或 “”). 【解析】sin(3360+75)=sin 75, sin(-5360+146)=sin 146,在單 位圓中，分別作出sin 75和sin 146 的正弦線M2P