電磁場數學方法-數學物理方程5格林函數.ppt

1、電磁場數學方法,任課教師：陳其科,聯(lián)系方式：E_mail： 電 話：61830311 總 學 時: 80課時 教 材：梁昆淼，數學物理方程（第四版） 成績構成：平時20%+半期考試20%+期末考試60%,第二篇 數學物理方程,要想探索自然界的奧秘，就得解微分方程 -牛頓,課程內容,三種方程 四種求解方法 二個特殊函數,行波法 分離變量法 積分變換法 格林函數法,波動方程 熱傳導 拉普拉斯方程,貝賽爾函數 勒讓德函數,第八章 格林函數法,格林（Green）函數，又稱為點源影響函數， 是數學物理中的一個重要概念。,格林函數法是解數學物理方程的常用方法之一,格林函數物理意義： 表征一個點源在一定的邊

2、界條件下和初始條件下所產生的場。,格林函數應用： 若能求出某點源所對應的格林函數（場），即可用疊加的方法計算出任意源所產生的場,第八章 格林函數法,一個格林函數應用的實例：,靜電荷（點電荷）產生電位分布滿足泊松方程：,而在靜電場問題中，點源即為點電荷。位于r處的單位點電荷產生的電位分布為：,泊松方程在無界空間的格林函數,則任意分布電荷 在無界空間產生電位,第八章 格林函數法,8.1 點源的表示 8.2 泊松方程的積分解 8.3 格林函數的求解,（一）狄拉克函數,由于Green函數與點源產生的場相關，因此首先討論點源的密度分布函數的數學表達形式。 以電荷為例：,若為點電荷：,狄拉克函數 具有與點

3、電荷分布相似的性質。,8.1 點源的表示,（一）狄拉克函數,狄拉克函數定義：,主要相關性質：,(1),(2),8.1 點源的表示,狄拉克函數常用于描述能量或質量在空間或時間上高度集中的各種現象，如：質點、點電荷、點光源，脈沖信號等。,(歸一性),(選擇性),(3),(可導性),(4),(可分離變量性),（一）狄拉克函數,狄拉克函數相關公式：,直角坐標系下：,柱面坐標系下：,球面坐標系下：,一維展開式：,8.1 點源的表示,（一）格林公式,8.2 泊松方程的積分解,設 和 在區(qū)域T內有連續(xù)二階導數，在其邊界 上有連續(xù)的一階導數。,第一格林公式,第一格林公式：,（一）格林公式,8.2 泊松方程的積

4、分解,設 和 在區(qū)域T內有連續(xù)二階導數，在其邊界 上有連續(xù)的一階導數。,第一格林公式,第二格林公式：,同理：,相減,第二格林公式,（二）泊松方程的定解問題表示,8.2 泊松方程的積分解,根據邊界條件的給定方式，邊界條件可分為三類：,第一類邊界條件：,第二類邊界條件：,第三類邊界條件：,（1),邊界條件一般形式,（三）利用格林函數法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,設在區(qū)域D中某點 處存在一電量為 的點電荷，其產生的場滿足泊松方程，由 格林函數的定義，有,（2),（1),求,第二格林公式,左邊=,（三）利用格林函數法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,若通過（2）式求出格林函數 ，并根

5、據原問題邊界條件確定格林函數滿足的邊界條件，則可由上式求解出點 處的場的解。,邊界條件給定,泛定方程給定,泊松方程積分解,8.2 泊松方程的積分解,1、第一類邊值問題時的泊松方程解,（1),由于格林函數是引入的待確定函數，已知條件并未對其進行限定。我們可設定其邊界條件為 ，則,其中：,第一類邊值問題格林函數,（三）利用格林函數法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,3、第三類邊值問題的泊松方程解,（3),令格林函數滿足邊界條件,（4),其中：,第三類邊值問題格林函數,（三）利用格林函數法求解泊松方程,8.2 泊松方程的積分解,2、第二類邊值問題的泊松方程解,（1),令格林函數滿足邊界條件,其

6、中：,第二類邊值問題格林函數？,（三）利用格林函數法求解泊松方程,無解,8.2 泊松方程的積分解,2、第二類邊值問題的泊松方程解,引入推廣的格林函數,推廣的第二類邊值問題格林函數,（三）利用格林函數法求解泊松方程,（一）無界空間的格林函數 基本解,8.3 格林函數的求解,確定了格林函數G，即可得泊松方程邊值問題的解。而格林函數求解比直接求解邊值問題簡單。,無界空間的格林函數，稱為方程的基本解G0。,格林函數基本解的應用：,+,令,齊次方程，易解,格林函數基本解,非齊次方程(直接求解困難),（一）無界空間的格林函數 基本解,8.3 格林函數的求解,1、三維泊松方程的基本解,將方程在球坐標系下展開

7、,當點電荷位于坐標原點( )，則,又因為,電量為 的點電荷在無界空間中產生的電位滿足方程,（一）無界空間的格林函數 基本解,8.3 格林函數的求解,當點電荷不在坐標原點時( ),三維格林函數的基本解,1、三維泊松方程的基本解,(點電荷在坐標原點),僅當點電荷電量 時成立，即：,注意：格林函數基本解為,（一）無界空間的格林函數 基本解,8.3 格林函數的求解,1、三維泊松方程的基本解,當電荷電量 時，基本解應根據電量乘以比例系數。例如：若電荷電量 ，則對應的格林函數基本解為,（二）無界空間的格林函數 基本解,8.3 格林函數的求解,2、二維泊松方程的基本解,當點電荷位于坐標原點( )，則,電量為

8、 的點電荷在無界平面中產生的電位(格林函數基本解)滿足方程,將方程在極坐標系下展開,又因為,（一）無界空間的格林函數 基本解,8.3 格林函數的求解,當點電荷不在坐標原點時( ),二維格林函數的基本解,注：當電荷電量不為 時，則該基本解應根據實際電荷電量按比例乘以系數。,2、二維泊松方程的基本解,點電荷在坐標原點,（二）利用電像法求格林函數,8.3 格林函數的求解,1、接地導體球問題的格林函數,由電像法：接地導體球的鏡像電荷電量q及位置d,由電像法：感應電荷可由鏡像電荷等效，則球外空間的電位(格林函數)可由點電荷q與鏡像電荷q產生的電位求得。,問題：求解點電荷q位于接地導體球外時的格林函數。,

9、分析：電荷q將在導體面上激勵器非均勻分布的感應電荷，球外電位應為點電荷與感應電荷共同產生。,（二）利用電像法求格林函數,8.3 格林函數的求解,1、接地導體球問題的格林函數,q(r0),P,a,q(r0),r,R,R,若原電荷電量為 ，位于r0點,則球外任一點的總電勢(格林函數)由點電荷與鏡像電荷電位疊加，為,則像電荷,（二）利用電像法求格林函數,8.3 格林函數的求解,2、半空間的三維格林函數(導體分界面),接地導體平面的鏡像電荷電量q及位置d,若原電荷電量為 ，位于h處,像電荷,則上半空間任一點的總電勢(格林函數)為,（二）利用電像法求格林函數,8.3 格林函數的求解,3、半空間的二維格林

10、函數(導體分界面),接地導體平面的鏡像線電荷電量 及位置h,若原線電荷密度為 ，位于h處,像電荷,則上半空間任一點的總電勢(格林函數)為,（三）格林函數的應用,8.3 格林函數的求解,1、求解無界空間達朗貝爾方程定解問題,相應的 格林函數,(1),(2),對(1)(2)式做以下處理：,8.3 格林函數的求解,0,無 界,由格林函數基本解，知,當點源位于坐標原點時，,表示反射波（舍去),（三）格林函數的應用,8.3 格林函數的求解,以點源為中心，取一半徑a0的小球體，并對方程體積分,(a0),（三）格林函數的應用,8.3 格林函數的求解,(a0),當點源位于 時，,則無界空間中達朗貝爾方程的解為

11、,（三）格林函數的應用,這相當于在點 放置著電量為 的點電荷時，求接地導體平面 上方的電勢。這由電像法求得。,例 在半空間 內求解三維拉普拉斯方程邊值問題,解: 本問題為拉普拉斯方程的第一類邊值問題。通過先求第一類邊值問題的Green函數，則可用積分解公式求解u。,8.3 格林函數的求解,由前面的討論可知，第一類邊值問題三維格林函數為：,（三）格林函數的應用,8.3 格林函數的求解,由電像法，可知上半空間任一點 的電位(即格林函數),由泊松方程積分解可知，第一類邊值問題解為,0,（三）格林函數的應用,（續(xù)上例）,8.3 格林函數的求解,做變量代換，即 ，上式變?yōu)?（三）格林函數的應用,這相當于在 放置著電荷密度為為 的無限長線電荷時，求接地導體平面 上方的電勢。這由電像法求得。,例 在半平面 內求解二維拉普拉斯方程邊值問題,解: 本問題為拉普拉斯方程的第一類邊值問題。通過先求第一類邊值問題的Green函數，則可用積分解公式求解u。,8.3 格林函數的求解,由前面的討論可知，第一類邊值問題二維格林函數為：,（三）格林函數的應用,8.