固體物理ch6-2.ppt

1、6.5晶體能帶的對(duì)稱性，1。En(k)函數(shù)的對(duì)稱性，引入了描述點(diǎn)群對(duì)稱運(yùn)算的算子t(1)，它的物理意義是對(duì)于任何函數(shù)f(r)，都有，其中1是逆運(yùn)算，它的定義是1 r點(diǎn)經(jīng)過運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為r點(diǎn)。晶體中電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓量(單電子)是：T()和H同時(shí)作用于任意函數(shù)f(r)。因?yàn)?在正交變換下是不變的，并且坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和反射都是正交變換，所以電子的勢(shì)能函數(shù)U(r)應(yīng)該具有與晶格相同的對(duì)稱性，也就是說，因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)。K(r)是晶體波動(dòng)方程的解，所以T(n)，k(r)也是方程的解，n，k(r)與T(n，k(r)具有相同的能量本征值。在晶體中，電子運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)波函數(shù)是布洛赫函數(shù)，其中n是能帶標(biāo)記，k

2、是簡(jiǎn)并波矢量，相應(yīng)的能量本征值是En(k)。作用在n，k(r)上的t()由于是正交變換，另外，由于它也是一個(gè)以R1為周期的周期函數(shù)，它可以改寫為，這表明用t()作用在布洛赫函數(shù)上的結(jié)果只是將簡(jiǎn)化波矢量K變換成另一個(gè)簡(jiǎn)化波矢量K.根據(jù)上述推論，它們應(yīng)該具有相同的能量特征值。因此，是的，這表明En(k)在k空間中是對(duì)稱的，所有對(duì)稱點(diǎn)群的對(duì)稱運(yùn)算都將被采用，上述公式成立。因此，我們證明了En(k)與k空間中的晶體點(diǎn)群具有相同的對(duì)稱性。另外，因?yàn)榫w中電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓量是實(shí)算符，H*H，如果n，k(r)是方程的解，那么*n，k(r)也是方程的解，并且這兩個(gè)解具有相同的能量本征值。也就是說，在晶體中，另

3、一方面，k被k所取代，所以應(yīng)該指出，這個(gè)結(jié)論并不取決于晶體的點(diǎn)群的對(duì)稱性，而En(k)在k空間中總是具有逆對(duì)稱性，不管晶體中是否有對(duì)稱中心。這實(shí)際上是時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)稱性的結(jié)果。從以上討論可以看出，對(duì)于相同的能帶，它來自晶格的周期性、晶體點(diǎn)群的對(duì)稱性和時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)稱性。以二維正方形網(wǎng)格為例，二維正方形網(wǎng)格的點(diǎn)群為C4V(4毫米)。因此，對(duì)于一般位置P，在收縮區(qū)域中有8個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱的并且與P點(diǎn)相關(guān)。在這些點(diǎn)上，電子都有相同的能量。因此，我們只需要研究電子在約化區(qū)域的1/8空間中的能態(tài)，就可以知道整個(gè)K空間的能態(tài)。我們稱這個(gè)體積為收縮區(qū)域的不可約體積。通過類比，三次系統(tǒng)的Oh(m3m)點(diǎn)群只能研究(1/48

4、)b。對(duì)于一般位置k，收縮區(qū)域中對(duì)稱相關(guān)波矢量的數(shù)量等于點(diǎn)群的數(shù)量級(jí)。然而，如果k在收縮區(qū)的某些特殊位置(對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ平面)，即在晶體點(diǎn)群中，存在一些使k=k或k=k Gl的對(duì)稱運(yùn)算，那么收縮區(qū)中的等效波矢數(shù)小于點(diǎn)群的數(shù)量級(jí)。在二維方格子的收縮區(qū)域，k有以下特殊位置：1 .k在簡(jiǎn)單立方晶格收縮區(qū)中的特殊位置；2.自由電子的能帶是，其中k是一個(gè)寬波矢量，不一定在收縮區(qū)，但我們肯定能找到唯一的反晶格矢量Gn，所以k是一個(gè)收縮波矢量。1.在一維情況下，k是收縮波矢量，這很簡(jiǎn)單。k的單位是，而En(0)(k)的單位是，第一波段：n=1，n=0，對(duì)應(yīng)波函數(shù)：第二波段：n=2，n=1，對(duì)應(yīng)波函數(shù)：

5、第三波段：n=3。為簡(jiǎn)單起見，將kx和ky作為單位，En(0)(k)作為單位，ky在x軸上=0，相應(yīng)的波函數(shù)為。顯然，當(dāng)n1和n2的絕對(duì)值最小時(shí)，相應(yīng)的能量最低。，(第一布里淵區(qū))，(單)，相應(yīng)的波函數(shù)：第一最近鄰倒格子點(diǎn)：(單)，波函數(shù)：(單)，第二最近鄰倒格子點(diǎn)：(雙)，相應(yīng)的波函數(shù)，dz=2 (k)(在K空間中EE dE和EED之間的能量體積)，2。近自由電子的能量密度：在K空間中，能量為e的等電面是一個(gè)半徑為的球面，在這個(gè)球面上考慮了周期場(chǎng)的影響。在近自由電子的情況下，周期場(chǎng)的影響主要在布里淵區(qū)邊界附近，但遠(yuǎn)離布里淵區(qū)。以簡(jiǎn)單立方晶體為例，研究了第一布里淵區(qū)等能面的二維截面。自由電子的

6、等能面(球面)在布里淵區(qū)邊界表面的內(nèi)外側(cè)附近形成。在布里淵區(qū)邊界表面的內(nèi)側(cè)：對(duì)于自由電子：EP(0)=EQ(0)，考慮周期場(chǎng)的影響：EQ(0)EQ，EP(0)EP，所以，EPEQ，在布里淵區(qū)邊界表面之外測(cè)量：對(duì)于自由電子：EN(0)=EM(0)，考慮周期，因此，考慮周期場(chǎng)的影響，在布里淵區(qū)邊界表面的內(nèi)側(cè)和外測(cè)量等電位表面上形成向外突出的凸面。在自由電子的能面附近，在自由電子的能密度附近，ea，當(dāng)EC EB時(shí)，有能帶重疊；當(dāng)電子束發(fā)生時(shí)，有一個(gè)能隙(帶隙)。3。緊束縛近似的能態(tài)密度，以簡(jiǎn)單立方晶格的S帶為例，研究緊束縛近似的能態(tài)密度特征。在k=0時(shí)，即在能帶底部附近，等能面近似為球形，但隨著e的

7、增加，等能面明顯偏離球形。n (e)，E0，e06j1，e02j1，緊束縛近似等能面，緊束縛近似能態(tài)密度，在x，m和r點(diǎn)上kE=0，這些點(diǎn)稱為Van Hove奇點(diǎn)，這些點(diǎn)都是布里淵區(qū)的高對(duì)稱點(diǎn)。E()，E(X)，E(M)，E(R)，第二，費(fèi)米表面，這里只討論最近的自由電子的費(fèi)米表面結(jié)構(gòu)。對(duì)于金屬，由于EKBT，在T0，只有費(fèi)米表面附近的少數(shù)電子被熱激發(fā)，室溫下費(fèi)米半徑的相對(duì)變化約為102。因此，可以認(rèn)為金屬的費(fèi)米表面基本上與t1無關(guān)。費(fèi)米表面構(gòu)建步驟，根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)在互易空間繪制擴(kuò)展的布里淵區(qū)圖形；根據(jù)電子濃度計(jì)算相應(yīng)的費(fèi)米半徑，并制作費(fèi)米球(或費(fèi)米花園)；每個(gè)布里淵區(qū)中的費(fèi)米球(圓)根據(jù)反轉(zhuǎn)的

8、晶格矢量平移到約化區(qū)，來自第n個(gè)布里淵區(qū)的費(fèi)米球(圓)對(duì)應(yīng)于第n個(gè)能帶，從而在約化區(qū)中獲得每個(gè)能帶對(duì)應(yīng)的費(fèi)米表面圖形；根據(jù)近自由電子進(jìn)行必要的修正。2.修正的依據(jù)是電子能量?jī)H在布里淵區(qū)邊界附近偏離自由電子能量，等能面在布里淵區(qū)邊界附近扭曲，形成向外突出的凸包；等電位面幾乎總是與布里淵區(qū)的邊界面垂直相交。費(fèi)米表面包圍的總體積只取決于電子濃度，而不取決于電子和晶格之間相互作用的細(xì)節(jié)。周期場(chǎng)的影響使費(fèi)米表面上的銳角變得平滑。證明了在一般情況下，等能面與布里淵區(qū)的邊界面垂直相交：在k空間中，En(k)具有反轉(zhuǎn)對(duì)稱性，En(k) En(k)，并且由于En(k)，En(k) En(kGn)的平移對(duì)稱性，在布里淵區(qū)的邊界面附近，k被分解為kkk，因?yàn)椴祭餃Y區(qū)沿邊界面的法線方向，如果有全部沿邊界面的法線方向，那么與邊界面相交的等能面必須垂直于邊界面。二維正方形晶格中近自由電子的費(fèi)米表面圖形。假設(shè)二維晶格的晶格常數(shù)為，晶體的原始細(xì)胞數(shù)為N，K的分布密度為：如果晶體中的每個(gè)原子都有一個(gè)平均價(jià)