第3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析.ppt

1、第3章 控制系統(tǒng)時(shí)域分析,3.1時(shí)域性能指標(biāo) 3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 33二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 3.4 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 3.5 穩(wěn)態(tài)誤差 3.6 用MATLAB解決時(shí)域分析的問題 3.7設(shè)計(jì)實(shí)例：望遠(yuǎn)鏡指向控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 小 結(jié) 習(xí) 題,內(nèi)容提要,內(nèi)容提要: 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，直接解出控制系統(tǒng)被控量的時(shí)間響應(yīng)。然后根據(jù)響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(例如微分方程的解)及其描述的時(shí)間響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的控制品質(zhì)，如穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)態(tài)精確度等。 時(shí)域分析法最大的特點(diǎn)是直觀，因而它常常被作為學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)分析的入門手段。為了便于求解和研究控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，輸入信號(hào)一般采用典型輸入信號(hào)。本章

2、將首先介紹評(píng)價(jià)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)。由于實(shí)際控制系統(tǒng)有簡(jiǎn)單的和復(fù)雜的，反映在數(shù)學(xué)模型上，就有低階的和高階的。本章將分別介紹一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)的時(shí)域分析方法。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)正常工作的基本條件，穩(wěn)態(tài)精確度也是工程中的主要問題。本章將重點(diǎn)介紹代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)(即勞斯判據(jù))、穩(wěn)態(tài)誤差分析計(jì)算(誤差定義、靜態(tài)誤差系數(shù))、擾動(dòng)誤差及減小穩(wěn)態(tài)誤差方法。同時(shí)將詳細(xì)介紹用工具軟件MATLAB解決控制系統(tǒng)時(shí)域分析的問題。,3.1時(shí)域性能指標(biāo),控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，可以劃分為瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個(gè)過程。瞬態(tài)過程又稱為過渡過程，是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與快速性；穩(wěn)態(tài)過程是指時(shí)間t趨于

3、無窮時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，反映了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。研究系統(tǒng)瞬態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)，來評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能，瞬態(tài)性能指標(biāo)規(guī)定如下。,(1)最大超調(diào)量或超調(diào)量:超調(diào)量是指在瞬態(tài)過程中，輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)的值與輸人值的百分?jǐn)?shù)。即,式中ymax輸出量的最大值；y()輸出量的穩(wěn)態(tài)值。 一般情況下，要求值在535之間。,(2)峰值時(shí)間tm 指在響應(yīng)過程中，單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 (3)上升時(shí)間tr 對(duì)欠阻尼系統(tǒng)是指輸出量第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()的時(shí)間。對(duì)于無振蕩的系統(tǒng)指響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值的10到90所需要的時(shí)間。,(4)過渡過程時(shí)間或調(diào)節(jié)時(shí)間ts 輸出量y(t)與穩(wěn)態(tài)值

4、y()之間的偏差達(dá)到允訐范圍(一般取2或5)并維持在此允許范圍以內(nèi)所需的時(shí)間。 (5)瞬態(tài)過程中的振蕩次數(shù)N 振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時(shí)間ts內(nèi)，輸出量偏離穩(wěn)態(tài)值的振蕩次數(shù)。 上述幾項(xiàng)指標(biāo)中，上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tm及調(diào)節(jié)時(shí)間ts，均表征系統(tǒng)瞬態(tài)過程的快速性，而超調(diào)量及振蕩次數(shù)表征系統(tǒng)瞬態(tài)過程的平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，將在穩(wěn)態(tài)誤差一節(jié)中作介紹。,圖3-l-1單位階躍響應(yīng)曲線,3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 4三種響應(yīng)之間的關(guān)系,由一階微分方程式描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。如R-C網(wǎng)絡(luò)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。

5、一階系統(tǒng)微分方程式的標(biāo)準(zhǔn)形式,(3-2-1),式中 T時(shí)間常數(shù)(秒)，它表示系統(tǒng)的慣性。 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-2-1所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,圖3-2-1一階控制系統(tǒng),下面分析一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)。分析時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零,1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),單位階躍輸入信號(hào)的拉氏變換為,，則單位階躍響應(yīng),函數(shù)的拉氏變換為,取Y(s)的拉氏反變換,則：,(t0）,(3-2-2),一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升最終趨于1的曲線，如圖3-2-2所示。由此可得出：,圖3-2-2一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng),（1）由式(3-2-2)可以看出，輸出由 穩(wěn)態(tài)分量1和瞬態(tài)分量,組成

6、。，,響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為,當(dāng)t趨于無窮大時(shí),衰減為零。顯然，,非周期響應(yīng).,（2）時(shí)間常數(shù)T是一階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)。當(dāng)t=3T時(shí)，響應(yīng)輸出,達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95；t=4T時(shí)，響應(yīng)輸出可達(dá)穩(wěn)態(tài)值的98.2，也就是說，,可,當(dāng)t=3T或4T時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為5或2。從工程實(shí)際的角度來看，誤差,小于5或2，就認(rèn)為過渡過程已經(jīng)結(jié)束。,故過渡過程時(shí)間一般?。?=3T(誤差5)或,=4T(誤差2),系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T越小，調(diào)節(jié)時(shí)間,越小，響應(yīng)速度越快。,（3）由給定輸入和系統(tǒng)輸出可知，單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差等于零。因?yàn)閱挝浑A躍輸入期望的輸出應(yīng)為1，實(shí)際輸出為y(t)，穩(wěn)態(tài)誤差為希望輸出減去實(shí)際輸出，即,

7、式中,穩(wěn)態(tài)誤差。,2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),單位斜坡輸入信號(hào)的拉氏變換為,，故單位斜坡響應(yīng),的拉氏變換為,展成部分分式：,拉氏反變換為:,響應(yīng)曲線如圖3-2-3所示。,圖3-2-3一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng),(1) 由式(3-2-3)可知，系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)是由兩部分組成的，瞬態(tài)分量,和穩(wěn)態(tài)分量t-T。瞬態(tài),分量,衰減到零.,，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，,(2) 時(shí)間常數(shù)T越小，衰減越快，響應(yīng)速度快。過渡過程時(shí)間,同樣是,=3T或4T。穩(wěn)態(tài)分量(t-T)。,(3) 單位斜坡響應(yīng)具有穩(wěn)態(tài)誤差。輸入信號(hào)t即是輸出的期望值，那 么時(shí)間常數(shù)越小，穩(wěn)態(tài)誤差越小。,3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),圖3-2-一階系統(tǒng)單位脈沖

8、響應(yīng),輸入信號(hào),X(s)=1，,拉氏變換為,所以,單位脈沖響應(yīng)的,拉氏變換,就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即,取拉氏反變換便得單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為,響應(yīng)曲線示于圖3-2-4所示，由圖可以看出,脈沖響應(yīng)函數(shù)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線。,2.過渡過程時(shí)間也是,。輸出的初始值為,，當(dāng)時(shí)間,趨于無窮大時(shí)，輸出量趨于零。時(shí)間常數(shù)T愈小，調(diào)節(jié)時(shí)間愈短，說 明系統(tǒng)的慣性愈小，對(duì)輸入信號(hào)反映的快速性能愈好。 在實(shí)際工程中，理想單位脈沖函數(shù)無法得到，因此常用具有一定脈沖 寬度h和有限幅度的脈動(dòng)函數(shù)來代替，代替條件h0.1T.,4三種響應(yīng)之間的關(guān)系,比較一階系統(tǒng)對(duì)單位脈沖、單位階躍和單位斜坡輸入信號(hào)的響應(yīng)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的輸入信號(hào)有

9、如下關(guān)系：,則一定有如下的時(shí)間響應(yīng)關(guān)系與之對(duì)應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的影響，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由零初始條件確定。 這是線性定常系統(tǒng)的兩個(gè)重要特性，它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，也適用于任意階線性定常系統(tǒng)。但不適用于時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。,33二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng),3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),3.3.2 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo),由二階微分方程式描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。分析二階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性對(duì)于研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)特性具有重要意義。這是因?yàn)樵趯?shí)際工程中，在一定的條件下，忽略一些次要因素，常?？梢园岩粋€(gè)高

10、階系統(tǒng)降為二階系統(tǒng)來處理，仍不失系統(tǒng)特性的基本性質(zhì)。在初步設(shè)計(jì)時(shí)，常?？蓪⒁粋€(gè)高階系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)二階系統(tǒng)作近似分析。因此詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特性，具有極為重要的意義。 首先，我們推導(dǎo)一個(gè)具體的位置隨動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。然后抽象為一般形式進(jìn)行討論。位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖如圖3-3-1所示。,圖3-3-1位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖,，要求使負(fù)載的位置與輸入轉(zhuǎn)角,和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,該系統(tǒng)的任務(wù)是控制一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的負(fù)載，該負(fù)載具有粘性摩擦,，的位置同步。,由圖3-3-1可以看出,比較環(huán)節(jié)：,功率放大環(huán)節(jié)：,電動(dòng)機(jī)：電壓方程,電磁力矩,動(dòng)力學(xué)方程,式中 J和f分別為折算到電機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和總粘性摩擦系數(shù)。,減速器：,i減

11、速比。,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-2所示。,圖3-3-2 位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),由于電樞電感,很小，可忽略不計(jì)。則,令,則,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,該式為二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 為了使研究結(jié)果具有普遍的意義,令,稱為無阻尼自然頻率或無阻尼振蕩頻率；,稱為阻尼比。,兩個(gè)參數(shù)是決定二階系統(tǒng)瞬態(tài)特性的非常重要的參數(shù)，,這樣又可把二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式：,（3-3-4）,（3-3-5）,其結(jié)構(gòu)圖如圖3-3-3所示。,圖3-3-3 二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)圖,3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),現(xiàn)以典型的單位反饋系統(tǒng)來分析二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)取決于系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根，即

12、閉環(huán)極點(diǎn)。二階系統(tǒng)的特征方程式為,它的兩個(gè)根(極點(diǎn))為,由于阻尼比值,來分析二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),的不同，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也不一樣。下面分幾種情況,(1).過阻尼(,1)的情況。,(2) 欠阻尼(0,1)的情況,(3) 臨界阻尼(,=1)的情況,(4) 無阻尼(,=0)時(shí)的情況,(1).過阻尼(,1)的情況。,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為,圖3-3-4,1時(shí)根分布,由于阻尼比大于1，所以,實(shí)軸上如圖3-3-4所示。,均位于s平面的左側(cè)，并且均在,對(duì)單位階躍輸入,，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,展成部分分式：,式中各系數(shù)按下式求出：,求Y(s)的拉氏反變換，可得,(3-3-6),由式(3-3-6)可以看出，瞬態(tài)響應(yīng)曲線由

13、穩(wěn)態(tài)分量和兩項(xiàng)瞬態(tài)分量組成。 兩項(xiàng)瞬態(tài)分量，一項(xiàng)的衰,減指數(shù)為,，另一項(xiàng)為,，當(dāng),l時(shí)，后一項(xiàng)的衰減指數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大,也就是說，在瞬態(tài)過程中后一分量衰減得快。,于前一項(xiàng)。,因此后一項(xiàng)瞬態(tài)分量只是在響應(yīng)的前期對(duì)系統(tǒng)有影響，而在后期影響很小。所以近似分析過阻尼的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以將后一項(xiàng)忽略不計(jì)。這樣二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)就類似于一階系統(tǒng)的響應(yīng)。,(2) 欠阻尼(0,1)的情況,特征方程的根為,由于0 1，s1與s2為一對(duì)共軛復(fù)根如圖3-3-5所示。,圖3-3-5 0,1時(shí)根的分布,輸出量的拉氏變換為,由于,將Y(s)變換成如下形式，求其原函數(shù)，即,反變換為,由圖3-3-5，可知,則,（3-3-6）,式中,，

14、稱為阻尼振蕩角頻率或振蕩角頻率；,由式(3-3-6)可以看出，在(0 1)的情況下，二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的瞬態(tài) 分量為一按指數(shù)衰減的簡(jiǎn)諧振蕩時(shí)間函數(shù)，阻尼比越小，最大振幅越大。 以為參變量的系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線如圖3-3-6所示。,圖3-3-6二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),圖3-3-7,=1時(shí)根的分布,(3) 臨界阻尼( =1)的情況,特征方程：,系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)重根：s1=s2=-,，如圖3-3-7所示,系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,將上式分解為部分分式,式中各代定系數(shù)按下式求出：,因此,上式的拉氏反變換為,故，當(dāng),=1時(shí)，二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為一單調(diào)上升曲線，如圖3-3-6所示。,(3-3-7),(4) 無阻尼(

15、 =0)時(shí)的情況,輸出量的拉氏變換為,特征方程的根為,將Y(s)展成部分分式：,因此Y(s)的拉氏反變換為,圖3-3-8,當(dāng) =0時(shí)，系統(tǒng)為不衰減的振蕩，其瞬態(tài)響應(yīng)曲線如圖3-3-6所示。,綜上分析可以看出，阻尼比不同時(shí)，二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有很大差別，當(dāng) =0時(shí)，系統(tǒng)等幅振蕩，不能正常工作，而在 1時(shí)，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)為非周期過渡，響應(yīng)速度又太慢。在欠阻尼0 1中，對(duì)應(yīng) =0.40.8時(shí)，響應(yīng)過程，不僅過渡過程時(shí)間較短，而且振蕩也不嚴(yán)重。因此，一般選擇二階系統(tǒng)工作在 =0.40.8的欠阻尼工作狀態(tài),3.3.2 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo),(1)上升時(shí)間,(2) 峰值時(shí)間,(3) 超調(diào)量,(4) 調(diào)

16、節(jié)時(shí)間t,(5) 振蕩次數(shù),(1)上升時(shí)間,在瞬態(tài)過程中第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)問稱為上升時(shí)間 。依據(jù)這個(gè)定義，令,則由式(3-3-6)可得,由于，在,期間，也就是在沒有達(dá)至穩(wěn)態(tài)之前，,，所以,，由此可得,，當(dāng),時(shí)，,為負(fù)值，因此，上升時(shí)間應(yīng)滿足,故,(3-3-9),由式(3-3-9)可以看,和,。對(duì)上升時(shí)間的影響。當(dāng),一定時(shí)，阻尼比越大，,則上升時(shí)間越長(zhǎng)；當(dāng),一定時(shí)，,越大。則上升時(shí)間越短。,(2) 峰值時(shí)間,依據(jù)峰值時(shí)間,的定義，將式(3-3-6)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，即,得,由于,可得,所以,故到達(dá)第一個(gè)峰值應(yīng)滿足,，則,（3-3-10）,由式(3-3-10)可以看出，當(dāng),一定時(shí)，,與,

17、。成反比，即是說,越大、峰值時(shí)間越小。當(dāng),一定時(shí)，,隨,減小而減小。,(3) 超調(diào)量,最大超調(diào)量發(fā)生在t=,的時(shí)刻。依據(jù)超調(diào)量的定義：,對(duì)于單位階躍響應(yīng)，其穩(wěn)態(tài)分量Y()=1，代人上式可得,因?yàn)?所以,（3-3-11）,從式(3-3-11)可知，超調(diào)量只是阻尼比,的函數(shù)。而與無阻尼自然頻率,無關(guān)。因此，當(dāng)給定標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)阻尼比,時(shí)，就可求得相應(yīng)的,超調(diào)量,，反之亦然。一般選取,=0.40.8時(shí)，,相應(yīng)的,超調(diào)量,=252.5。當(dāng),=0.707時(shí)，稱為二階工程最佳參數(shù)，,相應(yīng)超調(diào)量為4.3。,(4) 調(diào)節(jié)時(shí)間t,依據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間定義：當(dāng)tt,時(shí)，有,允許誤差y(t)，一般取0.05或0.02，可得,

18、為了簡(jiǎn)單起見，采用近似計(jì)算，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到O.05或0.02 時(shí)過渡過程即進(jìn)行完畢。故上式可寫成,由此可得調(diào)節(jié)時(shí)間t,為,(3-3-12a),(3-3-12b),如果考慮正弦項(xiàng)時(shí)，,與,之間的函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，只能用 計(jì)算機(jī)計(jì)算求取,=f(,)關(guān)系。實(shí)際工程中，一般都采用近 似計(jì)算方法進(jìn)行估算. 由上述分析可知，調(diào)節(jié)時(shí)間,近似與,成反比。在設(shè)計(jì)工程系統(tǒng)時(shí)，,通常由要求的超調(diào)量,來確定，所以,主要根據(jù),來確定。也就是說在不改變系統(tǒng)超調(diào)量的情況下，可以通過 改變系統(tǒng)的,，來改變調(diào)節(jié)時(shí)間,。,(5) 振蕩次數(shù),振蕩次數(shù)是指在0t,時(shí)間區(qū)間內(nèi)，y(t)波動(dòng)的次數(shù)， 根據(jù)這一定義可得振

19、蕩次數(shù)為,式中,系統(tǒng)阻尼震蕩周期,例3-3-1 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試求系統(tǒng)的性能指標(biāo)峰值時(shí)間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。,解：根據(jù)題目給出條件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式 相比較可得 即 =1, =0.5。由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。故，單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)為,例3-3-2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，若T=0.1秒，試求開環(huán)放大系數(shù)K=10/s和K=20/s時(shí)：(1) 阻尼比 及無阻尼自然振蕩角頻率 。(2) 單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量 和調(diào)節(jié)時(shí)間 。,解:題意分析這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標(biāo)的練習(xí)題， 通過該練習(xí)題數(shù)值計(jì)算，加深理解開環(huán)放大系數(shù)K值的改變， 對(duì)

20、系統(tǒng)參數(shù),及性能指標(biāo)的影響。,(1) 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式 相比較，可得 或 當(dāng)K=10/s時(shí), =10（弧度秒）, =0.5 K=20/s時(shí)， =14.14（弧度秒）, =0.354 (2) 當(dāng) K=10/s時(shí)， =16.3% , =0.362(秒), (秒) K=20/s時(shí)， =30.4% , =0.237(秒) , (秒) 由此可見，開環(huán)放大系數(shù)增大，使減小，增大，超調(diào)量增大，峰值時(shí)間減小，調(diào)節(jié)時(shí)間基本不變。,3.4 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù),線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式所有的根（或極點(diǎn)）全部為具有負(fù)實(shí)部，也就是所有的根均分布在平面虛軸的左面。 勞斯判據(jù)，首

21、先將系統(tǒng)的特征方程式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，并檢查各項(xiàng)符號(hào)是否相同和缺相。若符號(hào)不同，或者缺相系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果符號(hào)相同又不缺相，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要列勞斯表判斷。,2.勞斯穩(wěn)定判據(jù),特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式：,把特征方程式的系數(shù)排列成如下形式的勞斯表：,第一行與第二行的系數(shù)向右展開，分別別到為止。第三行以后的各系數(shù)，分別根據(jù)前兩行系數(shù)求得，這些行稱為導(dǎo)出行或計(jì)算行。,系數(shù),的計(jì)算，一直進(jìn)行到其余的,值全部等于零為止。,依此類推一直計(jì)算到,為止。在計(jì)算過程中，為了簡(jiǎn)化數(shù) 值運(yùn)算，可以用正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，并不改變穩(wěn)定 性的結(jié)論。列出勞斯表后，就可以分成以下三種情況闡述勞斯

22、穩(wěn)定判據(jù)： （1）第一行所有系數(shù)均不為零時(shí)，勞斯穩(wěn)定判據(jù)如下，如果勞 斯表中第一行各系數(shù)均為正數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果第一列有負(fù) 數(shù)，則第一列數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)等于特征根中具有正實(shí)部根的 個(gè)數(shù)。系統(tǒng)不穩(wěn)定。,（2）某一行的系數(shù)為零，其余不為零，或部分為零。 當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí)，可用一無窮小量,代替該零相，然 后按照通常方法計(jì)算勞斯表中其余各項(xiàng)。如果零,上面的 系數(shù)符號(hào)與零,下面的系數(shù)符號(hào)相反，表明有兩次符號(hào)改變。,（3）某行所有項(xiàng)系數(shù)均為零的情況 如果勞斯表中某一行（k行）所有系數(shù)均為零，這往往表明系統(tǒng)是不穩(wěn)定 的。 因?yàn)樵斐蛇@一情況的原因是由于特征根對(duì)稱于s平面的原點(diǎn)，如 。為了寫出下面各行，可按下

23、述步驟處理： 利用(k-1)行的各項(xiàng)為系數(shù)構(gòu)成輔助方程式，式中s各項(xiàng)均為偶次。 將輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)，用求導(dǎo)得到的各項(xiàng)系數(shù)來代替原來（k行）為零的各項(xiàng)，然后繼續(xù)計(jì)算。 特征方程式對(duì)稱原點(diǎn)的根，可由方程式等于零求得。,例3-4-1 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：特征方程符號(hào)相同，又不缺相，故滿足穩(wěn)定的必要條件。勞斯判別。,由于第一列各系數(shù)均為正數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可以將特征方程式因式分解為,根,均有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。,例3-4-2 設(shè)系統(tǒng)特征方程式為試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,列勞斯表,第一列符號(hào)改變兩次，因此該系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根系統(tǒng)不穩(wěn)定。,當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí)，可用一無窮小量,代替該零相

24、，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中其余各項(xiàng)。如果零,上面的系 數(shù)符號(hào)與零,下面的系數(shù)符號(hào)相反，表明有兩次符號(hào)改變。,例如，特征方程式：,勞斯表,第一列各項(xiàng)系數(shù)，當(dāng),趨近于零時(shí)，,的值是一個(gè)很大的負(fù)值，因此可認(rèn)為第一列中各項(xiàng)系數(shù)值符號(hào)改變了兩次，該系統(tǒng)具有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,如果零上面的符號(hào)和下面的符號(hào)相同，則說明存在一對(duì)虛根。,例如：,列勞斯表,將特征方程式因式分解為,根為,所以：系統(tǒng)等幅振蕩，所以系統(tǒng)也不是漸近穩(wěn)定。,例3-4-3 系統(tǒng)特征方程式為判斷其穩(wěn)定性,列勞斯表,由表的第一列可以看出，各項(xiàng)符號(hào)沒有改變，說明在,右半部沒由極點(diǎn)，但是由于,的各項(xiàng)都為零， 這表明有共軛虛根，所以系統(tǒng)是

25、等幅振蕩的，虛根的值可 由輔助方程求得：,或,解得,3.用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)參數(shù)的臨界值,代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)除了可以用來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定之外，還可以用來分析系數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。,例3-4-4 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求,的穩(wěn)定范圍。,解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：,列勞斯表,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,得,所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，,的取值范圍為,。,3.5 穩(wěn)態(tài)誤差,3.5.1 穩(wěn)態(tài)誤差及誤差系數(shù),控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖3-5-1所示 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有兩種定義方法。 3-5-1 典型結(jié)構(gòu)圖 輸入端定義：,這個(gè)誤差是可測(cè)量的，但是這個(gè)誤差并不一定反映實(shí)際值與期望值的偏差。

26、輸出端定義：,系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與期望值的偏差，用,表示。,對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)兩種方法定義的誤差關(guān)系為,，證明如下：,由圖3-5-1可知,等效結(jié)構(gòu)圖如圖3-5-2所示,其中,表示等效單位反饋系統(tǒng)的輸入 信號(hào)，也就是輸出的期望值， 因而,是從輸出端定義的 非單位控制系統(tǒng)的誤差。,（3-5-1）,由前面分析可知，從系統(tǒng)輸入端定義的系統(tǒng)誤差,，可以直接地或間接地表示從系統(tǒng)輸出端定義的系統(tǒng)誤差,。以后的敘述中，均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差進(jìn)行分 析和計(jì)算。如果有必要計(jì)算輸出端的誤差，則可利上式進(jìn)行換 算。依據(jù)輸入端誤差定義方法，可得誤差傳遞函數(shù)為,式中，Gk(s)=G(s).H(s) 開環(huán)傳遞函數(shù)。,

27、誤差的拉氏變換為 應(yīng)用終值定理可求穩(wěn)態(tài)誤差為 （3-5-2） 由此可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)和輸入量X(s),這兩個(gè)因素決定穩(wěn)態(tài)誤差。 下面討論這兩個(gè)因素對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響。 為了便于討論，可按開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)中所串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)經(jīng)過整理一般可表示為： （3-5-3） 式中 N開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，或稱無差度數(shù)。 N=0時(shí)的系統(tǒng)，稱為0型系統(tǒng)，又稱為有差系統(tǒng)；N=1時(shí)的系統(tǒng)，稱為1型系統(tǒng)，又稱為一階無差系統(tǒng)；N=2時(shí)的系統(tǒng)，稱為2型系統(tǒng)，又稱為二階無差系統(tǒng)；依此類推。N愈高，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性越差。一般所采用的是0型、

28、1型和2型系統(tǒng)。,下面討論不同型別的系統(tǒng)，在不同輸入信號(hào)形式作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。,單位階躍函數(shù)輸入。X(s)=,穩(wěn)態(tài)誤差為,令,稱為位置誤差系數(shù)，則,對(duì)于0型系統(tǒng)，N=0。位置誤差系數(shù)：,因此0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：,0型系統(tǒng)的位置誤差由開環(huán)放大系數(shù)決定，K越大，,越小。對(duì)于1型或2型系統(tǒng)，N=1或N=2，位置誤差系數(shù)為,因此位置誤差為,由此可知，對(duì)于單位階躍輸入 ，1型以上各型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài) 誤差均為零。,（2）、單位斜坡函數(shù)輸入 。,因此穩(wěn)態(tài)誤差為,令,，,稱為速度誤差系數(shù)，則,對(duì)于0型系統(tǒng)，N=0速度誤差數(shù)為,則,對(duì)于1型系統(tǒng),=K；,對(duì)于2型系統(tǒng),；,。,(3) 單位拋物線（加速度）函數(shù)輸入 因

29、此穩(wěn)態(tài)誤差為 令 ， 稱為加速度誤差系數(shù)，則 對(duì)于0型和1型系統(tǒng) 對(duì)于2型系統(tǒng) 由此可知，0型和1型系統(tǒng)都不能跟蹤加速度輸入，只有2型系統(tǒng)，可以跟蹤加速度輸入，但是有穩(wěn)態(tài)誤差?，F(xiàn)將各型系統(tǒng)在不同輸入情況下的誤差下的誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差列于表3-5-1中。輸入輸出特性線如圖3-5-3所示。,表3-5-1 不同輸入不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,例3-5-1 已知開環(huán)傳遞函數(shù)分別為 和 的兩個(gè)系統(tǒng)，試求它們 的靜態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)以及輸入為 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差（其中 均為正常數(shù)）。 解：（1）兩個(gè)系統(tǒng)均為1型系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)為,例3-5-2 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求在輸入信號(hào)為作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)

30、誤差。,解：題意分析該題是求穩(wěn)態(tài)誤差的基本題目，可采用不同的方法求解。在這里 需用系統(tǒng)的迭加原理，及系統(tǒng)的類型。,方法1：依據(jù)定義用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差,由題可知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,輸入信號(hào)的拉氏變換為,根據(jù)誤差的定義，誤差信號(hào)的拉氏變換為,由終值定理,方法2：用靜態(tài)誤差系數(shù)法,由于系統(tǒng)是型系統(tǒng)，因此根據(jù)迭加原理,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),故,3.5.2 擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)除了輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常受各種擾動(dòng)作用，如負(fù)載的波動(dòng)；電源電壓和頻率的波動(dòng)；環(huán)境變化而引起的元件參數(shù)變化等，均屬于對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)或干擾。在這些擾動(dòng)信號(hào)的作用下，系統(tǒng)也將產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差稱為擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差，擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小反映了系統(tǒng)抗干擾的

31、能力。一般希望擾動(dòng)誤差越小越好。在理想情況下，系統(tǒng)對(duì)于任意形式的擾動(dòng)作用其穩(wěn)態(tài)誤差總應(yīng)為零。,設(shè)擾動(dòng)量為,如圖3-5-4所示。,當(dāng)輸入量為零時(shí)，擾動(dòng)量輸出的拉氏變換為,式中 擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù)。,由于在有擾動(dòng)時(shí)希望輸出值應(yīng)為零，系統(tǒng)誤差依據(jù)定義應(yīng)是希望輸出與實(shí)際輸出之差。 因此誤差信號(hào)的拉氏變換應(yīng)為,根據(jù)拉氏變換的終值定理，可求出擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為,當(dāng) 時(shí)，,(3-5-4),(3-5-5),例3-5-3 設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-5-4所示，其中 , 輸入信號(hào) ，擾動(dòng)信號(hào) ，試計(jì)算該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,解： 令,輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào)：,令 ，得在擾動(dòng)作用下的誤差傳遞函數(shù)：,擾動(dòng)作用的拉氏變換為,所以

32、,根據(jù)線性迭加原理：,本例，應(yīng)取,3.5.3 減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)時(shí)，都要根據(jù)實(shí)際工作需要對(duì)系統(tǒng)提出穩(wěn)態(tài)誤差的要求，如何保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不超過要求值，可采用以下幾種方法減小穩(wěn)態(tài)誤差。 1.增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。 提高系統(tǒng)對(duì)參考輸入的跟蹤能力，增大擾動(dòng)作用點(diǎn)以前的前向通道的放大系數(shù)以降低擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。增大開環(huán)放大系數(shù)是一種簡(jiǎn)單有效的辦法，但是放大系數(shù)的增加將會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故增大放大系數(shù)受穩(wěn)定性的限制。 2.增加積分環(huán)節(jié)，提高無差度，從而可以消除不同輸入信號(hào)量的穩(wěn)態(tài)誤差，但是當(dāng)積分環(huán)的個(gè)數(shù)超過2時(shí)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定就非常困難。所以實(shí)際的工作系統(tǒng)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)數(shù)不能超過

33、2。 3.除上述方法外，可以采用補(bǔ)償?shù)姆椒āＱa(bǔ)償是指作用于被控對(duì)象上的控制精度，減小誤差。這種控制稱為復(fù)合控制或前饋補(bǔ)償控制。,（1）輸入作用的復(fù)合控制 圖3-5-5 所示的控制系統(tǒng)中，輸入信號(hào)X(s)通過補(bǔ)償裝置Gc(s)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)控制。引入補(bǔ)償信號(hào)Xb(s)與偏差信號(hào)E(s)一起，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行復(fù)合控制。等效結(jié)構(gòu)圖3-5-6所示。,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為,圖3-5-5復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,圖3-5-6復(fù)合控制系統(tǒng)的等效結(jié)構(gòu)圖,則誤差信號(hào)的拉氏變換為,（3-5-7）,如果選擇補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)為,（3-5-8）,則系統(tǒng)補(bǔ)償后誤差為,E(s)=0,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,即Y(

34、s)=X(s),這時(shí)系統(tǒng)的誤差為零，輸出量完全復(fù)現(xiàn)輸入量。這種將誤差完全補(bǔ)償?shù)淖饔梅Q為全補(bǔ)償。式（3-5-8）稱為按輸入作用的不變性條件,（2）擾動(dòng)作用的復(fù)合控制,圖3-5-7是按外部擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)。該系統(tǒng)由擾動(dòng)引起的誤差就是輸入量為零時(shí)系統(tǒng)輸出量。等效結(jié)構(gòu)圖如圖3-5-8所示。,圖3-5-7按擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制,圖3-5-8按擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制等效結(jié)構(gòu)圖,系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,（3-5-9）,如果選取：,（3-5-10）,則得 Y(s)=0,這就是對(duì)外部擾動(dòng)作用的全補(bǔ)償。式（3-5-10）稱為按擾動(dòng)的完全不變性條件，在實(shí)際工程中，實(shí)現(xiàn)完全不變性條件是困難的。但是，即使能實(shí)現(xiàn)部分補(bǔ)償也

35、可以取得顯著效果。,例3-5-4 已知單位反饋二階系統(tǒng)，補(bǔ)償前的開環(huán)傳遞為,（1）未加補(bǔ)償時(shí)，當(dāng)x(t)=t時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差； （2）加入如圖3-5-9所示補(bǔ)償時(shí)，且x(t)=t時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并分析其穩(wěn)定性；,圖3-5-9 補(bǔ)償后的結(jié)構(gòu)圖,（1）補(bǔ)償前的穩(wěn)態(tài)誤差 閉環(huán)傳遞函數(shù)為,誤差傳遞函數(shù)為,當(dāng)輸入信號(hào)x(t)=t時(shí)，X(s)=,，穩(wěn)態(tài)誤差為,系統(tǒng)將產(chǎn)生速度穩(wěn)態(tài)誤差，其大小決定于開環(huán)增益K值的大小。,（2）補(bǔ)償后的穩(wěn)態(tài)誤差 為了補(bǔ)償速度誤差，引進(jìn)輸入信號(hào)的微分信號(hào)，如3-5-9所示。 閉環(huán)傳遞函數(shù)為,誤差傳遞函數(shù)為,當(dāng)選 時(shí)，誤差傳遞函數(shù)為,誤差的拉氏變換為,在輸入信號(hào)為斜坡函數(shù)的情況下

36、，X(s)= ,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,由此可見，在引入補(bǔ)償 (也稱為前饋控制)后，可使系統(tǒng)的速度誤差為零。將原來的1型系統(tǒng)提高為2型系統(tǒng)。此時(shí)等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：,由,可得,由前面的分析可知，引入前饋控制裝置不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因?yàn)檫@兩個(gè)系統(tǒng)的特征方程式相同。 最后再一次指出，引入適當(dāng)?shù)那梆伩刂蒲b置，可以提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度，但不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,3.6 用MATLAB解決時(shí)域分析的問題,3.6.1 時(shí)域響應(yīng)曲線的繪制,3.6.2二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的計(jì)算,3.6.3 代數(shù)幻燈片 11穩(wěn)定判據(jù)MATLAB的實(shí)現(xiàn),3.6.4穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,3.6.1 時(shí)域響應(yīng)曲線的繪制,1.單位階躍響應(yīng)的函數(shù)

37、step() 調(diào)用格式： step(sys) step(sys,t) y,t,x=step(sys) step(sys,t)函數(shù)用于計(jì)算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，函數(shù)中t可以指定為一個(gè)仿真終止時(shí)間，此時(shí)t為一標(biāo)量；也可以設(shè)置為一個(gè)時(shí)間向量(如用t=0：dt：Tfinal命令). 若是離散系統(tǒng)，時(shí)間間隔dt必須與采樣周期匹配。函數(shù)中t也可以沒有。 y,t,xstep(sys)函數(shù)為帶有輸出變量引用的函數(shù); 可計(jì)算系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制出曲線。輸出變量y是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)值向量；輸出變量t為取積分值的時(shí)間向量；輸出變量x是系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡數(shù)據(jù)。 2. 單位沖激響應(yīng)函數(shù)impulse() impulse

38、(sys) impulse(sys,t) y,t,x=impulse(sys),例3-6-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)前向通道的傳遞函數(shù)為,解：sys=tf(8,1 2 0);closys=feedback(sys,1); step(closys) impulse(closys) 運(yùn)行程序可得系統(tǒng)的單位階躍給定響應(yīng)曲線與單位沖激響應(yīng)曲線略。,試作出其單位階躍響應(yīng)曲線。,例3-6-2 用MATLAB仿真函數(shù)命令繪制一階系統(tǒng),的單位階躍響應(yīng)曲線、單位脈沖響應(yīng)曲線、單位斜坡響應(yīng)曲線與等加速度響應(yīng)等曲線。,解：(1)運(yùn)行以下語句可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： ys=tf(0 1,1 1); step(ys) 程

39、序運(yùn)行后得到如圖3-6-1所示的單位階躍響應(yīng)曲線。 (2)運(yùn)行以下語句可得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)： sys=tf(0 1,1 1); impulse(sys),程序運(yùn)行后得到如圖3-6-2所示的單位脈沖響應(yīng)曲線。 (3)運(yùn)行以下語句可得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)： sys=tf(0 1,1 1 0);step(sys) 程序運(yùn)行后得到如圖3-6-3所示的單位斜坡響應(yīng)曲線。 (4)運(yùn)行以下語句可得一階系統(tǒng)的等加速度響應(yīng)： sys=tf(0 1,1 1 0 0); step(sys) 程序運(yùn)行后得到如圖3-6-4所示的等加速度響應(yīng)曲線.,圖3-6-1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),圖3-6-2單位脈沖響應(yīng)曲

40、線,圖3-6-3 單位斜坡響應(yīng)曲線,圖3-6-4 等加速度響應(yīng)曲線,例3-6-3典型二階系統(tǒng)如下所示：,試?yán)L制出當(dāng),分別為0.1、0.2、,、1.0、2.0時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。,解:編寫MATLAB程序如下： wn=6; kosi=0.1:0.1:1.0,2.0; figure(1) hold on for kos=kosi num=wn.2; den=1,2*kos*wn,wn.2; step(num,den) end title(Step Response) hold off,執(zhí)行后可得如圖3-6-5所示的單位階躍響應(yīng)曲線。,圖3-6-5 單位階躍響應(yīng)曲線,3.6.2二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的計(jì)

41、算,在這里，我們自定義一個(gè)MATLAB函數(shù)perf()，用于求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)：超調(diào)量、峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。在今后的設(shè)計(jì)中，我們可以直接調(diào)用該函數(shù)，從而方便快捷地得到系統(tǒng)的性能指標(biāo)。該函數(shù)M文件原程序參見附錄2,例3-6-4設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試?yán)L制出該閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，并用函數(shù)perf()分別計(jì)算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。,解: (1)執(zhí)行以下程序,clear s1=tf(1.25,1 1 0); sys=feedback(sl,1); step(sys) 程序執(zhí)行后繪制出該,解: (1)執(zhí)行以下程序,3-6-6 三條單位階躍響應(yīng)曲線,閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。,(2)

42、采用函數(shù)peft()計(jì)算性能指標(biāo)： global y t s1=tf(1.25,1 1 0); sys=feedback(s1,1); y,t=step(sys);perf(2,y,t); 程序執(zhí)行結(jié)果為：,sigma =0.2091 tp =3.0920 ts =4.9693,例3-6-5已知一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)為：,試?yán)L制該系統(tǒng)當(dāng)k分別為14，2.3，3.5時(shí)的單位階躍給定響應(yīng)曲線(繪制在同一張圖上)，并計(jì)算當(dāng)k=14時(shí)系統(tǒng)的單位階躍給定響應(yīng)性能指標(biāo)。,解：(1)程序文件方式下執(zhí)行以下程序,clear num=1;den=0.5 1.5 1 0; rangek=1.4 2.3 3.5; t=

43、linspace(0,20,200); for j=1:3 sl=tf(num*rangek(j),den); sys=feedback(sl,1);y(:,j)=step(sys,t); end plot(t,y(:,1:3),grid gtext(k=1.4),gtext(k=2.3),gtext(k=3.5),這是帶鼠標(biāo)操作的程序，必須采用程序文件執(zhí)行方式。其操作方法是：在MATLAB命令窗口里回車后，曲線區(qū)域有縱橫兩條坐標(biāo)線，其交點(diǎn)隨鼠標(biāo)而移動(dòng)。將交點(diǎn)指在相應(yīng)曲線附近，3次單擊左鍵分別將“k=1.4”、“k=2.25”、“k=3.5” 標(biāo)注在曲線旁.執(zhí)行程序后，得到如圖3-6-6所示標(biāo)

44、注有其對(duì)應(yīng)參數(shù)的三條單位階躍響應(yīng)曲線。由曲線可以看出，當(dāng)k=1.4時(shí)，階躍響應(yīng)衰減振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)k=2.25時(shí)，響應(yīng)等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)k=3.5時(shí)，響應(yīng)振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,(2)執(zhí)行以下程序,clear global y t sys n1=1.4;d1=0.5 1.5 1 0;s1=tf(n1,d1);sys=feedback(s1,1); step(sys);y,t=step(sys);perf(2,y,t),執(zhí)行程序后，計(jì)算出階躍給定響應(yīng)的指標(biāo)如下：,sigma =0.5303 tp =3.5126 ts =16.9776 ans =0.5303,3.6.3 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)M

45、ATLAB的實(shí)現(xiàn),求解控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根，用函數(shù)roots(p)來實(shí)現(xiàn)，格式如下： roots(p) p是降冪排列多項(xiàng)式系數(shù)向量,例3-6-6己知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)判別其穩(wěn)定性。,解：k=100;z=-2;p=0,-1,-20; nl,d1=zp2tf(z,p,k); G=tf(nl,d1); P=nl+d1; roots(P) ans =-12.8990 -5.0000 -3.1010,閉環(huán)特征方程的根的實(shí)部均具有負(fù)值，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,例3-6-7已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,試對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)判別其穩(wěn)定性。,解：p=0.001 0.502 6 200;roots(p)

46、 ans =1.0e+002 * -4.9060 -0.0570 + 0.1937i -0.0570 - 0.1937i,例3-6-8 已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖模型如圖3-6-7所示,試對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)判別其穩(wěn)定性。,nl=10;d1=1 1 0;s1=tf(nl,d1); n2=0 2 0;d2=0 0 1;s2=tf(n2,d2); s12=feedback(s1,s2); n3=0 1 1;d3=0 1 0;s3=tf(n3,d3); sysl=s12*s3;sys=feedback(sysl,1); roots(sys.den1) 圖3-6-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型 ans = -20.5368 -0.

47、2316 + 0.6582i -0.2316 - 0.6582i,解:,圖3-6-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型,3.6.4穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,例3-6-8兩個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為,試求兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置、速度,與加速度誤差系數(shù),解: (1)系統(tǒng)a的計(jì)算 對(duì)系統(tǒng)a判穩(wěn) p=1 2 3 7;roots(p) ans = -2.1325 0.0662 + 1.8106i 0.0662 - 1.8106i,根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，有一對(duì)共軛復(fù)根的實(shí)部是正的，那么系統(tǒng)a是不穩(wěn)定的，故不能定義穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。,(2)系統(tǒng)b的計(jì)算。 對(duì)系統(tǒng)b判穩(wěn)。 P=5 5 6;roots(P) ans = -0.5000 + 0.

48、9747i -0.5000 - 0.9747i 計(jì)算系統(tǒng)b的穩(wěn)態(tài)位置、速度與加速度誤差系數(shù)。 clear syms s phib Gk kp kv ka; phib=5/(5*s2+5*s+6);Gk=solve(5/(5*s2+5*s+6)=Gk/(1+Gk),Gk); kp=limit(Gk,s,0,right) kv=limit(s*Gk,s,0,right) ka=limit(s2*Gk,s,0,right) 執(zhí)行結(jié)果如下： kp =5 kv =0 ka =0,例3-6-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-6-8所示。試求局部反饋加入前后系統(tǒng)的靜態(tài)位置、速度與加速度誤差系數(shù),解: (1)局部反饋加

49、入前。 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 syms s G1 G2 H2 G phi1 phi; G1=(2*s+1)/s;G2=10/(s*(s+1);H2=0;phi1=G2/(1+G2*H2);G=factor(G1*phi1) phi=factor(G/(1+G) 執(zhí)行結(jié)果如下 G =10*(2*s+1)/s2/(s+1) phi =10*(2*s+1)/(s3+s2+20*s+10),對(duì)系統(tǒng)判穩(wěn) P=1 1 20 10; roots(P)圖3-6-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 ans = -0.2468 + 4.4372i -0.2468 - 4.4372i -0.5063,圖3-6-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

50、位置、速度與加速度誤差系數(shù)。 syms s G Kp Kv Ka; G=10*(2*s+1)/s2/(s+1); Kp=limit(G,s,0,right) Kv=limit(s*G,s,0,right) Ka=limit(s2*G,s,0,right) 執(zhí)行結(jié)果如下 Kp =Inf Kv =Inf Ka =10 說明 求極限的語句中，必須指明是right即從右趨向于0，否則計(jì)算出錯(cuò)。,(2)局部反饋加入后 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 syms s G1 G2 H2 G phi1 phi; G1=(2*s+1)/s;G2=10/(s*(s+1);H2=2; phi1=G2/(1+G2*H2);G=fa

51、ctor(G1*phi1) phi=factor(G/(1+G) 執(zhí)行結(jié)果如下 G =10/s*(2*s+1)/(s2+s+20) phi =10*(2*s+1)/(s3+s2+40*s+10),對(duì)系統(tǒng)判穩(wěn)。 P=1 1 40 10; roots(P) ans = -0.3744 + 6.2985i -0.3744 - 6.2985i -0.2512 計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置、速度與加速度誤差系數(shù)。 syms s G Kp Kv Ka; G=10/s*(2*s+1)/(s2+s+20); Kp=limit(G,s,0,right) Kv=limit(s*G,s,0,right) Ka=limit(s

52、2*G,s,0,right) 執(zhí)行結(jié)果如下 Kp =Inf Kv =1/2 Ka =0,例3-6-10已知r(t)=1(t)，,且指定e(t)=r(t)-c(t)。,試求如圖3-6-9所示系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。,解: (1)對(duì)系統(tǒng)判穩(wěn)。 系統(tǒng)有閉環(huán)特征方程：D(s)=0.5s2+s+200=0. p=0.5 1 200; roots(p) 圖3-6-9負(fù)反饋控制系統(tǒng) ans = -1.0000 +19.9750i -1.0000 -19.9750i,圖3-6-9負(fù)反饋控制系統(tǒng),(2)僅在r(t)=1(t)作用下(n(t)=0)，求essr的公式。 對(duì)本系統(tǒng)有,其穩(wěn)態(tài)誤差為,syms G1 G2 H r R Cr Er t s essr; G2=200/(s*(0.5*s+1);G1=1;H=1; r=sym(Heaviside(t);R=laplace(r); n,d=numden(G1*G2/(1+G1*G2*H);phi=n/d; Cr=phi*R;E