信號與線性系統(tǒng)教學資料第5講

1、信號與線性系統(tǒng),第 5 講 教材位置: 第3章 連續(xù)信號的正交分解 3.4-3.5 內容概要: 周期信號的頻譜，非周期信號的頻譜，傅里葉變換,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,2,開講前言-前講回顧,函數(shù)分解與正交函數(shù)集 矢量分解與正交矢量空間 正交函數(shù)集的定義,正交函數(shù)集的完備性 函數(shù)在正交函數(shù)集的分解 復變正交函數(shù)集的定義 三角、指數(shù)函數(shù)集構成正交函數(shù)集 信號表示為傅立葉級數(shù) 三角傅立葉級數(shù)， 信號表示為三角傅立葉級數(shù)的分量表示 信號可表示為傅立葉級數(shù)的條件 指數(shù)傅立葉級數(shù)，復振幅系數(shù)，以及與三角級數(shù)系數(shù)的關系 關于信號用傅立葉級數(shù)表示的幾點說明 物理意義、正交函數(shù)集的范疇、被表達函

2、數(shù)的周期性,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,3,開講前言-本講導入,信號表示為傅里葉級數(shù)，即信號可由不同頻率的正弦信號加權構成 要知道信號由哪些頻率的正弦信號組成，知道其加權值，這就是關于信號的頻譜問題 頻譜：信號由不同頻率的信號構成，各個頻率信號的幅度。 信號的頻譜是信號的重要物理概念 對周期信號進行傅里葉級數(shù)展開的同時，得到該周期信號的頻譜。 本講學習周期信號的頻譜分析、對稱周期信號的頻譜分析、非周期信號的頻譜分析、傅里葉變換。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,4,3.4 周期信號的頻譜,1、周期方波頻譜分析,1,1,0,T/2,T,t,f(t),2020/8/3,信號與線

3、性系統(tǒng)第5講,5,3.4 周期信號的頻譜,周期方波信號頻譜分析 離散性頻譜是不連續(xù)的線條。 諧波性線條只出現(xiàn)在諧波位置。 收斂性譜線高度為該諧波的振幅，總趨勢是收斂的,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,6,3.4 周期信號的頻譜,2、周期性矩形脈沖函數(shù)頻譜分析 脈沖幅度為A 脈沖寬度為 脈沖重復 周期T 一個周期內表達式 展開為指數(shù)傅里葉級數(shù) 復振幅表示為,A,0,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,7,3.4 周期信號的頻譜,直流分量 N次諧波振幅 振幅與/T相關,抽樣函數(shù),2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,8,3.4 周期信號的頻譜,頻譜作圖 抽樣函數(shù)sa(x) 令T=5

4、,在n=0,n=1,n=2,， 求A0、A1、A2各次諧波振幅。 用相應長度線段代表,并按頻率高低排列，得振幅頻譜。 三種振幅頻譜表示方式 復數(shù)振幅An 振幅頻譜An=|An| 指數(shù)級數(shù)系數(shù)Cn,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,9,3.4 周期信號的頻譜,頻譜圖說明 復數(shù)振幅An一般為復函數(shù)，當An為實函數(shù)時可用幅度正、負表示相位為0和，形成幅度譜和相位譜合一，否則就必須分解為振幅頻譜和相位頻譜表示； 振幅頻譜An=|An|為實數(shù)，僅僅對幅度描述； 指數(shù)級數(shù)系數(shù)Cn是復函數(shù)，引入了負頻率變量，同時，振幅幅度減半。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,10,3.4 周期信號的頻譜討論

5、, /T對頻譜結構的影響 不變而T增大時： 譜線變密。因=2/T，故T ； 譜線高度減小。An與T成反比 T 不變而 減小時 振幅過零點諧波頻率提高。包絡形狀的變化 整個頻譜振幅相應減小，收斂速度降低。 0 , T 譜線密集成連續(xù) 振幅趨近零且平坦無過零點 這就是沖激函數(shù)的頻譜,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,11,3.4 周期信號的頻譜討論,頻帶寬度定義： 對于一個信號，從零頻率開始到需要考慮的最高分量的這一頻率范圍，是信號所占有的頻帶寬度，簡稱頻寬。 一般以振幅第一個過零點為頻帶寬度。 若振幅沒有過零點，則以振幅下降到最高幅度的10%所對應的頻率點為頻寬。 信號的時間特性和頻率特性

6、間的關系 時間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,12,3.4 周期信號的頻譜,3、對稱信號的傅里葉級數(shù) 四種對稱關系 偶函數(shù) ：對稱縱軸 奇函數(shù) ：對稱原點 奇諧函數(shù) ：半周期鏡像 偶諧函數(shù)：半周期重疊,任意函數(shù)f(t)的奇、偶分量表示法：,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,13,3.4 周期信號的頻譜,對稱函數(shù)頻譜分析 周期函數(shù)展開為三角傅里葉級數(shù) 偶函數(shù)項 奇函數(shù)項 余弦函數(shù)為偶函數(shù)，正弦函數(shù)為奇函數(shù) 偶函數(shù)只有直流分量和余弦項 奇函數(shù)只有正弦項 奇諧函數(shù)只有奇數(shù)諧波項 偶諧函數(shù)只有偶數(shù)諧波項,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,1

7、4,3.4 周期信號的頻譜,偶函數(shù)三角級數(shù)表達式 an是實數(shù) bn0 偶函數(shù)指數(shù)級數(shù)表達式 Cn是實數(shù) 舉例：周期三角函數(shù),2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,15,3.4 周期信號的頻譜,奇函數(shù)三角級數(shù)表達式 an a0 0 bn是實數(shù) 奇函數(shù)指數(shù)級數(shù)表達式 Cn是虛數(shù) 舉例：周期鋸齒波函數(shù),2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,16,3.4 周期信號的頻譜,奇諧函數(shù)特征 沿時間軸移半個周期； 符號反轉； 波形不變； 移動半周期橫軸鏡像對稱 奇諧函數(shù)傅里葉級數(shù) 偶次諧波系數(shù)為0 a2n=b2n=0,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,17,3.4 周期信號的頻譜,偶諧函數(shù)特征 沿時

8、間軸移半個周期； 波形不變； 半周期重疊 偶諧函數(shù)傅里葉級數(shù) 奇次諧波系數(shù)為0 可看成T1=T/2的周期函數(shù) 作為周期T分析，系數(shù)為 作為周期T1分析，系數(shù)為,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,18,3.4 周期信號的頻譜舉例,利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷信號含有的頻率分量,函數(shù)為周期偶函數(shù)且奇諧函數(shù) 只含基波和奇次諧波的余弦分量,函數(shù)為周期奇函數(shù)且奇諧函數(shù) 只含基波和奇次諧波的正弦分量,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,19,3.4 周期信號的頻譜舉例,函數(shù)為偶諧函數(shù) 含有直流分量和偶次諧波分量,函數(shù)為奇函數(shù) 只含有正弦分量,函數(shù)為偶函數(shù)且偶諧函數(shù) 含有直流分量和偶次余弦分量,20

9、20/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,20,3.4 周期信號的頻譜,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,21,3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜,1、思路 討論周期脈沖信號的頻譜函數(shù)時候發(fā)現(xiàn)周期無窮大成為非周期信號，頻譜譜線密集變得連續(xù)，幅度收縮為無窮小； 如何表示整體無窮小但仍有相對振幅差別的非周期信號頻譜？ 通過對頻譜的定義公式乘T/2，可以保持振幅之間的相對大小關系，由此產生一個對非周期信號頻譜有意義的定義； 考慮T趨向無窮大，對于原信號傅里葉級數(shù)求和表達式進行積分轉化，得到一個很有用途的新的定義： 傅里葉變換關系式,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,22,3.5傅里葉變換與非周

10、期信號的頻譜,2、傅里葉變換定義 定義f(t)為fT(t)在T 的非周期函數(shù) 周期函數(shù)fT(t)的復振幅表示為 兩邊乘T，當T時，極限量用符號F(j)表示； 當T時，趨于無窮小用d 表示， n趨于； F(j)的量綱為：單位頻帶的振幅，稱其為原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,23,3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜,F(j)表示為復函數(shù) 幅度頻譜|F(j)| 相位頻譜() 復函數(shù)的共軛性 因為,若f(t)為實函數(shù)，則F(j)和F(-j)共軛，有下列結果 F*(j) = F(-j) 進而推導，由于 F(j) = | F(j)|e -j() 則有 F* (j)

11、=|F(j)|e j() F(-j) =|F(-j)|e -j(-) 上面兩個復函數(shù)相等，則函數(shù)的模和相角都相等，有下面等式 | F(j)| = | F(-j)| 和 () = -(- ) 結論： | F(j)|是的偶函數(shù)，( )是的奇函數(shù)。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,24,3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜,用F(j)表達f(t),當T ，,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,25,3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜,傅里葉變換存在的條件 非周期信號進行傅里葉積分也要滿足狄利克雷條件。（有限間斷點、有限極值和積分收斂） 絕對可積條件的積分表達式，為以下積分收斂 這是一個充分

12、條件，不是必要條件； 后面要介紹的周期函數(shù)的傅里葉變換表現(xiàn)出：函數(shù)雖然不是絕對可積，但存在傅里葉變換。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,26,3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜,2、典型非周期信號的傅里葉變換分析 寬度，幅度A的單脈沖信號（門函數(shù)） 傅里葉變換,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)第5講,27,3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜,分析 包絡外形是抽樣函數(shù)，幅度是A 乘積 頻譜具有收斂性，即信號的大部分能量都集中在低頻段； 過0點在為周期對應的角頻率的整數(shù)倍位置 與周期脈沖頻譜的異同 包絡外形一致， 原來以周期T的角頻率作為基波，只在基波與諧波有值 現(xiàn)在是連續(xù)函數(shù) 當減小時，頻譜的收斂速度變慢，即脈寬與頻寬成反比 當趨近0時，單脈沖近似為沖激函數(shù)，此時譜線趨近水平，幅度為脈沖面積，即A 乘積?？深A見沖激函數(shù)的傅里葉變換等于1。,2020/8/3,信號與線性系統(tǒng)