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1、1,第4章 不定積分,不定積分的概念與性質(zhì) 換元積分法與分部積分法 某些特殊類型函數(shù)的不定積分,2,不定積分的概念與性質(zhì),3,例,定義：,一、原函數(shù)與不定積分的概念,4,原函數(shù)存在定理：,簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,問題：,(1) 原函數(shù)是否唯一？,例,（ 為任意常數(shù)）,(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？,5,關(guān)于原函數(shù)的說明：,（1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，,（2）若 和 都是 的原函數(shù)，,則,（ 為任意常數(shù)）,證,（ 為任意常數(shù)）,6,不定積分的定義：,7,例1 求,解,解,例2 求,8,例3 設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解,

2、設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,9,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱為,的圖形,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,的積分曲線 .,顯然，求不定積分得到一積分曲線族.,10,由不定積分的定義，可知,結(jié)論：,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,11,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,二、基本積分表,12,基本積分表,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),或,或,13,14,15,例4.求積分,解,例5. 求,解: 原式=,16,證,等式成立.,（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）,三、 不定積分的性質(zhì),17,例6 求積分,解: 原式=,例7 求積分,解: 原式=,18,例8 求積分,解: 原式=,例9. 求,解: 原式 =,19,例10. 求,解: 原式 =,以上幾例中的 被積函數(shù)都需 要進(jìn)行恒等變 形，才能使用 基本積分表.,20,內(nèi)容小結(jié),1. 不定積分的概念, 原函數(shù)與不定積分的定義, 不定積分的性質(zhì), 基本積分表,2. 直接積分法:,利用恒等變形,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì),21,思考題,符號(hào)函數(shù),在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？,22,思考題解答,不存在.,假設(shè)有原函

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