6.Python科學(xué)計(jì)算與數(shù)據(jù)處理ppt課件.ppt

1、1,SymPy,符號運(yùn)算庫,目錄,從例子開始 歐拉恒等式 球體體積 數(shù)學(xué)表達(dá)式 符號 數(shù)值 運(yùn)算符和函數(shù) 符號運(yùn)算 表達(dá)式變換和化簡 方程,2,目錄,微分 微分方程 積分 其他功能,3,4,SymPy是一個(gè)符號數(shù)學(xué)Python庫。它的目標(biāo)是成為一個(gè)全功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，同時(shí)保持代碼的精簡而易于理解和可擴(kuò)展。SymPy完全由Python寫成，不需要任何外部庫。 可用SymPy進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)式的符號推導(dǎo)和演算?？墒褂胕sympy運(yùn)行程序，isympy在 IPython的基礎(chǔ)上添加了數(shù)學(xué)表達(dá)式的直觀顯示功能。啟動時(shí)還會自動運(yùn)行下面的程序：,這段程序首先將Python的除法操作符“/”從整數(shù)除法改為普

2、通除法。然后從SymPy庫載 入所有符號，并且定義了四個(gè)通用的數(shù)學(xué)符號x、y、z 、t，三個(gè)表示整數(shù)的符號k、m、n，以及三個(gè)表示數(shù)學(xué)函數(shù)的符號f、g、h。,5,from _future_ import division from sympy import * x, y, z, t = symbols(x,y,z,t) k, m, n = symbols(k,m,n, integer=True) f, g, h = symbols(f,g,h, cls=Function) #init_printing(),從例子開始,歐拉恒等式 此公式被稱為歐拉恒等式，其中e是自然常數(shù)，i是虛數(shù)單位， 是圓周

3、率。此公式被譽(yù)為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式，它將5個(gè)基本數(shù)學(xué)常數(shù)用加法、乘法和冪運(yùn)算聯(lián)系起來。 從SymPy庫載入的符號中，E表示自然常數(shù)，I表示虛數(shù)單位，pi表示圓周率，因此上面 的公式可以直接如下計(jì)算：,6,E*(I*pi)+1 0,從例子開始,SymPy除了可以直接計(jì)算公式的值之外，還可以幫助做數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和證明。歐拉恒等式可以將 代入下面的歐拉公式得到： 在SymPy中可以使用expand()將表達(dá)式展開，用它展幵 試試看： 沒有成功，只是換了一種寫法而已。當(dāng)expand()的complex參數(shù)為True時(shí)，表達(dá)式將被分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩個(gè)部分：,7, expand( E*(I*x) exp(I

4、*x) ,從例子開始,這次將表達(dá)式展開了，但是得到的結(jié)果相當(dāng)復(fù)雜。顯然，expand()將x當(dāng)做復(fù)數(shù)了。為了指定x為實(shí)數(shù)，需要重新定義x: 終于得到了需要的公式?？梢杂锰├斩囗?xiàng)式對其進(jìn)行展開：,8, expand(exp(I*x), complex=True) I*exp(-im(x)*sin(re(x) + exp(-im(x)*cos(re(x) , x = Symbol(x, real=True) expand(exp(I*x), complex=True) Isin(x)+cos(x),從例子開始,series()對表達(dá)式進(jìn)行泰勒級數(shù)展開?？梢钥吹秸归_之后虛數(shù)項(xiàng)和實(shí)數(shù)項(xiàng)交替出現(xiàn)。根據(jù)歐

5、拉公式，虛數(shù)項(xiàng)的和應(yīng)該等于sin(x)的泰勒展開，而實(shí)數(shù)項(xiàng)的和應(yīng)該等于cos(x)的泰勒展開。,9,tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10) print tmp 1 + I*x - x*2/2 - I*x*3/6 + x*4/24 + I*x*5/120 - x*6/720 - I*x*7/5040 + x*8/40320 + I*x*9/362880 + O(x*10) tmp,從例子開始,下面獲得tmp的實(shí)部： 下面對cos (x)進(jìn)行泰勒展開，可看到其中各項(xiàng)和上面的結(jié)果是一致的。,10, re(tmp) x*8/40320 - x*6/720 + x*4/24 -

6、 x*2/2 + re(O(x*10) + 1, series(cos(x), x, 0, 10) 1 - x*2/2 + x*4/24 - x*6/720 + x*8/40320 + O(x*10),從例子開始,11,下面獲得tmp的虛部: 下面對sin (x)進(jìn)行泰勒展開，其中各項(xiàng)也和上面的結(jié)果一致。 由于 展開式的實(shí)部和虛部分別等于cos(x)和sin(x),因此驗(yàn)證了歐拉公式的正確性。, im(tmp) x*9/362880 - x*7/5040 + x*5/120 - x*3/6 + x + im(O(x*10),series(sin(x), x, 0, 10) x - x*3/6

7、+ x*5/120 - x*7/5040 + x*9/362880 + O(x*10),從例子開始,球體體積 Scipy介紹了如何使用數(shù)值定積分計(jì)算球體的體積，SymPy中的integrate()則可以進(jìn)行符號積分。用integrate()進(jìn)行不定積分運(yùn)算： 如果指定變量x的取值范圍,integrate()就能進(jìn)行定積分運(yùn)算:,12, integrate(x*sin(x), x) -x*cos(x) + sin(x), integrate(x*sin(x), (x, 0,2*pi) - 2*pi,從例子開始,為了計(jì)算球體體積，首先看看如何計(jì)算圓的面積，假設(shè)圓的半徑為r，則圓上任意一點(diǎn)的Y坐標(biāo)函

8、數(shù)為： 因此可以直接對函數(shù)y(x)在-r到r區(qū)間上進(jìn)行定積分得到半圓面積。,13, x, y, r =symbols(x,y,r) f=2 * integrate(sqrt(r*r-x*2), (x, -r, r) print f 2*Integral(sqrt(r*2 - x*2), (x, -r, r),從例子開始,首先需要定義運(yùn)算中所需的符號，這里用symbols()一次創(chuàng)建多個(gè)符號。Integrate()沒有計(jì)算出積分結(jié)果，而是直接返冋了輸入的算式。這是因?yàn)镾ymPy不知道r是大于0的，重新 定義r，就可以得到正確答案了： 接下來對此面積公式進(jìn)行定積分，就可以得到球體的體積，但是隨著X

9、軸坐標(biāo)的變化，對應(yīng)切面的半徑也會發(fā)生變化。,14, r = symbols( r, positive=True) circle_area = 2 * integrate(sqrt(r*2-x*2), (x, -r, r) print circle_area pi*r*2,從例子開始,假設(shè)X軸的坐標(biāo)為x,球體的半徑為r,那么x處球的切面半徑可以使用前面的公式y(tǒng)(x)計(jì)算出。因此需要對圓的面積公式circle_area中的變量r進(jìn)行替代： 然后對circle_area中的變量x在區(qū)間-r到r上進(jìn)行定積分，就可以得到球體的體積公式:,15, circle_area = circle_area.sub

10、s(r, sqrt(r*2-x*2) print circle_area pi*(r*2 - x*2),print integrate(circle_area, (x, -r, r) 4*pi*r*3/3,從例子開始,16,用subs進(jìn)行算式替換: subs()可以將算式中的符號進(jìn)行替換，它有3種調(diào)用方式： expression.subs(x, y):將算式中的 x 替換成 y. expression.subs(x:y,u:v):使用字典進(jìn)行多次替換. expression.subs(x,y),(u,v)：使用列表進(jìn)行多次替換. 請注意多次替換是順序執(zhí)行的，因此： expression.sub

11、s(x,y),(y,x) 并不能對符號x和y進(jìn)行交換。,數(shù)學(xué)表達(dá)式,符號 創(chuàng)建一個(gè)符號使用symbols()，此函數(shù)會返回一個(gè)Symbol對象，用于表示符號變量，其有name屬性，這是符號名，如： 其中左邊的x是一個(gè)符號對象，而右邊括號中用引號包著的x是符號對象的name屬性，兩個(gè)x不要求一樣，但是為了易于理解，通常將符號對象和name屬性顯示成一樣，另外name屬性是引號包起來的。如要同時(shí)配置多個(gè)符號對象，symbols()中多個(gè)name屬性可以以,17,x0=symbols(x0),數(shù)學(xué)表達(dá)式,空格或者逗號分隔，然后用引號包住，如下： 一次配置三個(gè)符號，由于符號對象名和name屬性名經(jīng)常一

12、致，所以可以使用var（）函數(shù)，如： 這語句和上個(gè)語句功能一致，在當(dāng)前環(huán)境中創(chuàng)建了4個(gè)同名的Symbol對象（為了防止誤會，使用symbols其實(shí)更好）。,18, var(x0,y0,x1,y1) (x0, y0, x1, y1), x0,y0,x1,y1=symbols(x0,y0,x1,y1),數(shù)學(xué)表達(dá)式,上面的語句創(chuàng)建了名為x0、y0、x1、y1的4個(gè)Symbol對象，同時(shí)還在當(dāng)前的環(huán)境中創(chuàng)建 了 4個(gè)同名的變量來分別表示這4個(gè)Symbol對象。因?yàn)榉枌ο笤谵D(zhuǎn)換為字符串時(shí)直接使用它的name 屬性，因此在交互式環(huán)境中看到變量,x0的值就是x0，但是査看變量x0的類型時(shí)就可以發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際

13、上是一個(gè)Symbol對象。,19, x0 x0 type(x0) sympy.core.symbol.Symbol x0 type() str,數(shù)學(xué)表達(dá)式,變量名和符號名當(dāng)然也可以是不一樣的，例如： 數(shù)學(xué)公式中的符號一般都有特定的假設(shè)，例如m、n通常是整數(shù)，而z經(jīng)常表示復(fù)數(shù)。在用var()、symbols()或Symbol()創(chuàng)建Symbol對象時(shí)，可以通過關(guān)鍵字參數(shù)指定所創(chuàng)建符號的假 設(shè)條件，這些假設(shè)條件會影響到它們所參與的計(jì)算。,20, a, b = symbols (alpha, beta) a, b (alpha, beta),數(shù)學(xué)表達(dá)式,例如，下面創(chuàng)建了

14、兩個(gè)整數(shù)符號m和n, 以及一個(gè)正數(shù)符號x: 每個(gè)符號都有許多is_*屬性，用以判斷符號的各種假設(shè)條件。在IPython中，使用自動完 成功能可以快速査看這些假設(shè)的名稱。注意下劃線后為大寫字母的屬性，用來判斷對象的類型; 而全小寫字母的屬性，則用來判斷符號的假設(shè)條件。,21, m, n = symbols(m,n, integer=True) x = Symbol(x, positive=True),數(shù)學(xué)表達(dá)式,22, x.is_ #按了tab鍵自動完成 x.is_Symbol # x 是一個(gè)符號 True x.is_positive # x 是一個(gè)正數(shù) True x.is_imaginary

15、#因?yàn)閤可以比較大小，所以它不是虛數(shù) False x.is_complex # x是一個(gè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)，而實(shí)數(shù)包括正數(shù) True,數(shù)學(xué)表達(dá)式,23,使用assumptions0 屬性可以快速査看所有的假設(shè)條件，其中commutative為True表示此符號滿足交換律，其余的假設(shè)條件根據(jù)英文名很容易知道它們的含義。 在SymPy中，所有的對象都從Basic類繼承，實(shí)際上這些is_*屬性和assumptions0屬性都是在Basic類中定義的：, x.assumptions0, Symbol.mro(),數(shù)學(xué)表達(dá)式,數(shù)值 為了實(shí)現(xiàn)符號運(yùn)算，在SymPy內(nèi)部有一整套數(shù)值運(yùn)算系統(tǒng)。因此SymP

16、y的數(shù)值和Python 的整數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)是完全不同的對象。為了使用方便，SymPy會盡量自動將Python的數(shù)值類型轉(zhuǎn)換為SymPy的數(shù)值類型。此外，SymPy提供了一個(gè)S對象用于進(jìn)行這種轉(zhuǎn)換。在下面的例子中，當(dāng)有SymPy的數(shù)值參與計(jì)算時(shí)，結(jié)果將是SymPy的數(shù)值對象。,24,數(shù)學(xué)表達(dá)式,“5/6”在SymPy中使用Rational對象表示，它由兩個(gè)整數(shù)的商表示，數(shù)學(xué)上稱之為有理數(shù)。也可以直接通過Rational創(chuàng)建：,25, 1/2 + 1/3 #結(jié)果為浮點(diǎn)數(shù) 0.8333333333333333 S(1)/2 + 1/S(3) #結(jié)果為SymPy的數(shù)值對象 5/6, Rational(5,

17、 10) #有理數(shù)會自動進(jìn)行約分處理 1/2,數(shù)學(xué)表達(dá)式,26,運(yùn)算符和函數(shù) SymPy重新定義了所有的數(shù)學(xué)運(yùn)算符和數(shù)學(xué)函數(shù)。例如Add類表示加法，Mul類表示乘法，而Pow類表示指數(shù)運(yùn)算，sin類表示正弦函數(shù)。和Symbol對象一樣，這些運(yùn)算符和函數(shù)都從Basic類繼承，可在IPython中查看它們的繼承列表(例如:Add.mro()?？梢允褂眠@些類創(chuàng)建復(fù)雜的表達(dá)式：, var(x,y,z,n) Add(x,y,z) x + y + z Add(Mul(x,y,z), Pow(x,y), sin(z) x*y*z + x*y + sin(z),數(shù)學(xué)表達(dá)式,由于在Basic類中重新定義了_ad

18、d_()等用于創(chuàng)建表達(dá)式的方法，因此可以使用和Python表達(dá)式相同的方式創(chuàng)建SymPy的表達(dá)式： 在Basic類中定義了兩個(gè)很重要的屬性：func和args。func屬性得到對象的類，而args得到其參數(shù)。使用這兩個(gè)屬性可以觀察SymPy所創(chuàng)建的表達(dá)式。 SymPy沒有減法運(yùn)算類，下面看看減法運(yùn)算所得到的表達(dá)式：,27, x*y*z + sin(z) + x*y x*y*z + x*y + sin(z),數(shù)學(xué)表達(dá)式,通過上面的例子可以看出，表達(dá)式“x-y”在SymPy中實(shí)際上是用“Add(x, Mul(-1, y)”表示的。同樣，SymPy中沒有除法類，可使用和上面相同的方法觀察“x/y”在

19、SymPy中是如何表示的。,28, t = x - y t.func # 減法運(yùn)算用加法類Add表示 sympy.core.add.Add t.args # 兩個(gè)加數(shù)一個(gè)是x，一個(gè)是-y (x, -y) t.args1.func # -y是用Mul表示的 sympy.core.mul.Mul t.args1.args (-1, y),數(shù)學(xué)表達(dá)式,SymPy的表達(dá)式實(shí)際上是一個(gè)由Basic類的各種對象進(jìn)行多層嵌套所得到的樹狀結(jié)構(gòu)。下面的函數(shù)使用遞歸顯示這種樹狀結(jié)構(gòu)： 由于fsolve函數(shù)在調(diào)用函數(shù)f時(shí)，傳遞的參數(shù)為數(shù)組，因此如果直接使用數(shù)組中的元素計(jì)算的話，計(jì)算速度將會有所降低，因此這里先用fl

20、oat函數(shù)將數(shù)組中的元素轉(zhuǎn)換為Python中的標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)，然后調(diào)用標(biāo)準(zhǔn)math庫中的函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。,29,def print_expression(e, level=0): spaces = *level if isinstance(e, (Symbol, Number): print spaces + str(e) return if len(e.args) 0: print spaces + e.func._name_ for arg in e.args: print_expression(arg, level+1) else: print spaces + e.func._name_,數(shù)

21、學(xué)表達(dá)式,例如 在SymPy中使用下面的樹表示： 由于其中的各個(gè)對象的args屬性類型是元組，因此表達(dá)式一旦創(chuàng)建就不能再改變。使用不可變的結(jié)構(gòu)表示表達(dá)式有很多優(yōu)點(diǎn)，例如可以用表達(dá)式作為字典的鍵。,30,print_expression(sqrt(x*2+y*2) Pow Add Pow x 2 Pow y 2 1/2,數(shù)學(xué)表達(dá)式,除了使用SymPy中預(yù)先定義好的具有特殊運(yùn)算含義的數(shù)學(xué)函數(shù)之外，還可以使用Function()創(chuàng)建自定義的數(shù)學(xué)函數(shù)： 請注意Function雖然是一個(gè)類，但是上面的語句所得到的f并不是Function類的實(shí)例。和預(yù)定義的數(shù)學(xué)函數(shù)一樣，f是一個(gè)類，它從Function類

22、繼承：,31, f = Function(f), f._base_ sympy.core.function.AppliedUndef isinstance(f, Function) False,數(shù)學(xué)表達(dá)式,當(dāng)我使用f創(chuàng)建一個(gè)表達(dá)式時(shí)，就相當(dāng)于創(chuàng)建它的一個(gè)實(shí)例： f的實(shí)例t可以參與表達(dá)式運(yùn)算：,32, t = f(x,y) isinstance(t, Function) True type(t) f t.func # （其中func和args是Basic類的兩個(gè)非常重要的屬性，分別表示對象的類和對象的參數(shù)） f t.args (x, y), t+t*t f(x, y)*2 + f(x, y),符

23、號運(yùn)算,表達(dá)式變換和化簡 simplify()可以對數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行化簡，例如: simplify()調(diào)用SymPy內(nèi)部的多種表達(dá)式變換函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行化簡運(yùn)算。但是數(shù)學(xué)表達(dá)式的化簡是一件非常復(fù)雜的工作，并且對于同一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)其使用目的可以有多種化簡方案。,33, simplify(x+2)*2 - (x+1)*2) 2*x + 3,符號運(yùn)算,34,radsimp()對表達(dá)式的分母進(jìn)行有理化，它所得到的表達(dá)式的分母部分將不含無理數(shù)。例如： 它也可以對帶符號的表達(dá)式進(jìn)行處理:, radsimp(1/(sqrt(5)+2*sqrt(2) (-sqrt(5) + 2*sqrt(2)/3,radsi

24、mp(1/(y*sqrt(x)+x*sqrt(y) (-sqrt(x)*y + x*sqrt(y)/(x*y*(x - y),符號運(yùn)算,ratsimp()對表達(dá)式中的分母進(jìn)行通分運(yùn)算，即將表達(dá)式轉(zhuǎn)換為分子除分母的形式： fraction()返回一個(gè)包含表達(dá)式的分子和分母的元組,用它可以獲得ratsimp()通分之后的分 子或分母： 注意fraction()不會自動對表達(dá)式進(jìn)行通分運(yùn)算，因此：,35, ratsimp(x/(x+y)+y/(x-y) 2*y*2/(x*2 - y*2) + 1, fraction(ratsimp(1/x+1/y) (x + y, x*y), fraction(1/

25、x+1/y) (1/y + 1/x, 1),符號運(yùn)算,cancel()對分式表達(dá)式的分子分母進(jìn)行約分運(yùn)算，可以對純符號的分式表達(dá)式以及自定義函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行約分，但是不能對內(nèi)部函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行約分。,36,cancel(x*2-1)/(1+x) x-1 cancel(sin(x*2-1)/(1+x) # cancel不能對函數(shù)內(nèi)部的表達(dá)式進(jìn)行約分 sin(x*2/(x + 1) - 1/(x + 1) cancel(f(x)*2-1)/(f(x)+1) # #能對自定義函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行約分 f(x) - 1,符號運(yùn)算,trigsimp()對表達(dá)式中的三角函數(shù)進(jìn)行化簡。它有兩個(gè)可選參數(shù)-deep和r

26、ecursive，默認(rèn) 值都為False。當(dāng)deep參數(shù)為True時(shí)，將對表達(dá)式中的所有子表達(dá)式進(jìn)行簡化運(yùn)算；當(dāng)recursive 參數(shù)為True時(shí)，將遞歸使用trigsimp()進(jìn)行最大限度的化簡：,37, trigsimp(sin(x)*2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)*2) sin(2*x) + 1 trigsimp(f(sin(x)*2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)*2) #也能對自定義函數(shù)中的三角函數(shù)化簡，至今不知道deep和recursive是干嘛的 f(sin(2*x) + 1),符號運(yùn)算,38,expand_trig()可以對三角函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行

27、展開。它實(shí)際上是對expand()的封裝，通過將 expand()的trig參數(shù)設(shè)置為True,實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)的展開計(jì)算。輸入“expand_trig?” 來査看它調(diào)用expand()時(shí)的參數(shù)。 expand()通用的展開運(yùn)算，根據(jù)用戶設(shè)置的標(biāo)志參數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行展幵。默認(rèn)情況下，以下的標(biāo)志參數(shù)為 True。 mul：展開乘法, expand_trig(sin(2*x+y) (2*cos(x)*2 - 1)*sin(y) + 2*sin(x)*cos(x)*cos(y),符號運(yùn)算,log:展開對數(shù)函數(shù)參數(shù)中的乘積和冪運(yùn)算 multinomial:展開加法式的整數(shù)次冪 power_base:展開冪函

28、數(shù)的底數(shù)乘積,39, x,y=symbols(x,y,positive=True) expand(log(x*y*2) log(x) + 2*log(y), expand(x+y)*3) x*3 + 3*x*2*y + 3*x*y*2 + y*3,expand(x*(y+z) x*y*x*z,符號運(yùn)算,可以將默認(rèn)為True的標(biāo)志參數(shù)設(shè)置為False,強(qiáng)制不展開對應(yīng)的表達(dá)式。在下面的例子中， 將mul設(shè)置為False,因此不對乘法進(jìn)行展開： expand()的以下標(biāo)志參數(shù)默認(rèn)為False。 complex:展開復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，默認(rèn)不展開復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部:,40, x,y,z=symbols(x

29、,y,z, positive=True) expand(x*log(y*z), mul=False) x*(log(y) + log(z), x,y=symbols(x,y,complex=True) expand(x*y, complex=True) re(x)*re(y) + I*re(x)*im(y) + I*re(y)*im(x) - im(x)*im(y),符號運(yùn)算,func:對一些特殊函數(shù)進(jìn)行展開 trig:展開三角函數(shù) expand_log()、expand mul()、expand_complex()、expand_trig()、expand_func()等函數(shù)則通過將相應(yīng)的標(biāo)

30、志參數(shù)設(shè)置為True,對expand()進(jìn)行封裝。,41, expand (gamma (1+x),func=True) x*gamma(x), expand(sin(x+y), trig=True) sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x),符號運(yùn)算,42,factor()可以對多項(xiàng)式表達(dá)式進(jìn)行因式分解： collect()收集表達(dá)式中指定符號的有理指數(shù)次冪的系數(shù)。例如，希望獲得如下表達(dá)式中x的各次冪的系數(shù)：, factor(15*x*2+2*y-3*x-10*x*y) (3*x - 2*y)*(5*x - 1) factor(expand(x+y)*20) (x + y)

31、*20, a,b=symbols(a,b) eq = (1+a*x)*3 + (1+b*x)*2,符號運(yùn)算,首先需要對表達(dá)式eq進(jìn)行展開，得到的表達(dá)式eq2是一系列乘式的和: 然后調(diào)用collect(),對表達(dá)式eq2中x的冪的系數(shù)進(jìn)行收集：,43,eq2 = expand (eq) eq2 a*3*x*3 + 3*a*2*x*2 + 3*a*x + b*2*x*2 + 2*b*x + 2, collect(eq2,x) a*3*x*3 + x*2*(3*a*2 + b*2) + x*(3*a + 2*b) + 2,符號運(yùn)算,默認(rèn)情況下，collect()返回的是一個(gè)整理之后的表達(dá)式，如果我們

32、希望得到x的各次冪的系數(shù)，可以設(shè)置evaluate參數(shù)為False,讓它返回一個(gè)以x的冪為鍵、值為系數(shù)的字典：,44, p = collect(eq2, x, evaluate=False) pS(1) #常數(shù)項(xiàng)，注意需要用SymPy中的數(shù)值1,或者使用px*0 2 px*2 # x的2次項(xiàng)系數(shù) b*2 + 3*a*2,符號運(yùn)算,45,collect()也可以收集表達(dá)式的各次冪的系數(shù)，例如下面的程序收集表達(dá)式“sin(2*x)”的系數(shù):, collect(a*sin(2*x) + b*sin(2*x), sin(2*x) (a + b)*sin(2*x),符號運(yùn)算,46,方程 在SymPy中，

33、表達(dá)式可以直接表示值為0的方程。也可以使用Eq()創(chuàng)建方程。solve()可以對方程進(jìn)行符號求解，它的第一個(gè)參數(shù)是表示方程的表達(dá)式，其后的參數(shù)是表示方程中未知變量的符號。下面的例子使用solve()對一元二次方程進(jìn)行求解:, a,b,c = symbols(a,b,c) solve(a*x*2+b*x+c, x) (-b + sqrt(-4*a*c + b*2)/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b*2)/(2*a),符號運(yùn)算,使用Eq創(chuàng)建一個(gè)方程對象并求解：,47, my_eq=Eq(a*x*2+b*x+c,0) solve(my_eq,x) (-b + sqrt(-4*

34、a*c + b*2)/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b*2)/(2*a),符號運(yùn)算,由于方程的解可能有多組，因此solve()返回一個(gè)列表保存所有的解?？梢詡鬟f包含多個(gè)表達(dá)式的元組或列表，讓solve()對方程組進(jìn)行求解，得到的解是兩層嵌套的列表，其中每個(gè)元組表示方程組的一組解：,48,#對方程組求解（用元組將幾個(gè)方程組成一個(gè)組） solve (x*2+x*y+1, y * 2+x*y+2 ), x, y ) (-sqrt(3)*I/3, -2*sqrt(3)*I/3), (sqrt(3)*I/3, 2*sqrt(3)*I/3) #有兩組解,符號運(yùn)算,微分 Deriva

35、tive是表示導(dǎo)函數(shù)的類，它的第一個(gè)參數(shù)是需要進(jìn)行求導(dǎo)的數(shù)學(xué)函數(shù)，第二個(gè)參數(shù) 是求導(dǎo)的自變量.注意Derivative所得到的是一個(gè)導(dǎo)函數(shù)，它并不會進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算： 如果希望它進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)算，計(jì)算出導(dǎo)函數(shù)，可以調(diào)用其doit()方法：,49, t = Derivative(sin(x),x) #創(chuàng)建了一個(gè)導(dǎo)函數(shù)對象 t Derivative(sin(x), x), t.doit() cos(x),符號運(yùn)算,50,也可以直接使用diff()函數(shù)或表達(dá)式的diff()方法來計(jì)算導(dǎo)函數(shù)： 使用Derivative對象可以表示自定義的數(shù)學(xué)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，例如：, diff(sin(2*x), x) 2*c

36、os(2*x) sin(2*x).diff(x) 2*cos(2*x) diff(sin(2*x), x, 2) -4*sin(2*x) diff(sin(2*x), x, 3) -8*cos(2*x), Derivative(f(x), x) Derivative(f(x), x),符號運(yùn)算,由于SymPy不知道如何對自定義的數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，因此它的diff()方法會返回和上面相同的結(jié)果： 添加更多的符號參數(shù)可以表示高階導(dǎo)函數(shù)，例如：,51, f(x).diff(x) #方法中的x表示對x符號進(jìn)行求導(dǎo) Derivative(f(x), x), Derivative(f(x), x, 3)

37、#表示f(x)對x求三階導(dǎo)數(shù)（或者偏導(dǎo)） Derivative(f(x),x,x,x) #也可以寫作,符號運(yùn)算,也可以表示多個(gè)變量的導(dǎo)函數(shù)，例如： diff()求解的格式和Derivative聲明的格式類似，例如下面的語句計(jì)算sin(xy)對x兩次求導(dǎo)、對y三次求導(dǎo)的結(jié)果:,52, Derivative(f(x,y), x,2,y,3) #對x求二階導(dǎo)且對y求三階導(dǎo)數(shù)（5階數(shù)） Derivative(f(x, y), x, x, y, y, y), diff(sin(x*y), x,2,y,3) x*(x*2*y*2*cos(x*y) + 6*x*y*sin(x*y) - 6*cos(x*y)

38、,符號運(yùn)算,微分方程 dsolve()可以對微分方程進(jìn)行符號求解。它的第一個(gè)參數(shù)是一個(gè)帶未知函數(shù)的表達(dá)式，第 二個(gè)參數(shù)是需要進(jìn)行求解的未知函數(shù)。例如下面的程序?qū)ξ⒎址匠?進(jìn)行求解。 得到的結(jié)果是一個(gè)自然指數(shù)函數(shù)，它有一個(gè)待定系數(shù)c1。,53,f=Function(f) dsolve(Derivative(f(x),x) - f(x), f(x) f(x) = C1*exp(x),符號運(yùn)算,用dsolve()解微分方程時(shí)可以傳遞一個(gè)hint參數(shù)，指定微分方程的解法。該參數(shù)的默認(rèn)值為“default”,表示由SymPy自動挑選解法?？梢詫int參數(shù)設(shè)置為“best”，讓dsolve()嘗試所有己

39、知解法，并返回最簡單的解，例如下面對微分方程 : 進(jìn)行求解。得到的結(jié)果是一個(gè)一般方程，它描述了f(x)和自變量之間的關(guān)系。一般把這種函數(shù)稱為隱函數(shù)：,54,符號運(yùn)算,55,如果設(shè)置hint參數(shù)為“best”,就能得到更簡單的顯函數(shù)表達(dá)式：, x = symbols(x, real=True) # 定義符號x 為實(shí)數(shù) eq1 = dsolve(f(x).diff(x) + f(x)*2 + f(x), f(x) eq1 f(x) = -C1/(C1 - exp(x), eq2 = dsolve(f(x).diff(x) + f(x)*2 + f(x), f(x), hint=best) eq2

40、f(x) = -C1/(C1 - exp(x),符號運(yùn)算,積分 integrate()可以計(jì)算定積分和不定積分： integrate(f,x):計(jì)算不定積分 integrate(f,(x,a,b):計(jì)算定積分 如果要對多個(gè)變量計(jì)算多重積分，只需要將被積分的變量依次列出即可： Integrate(f,x,y):計(jì)算雙重不定積分 Integrate(f,(x,a,b),(y,c,d):計(jì)算雙重定積分,56,符號運(yùn)算,和Derivative對象表示微分表達(dá)式類似,Integral對象表示積分表達(dá)式，它的參數(shù)和integrate() 類似，例如： 調(diào)用積分對象的doit()方法可以對其進(jìn)行求值計(jì)算:,

41、57, e = Integral(x*sin(x), x) e Integral(x*sin(x), x), e.doit() -x*cos(x) + sin(x),符號運(yùn)算,有些積分表達(dá)式無法進(jìn)行符號化簡，這時(shí)可以調(diào)用其evalf()方法或用求值函數(shù)N()對其進(jìn) 行數(shù)值運(yùn)算： 由于無法進(jìn)行符號定積分，可用evalf()和N()對其 進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算：,58, e2 = Integral(sin(x)/x, (x, 0, 1) e2.doit() Si(1) #Si, e2.evalf() 0.946083070367183 N(e2) 0.946083070367183 N(e2, 100) #

42、可以指定精度 0.946083070367183014941353313823,符號運(yùn)算,SymPy的數(shù)值計(jì)算功能還不夠強(qiáng)大，不能對應(yīng)如下這種情況的無限積分: 將積分上限修改為10000也沒能計(jì)算出近似結(jié)果，上限為1000時(shí)得到了 /2的近似值， 不過還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠精確：,59, N(Integral(sin(x)/x, (x, 0, oo) # oo表示正無窮 -0.e+0, N(Integral(sin(x)/x, (x, 0, 10000) 0.e+0 N(Integral(sin(x)/x, (x, 0, 1000) 1.57023312196877,符號運(yùn)算,as_sum()方法可以將定

43、積分轉(zhuǎn)換為近似求和公式，它將積分區(qū)域分割成n個(gè)小矩形的面積之和:,60, e=Integral(sin(x)/x,(x,0,1) e.as_sum(5) 2*sin(9/10)/9 + 2*sin(7/10)/7 + 2*sin(1/2)/5 + 2*sin(3/10)/3 + 2*sin(1/10) N(e.as_sum(5) 0.946585362780408,其他功能,用SymPy做計(jì)算器 SymPy有三種內(nèi)建的數(shù)值類型：浮點(diǎn)數(shù)、有理數(shù)和整數(shù)。 有理數(shù)類用一對整數(shù)表示一個(gè)有理數(shù)：分子和分母，所以Rational(1,2)代表1/2, Rational(5,2) 代表5/2等等。 有些特殊

44、的常數(shù)，像e和pi，它們被視為符號(1+pi將不被數(shù)值求解，它將保持為1+pi)，并且可以有任意精度：,61, pi*2 pi*2,其他功能,evalf將表達(dá)式求解為浮點(diǎn)數(shù)。 這還有一個(gè)類表示數(shù)學(xué)上的無限，叫作oo：,62, pi.evalf() 3.14159265358979 (pi+exp(1).evalf(50) 5.8598744820488384738229308546321653819544164930751, oo 99999 True oo + 10000 oo,其他功能,極限 極限在sympy中使用很簡單，它們的語法是limit(function, variable, po

45、int)，所以計(jì)算當(dāng)x趨近于0時(shí)f(x)的極限，可以給出limit(f, x, 0)： 也可以計(jì)算在無窮的極限：,63, from sympy import * x=Symbol(x) limit(sin(x)/x, x, 0) 1,limit(sin(x)/x, x, oo) 0,其他功能,級數(shù)展開 使用.series(var, point, order):,64, (1/cos(x).series(x, 0, 10) 1 + x*2/2 + 5*x*4/24 + 61*x*6/720 + 277*x*8/8064 + O(x*10) e = 1/(x + y) s = e.series(x

46、, 0, 5) print(s) 1/y - x/y*2 + x*2/y*3 - x*3/y*4 + x*4/y*5 + O(x*5) pprint(s) 2 3 4 1 x x x x 5 - + - + + Ox y 2 3 4 5 y y y y,其他功能,求和 計(jì)算給定求和變量界限的f的總和(Summation) summation(f, (i, a, b)變量i從a到b計(jì)算f的和.如果不能計(jì)算總和，它將打印相應(yīng)的求和公式。求值可引入額外的極限計(jì)算：,65,from sympy import summation, oo, symbols, log i, n, m = symbols(i n m, integer=True) summation(2*i - 1, (i, 1, n) n*2 summation(1/2*i, (i, 0, oo) 2,其他功能,66, summation(1/log(n)*n, (n, 2, oo) Sum(log(n)*(-n), (n, 2, oo) summation(i, (i, 0, n), (n, 0, m) m*3/6 + m*2/2 + m/3 summation(i, (i, 0, n) n*2/2