D8_1多元函數基本概念.ppt

1、推廣,第八章,一元函數微分學,多元函數微分學,注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數微分法,及其應用,2020/8/3,阜師院數科院,第八章,第一節(jié),一、區(qū)域,二、多元函數的概念,三、多元函數的極限,四、多元函數的連續(xù)性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,多元函數的基本概念,2020/8/3,阜師院數科院,一、 區(qū)域,1. 鄰域,點集,稱為點 P0 的鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強調鄰域半徑 ,也可寫成,點 P0 的去心鄰域記為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為,。

2、,因為方鄰域與圓,鄰域可以互相包含.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,2. 區(qū)域,(1) 內點、外點、邊界點,設有點集 E 及一點 P :, 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內點也含 E,則稱 P 為 E 的內點；,則稱 P 為 E 的外點 ;,則稱 P 為 E 的邊界點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,的外點 ,顯然, E 的內點必屬于 E ,E 的外點必不屬于 E ,E 的,邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,2020/8/3,阜師院數科

3、院,(2) 聚點,若對任意給定的 ,點P 的去心,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,鄰域,內總有E 中的點 ,則,稱 P 是 E 的聚點.,聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E,(因為聚點可以為,所有聚點所成的點集成為 E 的導集 .,E 的邊界點 ),2020/8/3,阜師院數科院,(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點集 E 的點都是內點，則稱 E 為開集；, 若點集 E E , 則稱 E 為閉集；, 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,

4、。 。, E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,2020/8/3,阜師院數科院,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院, 整個平面, 點集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域；,但非區(qū)域 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束, 對區(qū)域 D , 若存在正數 K , 使一切點 PD 與某定點,A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無,2020/8/3,阜師院數科院,3. n 維空間,n 元有序數組,的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個元素,稱為空間中的,稱為該點的第 k 個坐標 .,記

5、作,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一個點,當所有坐標,稱該元素為,中的零元,記作,O .,2020/8/3,阜師院數科院,的距離記作,中點 a 的 鄰域為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,規(guī)定為,與零元 O 的距離為,2020/8/3,阜師院數科院,二、多元函數的概念,引例:, 圓柱體的體積, 定量理想氣體的壓強, 三角形面積的海倫公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,定義1. 設非空點集,點集 D 稱為函數的定義域 ;,數集,稱為函數的值域 .,特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數,當 n = 3 時, 有三元函數,映射,稱為定義,在

6、 D 上的 n 元函數 , 記作,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,例如, 二元函數,定義域為,圓域,說明:,二元函數 z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點的上半球面.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,的圖形一般為空間曲面 .,三元函數,定義域為,圖形為,空間中的超曲面.,單位閉球,2020/8/3,阜師院數科院,三、多元函數的極限,定義2. 設 n 元函數,點 ,則稱 A 為函數,(也稱為 n 重極限),當 n =2 時, 記,二元函數的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數 A ,對一,記作,都有,機動 目錄 上頁 下頁

7、 返回 結束,對任意正數 , 總存在正數 ,切,2020/8/3,阜師院數科院,例1. 設,求證：,證:,故,總有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,要證,2020/8/3,阜師院數科院,例2. 設,求證：,證：,故,總有,要證,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院, 若當點,趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設 P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,在點 (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數,函數,機動 目錄 上頁

8、下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,例4. 求,解: 因,而,此函數定義域 不包括 x , y 軸,則,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,僅知其中一個存在,推不出其它二者存在., 二重極限,不同.,如果它們都存在, 則三者相等.,例如,顯然,與累次極限,但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在 .,例3 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,四、 多元函數的連續(xù)性,定義3 . 設 n 元函數,定義在 D 上,如果函數在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數在 D 上,如果存在,否則稱為不連續(xù),此時,稱為間斷點 .,則稱

9、n 元函數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,連續(xù).,連續(xù),2020/8/3,阜師院數科院,例如, 函數,在點(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數,上間斷.,故 ( 0, 0 )為其間斷點.,在圓周,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,結論: 一切多元初等函數在定義區(qū)域內連續(xù).,2020/8/3,阜師院數科院,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致連續(xù)性定理),閉域上多元連續(xù)函數有

10、與一元函數類似的如下性質:,(證明略),2020/8/3,阜師院數科院,解: 原式,例5.求,例6. 求函數,的連續(xù)域.,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,內容小結,1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,2. 多元函數概念,n 元函數,常用,二元函數,(圖形一般為空間曲面),三元函數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,有,3. 多元函數的極限,4. 多元函數的連續(xù)性,1) 函數,2) 閉域上的多元連續(xù)函數的性質:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數在定義區(qū)域內連續(xù),P11 題 2; 4; 5

11、(3), (5) ( 畫圖 ) ; 8 P72 題 3; 4,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,2020/8/3,阜師院數科院,解答提示:,P11 題 2.,稱為二次齊次函數 .,P11 題 4.,P11 題 5(3).,定義域,P11 題 5(5).,定義域,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,P12 題 8.,間斷點集,P72 題 3.,定義域,P72 題 4.,令 y= k x ，,若令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束, 則,可見極限 不存在,2020/8/3,阜師院數科院,作業(yè) P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師院數科院,備用題,1. 設,求,解法1 令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/8/3,阜師