D8_1多元函數(shù)基本概念.ppt

1、推廣,第八章,一元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)微分學(xué),注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數(shù)微分法,及其應(yīng)用,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,第八章,第一節(jié),一、區(qū)域,二、多元函數(shù)的概念,三、多元函數(shù)的極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,多元函數(shù)的基本概念,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,一、 區(qū)域,1. 鄰域,點(diǎn)集,稱為點(diǎn) P0 的鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成,點(diǎn) P0 的去心鄰域記為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。

2、,因?yàn)榉洁徲蚺c圓,鄰域可以互相包含.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2. 區(qū)域,(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn),設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P :, 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E,則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；,則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;,則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E ,E 的外點(diǎn)必不屬于 E ,E 的,邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,2020/8/3,阜師院數(shù)科

3、院,(2) 聚點(diǎn),若對任意給定的 ,點(diǎn)P 的去心,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,鄰域,內(nèi)總有E 中的點(diǎn) ,則,稱 P 是 E 的聚點(diǎn).,聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E,(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為,所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集 .,E 的邊界點(diǎn) ),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集；, 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集；, 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,

4、。 。, E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院, 整個平面, 點(diǎn)集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域；,但非區(qū)域 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn),A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,3. n 維空間,n 元有序數(shù)組,的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個元素,稱為空間中的,稱為該點(diǎn)的第 k 個坐標(biāo) .,記

5、作,即,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一個點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo),稱該元素為,中的零元,記作,O .,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,的距離記作,中點(diǎn) a 的 鄰域?yàn)?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,規(guī)定為,與零元 O 的距離為,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,二、多元函數(shù)的概念,引例:, 圓柱體的體積, 定量理想氣體的壓強(qiáng), 三角形面積的海倫公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 .,特別地 , 當(dāng) n = 2 時, 有二元函數(shù),當(dāng) n = 3 時, 有三元函數(shù),映射,稱為定義,在

6、 D 上的 n 元函數(shù) , 記作,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例如, 二元函數(shù),定義域?yàn)?圓域,說明:,二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的圖形一般為空間曲面 .,三元函數(shù),定義域?yàn)?圖形為,空間中的超曲面.,單位閉球,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,三、多元函數(shù)的極限,定義2. 設(shè) n 元函數(shù),點(diǎn) ,則稱 A 為函數(shù),(也稱為 n 重極限),當(dāng) n =2 時, 記,二元函數(shù)的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,對一,記作,都有,機(jī)動 目錄 上頁 下頁

7、 返回 結(jié)束,對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例1. 設(shè),求證：,證:,故,總有,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,要證,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例2. 設(shè),求證：,證：,故,總有,要證,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院, 若當(dāng)點(diǎn),趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數(shù)極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數(shù),函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁

8、下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例4. 求,解: 因,而,此函數(shù)定義域 不包括 x , y 軸,則,故,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,僅知其中一個存在,推不出其它二者存在., 二重極限,不同.,如果它們都存在, 則三者相等.,例如,顯然,與累次極限,但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .,例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,四、 多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3 . 設(shè) n 元函數(shù),定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,如果存在,否則稱為不連續(xù),此時,稱為間斷點(diǎn) .,則稱

9、n 元函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,連續(xù).,連續(xù),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例如, 函數(shù),在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數(shù),上間斷.,故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).,在圓周,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致連續(xù)性定理),閉域上多元連續(xù)函數(shù)有

10、與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):,(證明略),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,解: 原式,例5.求,例6. 求函數(shù),的連續(xù)域.,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,內(nèi)容小結(jié),1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,2. 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,有,3. 多元函數(shù)的極限,4. 多元函數(shù)的連續(xù)性,1) 函數(shù),2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù),P11 題 2; 4; 5

11、(3), (5) ( 畫圖 ) ; 8 P72 題 3; 4,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,解答提示:,P11 題 2.,稱為二次齊次函數(shù) .,P11 題 4.,P11 題 5(3).,定義域,P11 題 5(5).,定義域,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,P12 題 8.,間斷點(diǎn)集,P72 題 3.,定義域,P72 題 4.,令 y= k x ，,若令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 則,可見極限 不存在,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,作業(yè) P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,備用題,1. 設(shè),求,解法1 令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師