《直線與平面垂直的判定》.ppt

1、2.3.1直線與平面垂直的判定,直線和平面垂直的判定(1),復(fù)習(xí)引入：,1.直線和平面的位置關(guān)系是什么?,（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點(diǎn)）； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點(diǎn)）； （3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）,2.線面平行的判定定理的內(nèi)容是什么?,如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.,3.線面平行的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么?,如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.,引入新課,在直線和平面相交的位置關(guān)系中,有一種相交是很特殊的,我們把它叫做垂直相交,這節(jié)課我們重點(diǎn)來探究這種形式的相交,直線與平

2、面垂直,觀察實(shí)例,發(fā)現(xiàn)新知,旗桿與地面的關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象。,觀察實(shí)例,發(fā)現(xiàn)新知,房屋的屋柱與地面的關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象。,大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象。,觀察實(shí)例,發(fā)現(xiàn)新知,實(shí)例研探,定義新知,探究:什么叫做直線和平面垂直呢?當(dāng)直線與平面垂直時，此直線與平面內(nèi)的所有直線的關(guān)系又怎樣呢?,生活中線面垂直的實(shí)例:,在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時間的變化，盡管影子的位置在移動，但是旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直（如圖），事實(shí)上，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線也是垂直的。,直線與平面垂直的定義：,如果一

3、條直線l 和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l 和平面互相垂直. 記作：l ,l,P,l 叫做的垂線, 叫做l 的垂面, l 與的唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。,畫直線與平面平行時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。,“任何”表示所有（提問：若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線垂直與平面嗎？如不是,直線與平面的位置關(guān)系如何？） 直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，在垂直時，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足. a等價于對任意的直線m，都有am.,三點(diǎn)說明:,利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).,探究,提出問題：有沒有比較方便可行

4、的方法來判斷直線和平面垂直呢？,師生活動：請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖所示的試驗(yàn)：過ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸），問:折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？,A,直線與平面垂直的判定定理：,一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面.,線線垂直 線面垂直,例題示范,鞏固新知,例1、一旗桿高8m，在它的頂點(diǎn)處系兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)（與旗桿腳不在同一條直線上）。如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距6m,那么旗桿就與地面垂直，為什么？,解：如圖

5、，旗桿PO8，兩繩子長PAPB10，OAOB6，A，O，B三點(diǎn)不共線 因此A，O，B三點(diǎn)確定平面， 因?yàn)镻O2AO2PA2，PO2BO2PB2， 所以POOA，POOB 又OAOBO 所以O(shè)P，因此旗桿與地面垂直。,例2、如圖，已知ab，a。 求證：b。,例題示范,鞏固新知,分析：在平面內(nèi)作兩條相交直線，由直線與平面垂直的定義可知，直線a與這兩條相交直線是垂直的，又由b平行a，可證b與這兩條相交直線也垂直，從而可證直線與平面垂直。,a,b,閱讀P66頁的證明過程.,鞏固練習(xí),1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點(diǎn)P，且PA=PB=PC=PD，求證：點(diǎn)P與平行四邊形對角線交點(diǎn)O的連線PO垂直于

6、AB、AD.,課本P66頁探究,課本P67頁練習(xí)1,鞏固練習(xí),P,A,B,C,歸納小結(jié),今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義，這個定義最初用在判定定理的證明上，但用得較多的則是，如果直線l垂直于平面a，那么l就垂直于a內(nèi)的任何一條直線；對于判定定理，判定線、面垂直，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化成線、線垂直，從中不難發(fā)現(xiàn)立體幾何問題解決的一般思路,作業(yè)布置,P67頁練習(xí)第1題,P74頁B組2題,直線和平面垂直的判定(2),復(fù)習(xí)引入,1直線與平面垂直的定義,如果直線l與平面的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l.,2直線與平面垂直的判定定理,一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直

7、線與此平面垂直。,鞏固練習(xí),P,A,B,C,引課,我們知道,當(dāng)直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,是不是也該給它取個名字呢?此時又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢?,直線與平面所成的角,1.平面的斜線,如圖,若一條直線PA和一個平面相交,但不垂直,那么這條直線就叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。,P,A,斜足,斜線,2.直線和平面所成的角,如圖,過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角。,斜線,斜足,射影,垂足,垂線,一條直線垂

8、直于平面,我們說它所成的角是直角；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它所成的角是00的角。,規(guī)定:,想一想:直線與平面所成的角的取值范圍是什么?,例1、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求 （1）直線A1B和平面BCC1B1所成的角。 （2）直線A1B和平面A1B1CD所成的角。,O,例題示范,鞏固新知,分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。,鞏固練習(xí),1.判斷下列說法是否正確,（1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影 一定是平行直線 （ ）,（2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影 一定是相交直線

9、（ ）,（3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影 要么是平行直線，要么是相交直線 （ ）,（4）若斜線段長相等，則它們在平面內(nèi) 的射影長也相等 （ ）,2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,鞏固練習(xí),2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,鞏固練習(xí),2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中

10、，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,鞏固練習(xí),2.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1與面ABCD所成的角 （2） A1C1與面BB1D1D所成的角 （3） A1C1與面BB1C1C所成的角 （4）A1C1與面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,0o,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體

11、ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1與面ABCD所成的角 （2） A1C1與面BB1D1D所成的角 （3） A1C1與面BB1C1C所成的角 （4）A1C1與面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,90o,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1與面ABCD所成的角 （2） A1C1與面BB1D1D所成的角 （3） A1C1與面BB1C1C所成的角 （4）A1C1與面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,45o,鞏固練習(xí),3.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1與面ABCD所成的角 （2） A1C1與面BB1D1D所成

12、的角 （3） A1C1與面BB1C1C所成的角 （4）A1C1與面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,30o,鞏固練習(xí),1下面四個命題，其中真命題的個數(shù)是(,),B,垂直于同一直線的兩條直線平行；垂直于同一直線的 兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；平行于 同一直線的兩條直線平行,B3 個 D1 個,A2 個 C4 個,解析：、正確,線面垂直判定定理的應(yīng)用,例 1：已知：如圖 1，空間四邊形 ABCD 中，ABAC，DB DC，取 BC 中點(diǎn) E，連接 AE、DE，求證：BC平面 AED.,圖 1,證明：ABAC，DBDC，E 為BC 中點(diǎn)， AEBC，DEBC. 又AE 與DE 交

13、于E，BC平面AED.,由判定定理可知要證明直 線垂直平面，只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩 條相交直線垂直即可,證明：PA O 所在平面，,BCO 所在平面，PA BC， AB 為O 直徑， ACBC， 又 PA ACA， BC平面 PAC，,又 AE平面 PAC，BCAE，,AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.,線面垂直判定定理的應(yīng)用 例 3：如圖 6，已知 PA O 所在平面，AB 為O 直徑， C 是圓周上任一點(diǎn)，過 A 作 AEPC 于 E， 求證：AE平面 PBC. 圖 6,12.如圖 3，在四棱錐 PABCD 中，PA 底面 ABCD，AC CD，E 是 PC 上的任一點(diǎn)(除 P 和 C 點(diǎn)外)，證明：CDAE.,圖 3,例2，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn) （1）證明：PA/面EDB （2）求EB與底面ABCD所成角的正切值,P,D,C,A,B,E,(1),