網(wǎng)絡(luò)流算法介紹與分析.ppt

1、網(wǎng)絡(luò)流,杭州學(xué)軍中學(xué) 魏越閩,一些符號(hào)和定義,V表示整個(gè)圖中的所有結(jié)點(diǎn)的集合. E表示整個(gè)圖中所有邊的集合. G = (V,E) ,表示整個(gè)圖. s表示網(wǎng)絡(luò)的源點(diǎn),t表示網(wǎng)絡(luò)的匯點(diǎn). 對(duì)于每條邊(u,v),有一個(gè)容量c(u,v) (c(u,v)=0) 如果c(u,v)=0，則表示(u,v)不存在在網(wǎng)絡(luò)中。 如果原網(wǎng)絡(luò)中不存在邊(u,v)，則令c(u,v)=0 對(duì)于每條邊(u,v),有一個(gè)流量f(u,v).,一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.網(wǎng)絡(luò)可以被想象成一些輸水的管道.括號(hào)內(nèi)右邊的數(shù)字表示管道的容量,左邊的數(shù)字表示這條管道的當(dāng)前流量.,網(wǎng)絡(luò)流的三個(gè)性質(zhì),1、容量限制: fu,v=cu,v 2、反對(duì)稱性：fu,

2、v = - fv,u 3、流量平衡: 對(duì)于不是源點(diǎn)也不是匯點(diǎn)的任意結(jié)點(diǎn),流入該結(jié)點(diǎn)的流量和等于流出該結(jié)點(diǎn)的流量和。 結(jié)合反對(duì)稱性,流量平衡也可以寫成: 只要滿足這三個(gè)性質(zhì),就是一個(gè)合法的網(wǎng)絡(luò)流.,最大流問(wèn)題,定義一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的流量（記為|f|）= 最大流問(wèn)題，就是求在滿足網(wǎng)絡(luò)流性質(zhì)的情況下，|f|的最大值。,殘量網(wǎng)絡(luò),為了更方便算法的實(shí)現(xiàn)，一般根據(jù)原網(wǎng)絡(luò)定義一個(gè)殘量網(wǎng)絡(luò)。其中r(u,v)為殘量網(wǎng)絡(luò)的容量。 r(u,v) = c(u,v) f(u,v) 通俗地講：就是對(duì)于某一條邊（也稱?。?，還能再有多少流量經(jīng)過(guò)。 Gf殘量網(wǎng)絡(luò),Ef表示殘量網(wǎng)絡(luò)的邊集.,例1,v1,t,s,v2,2,3,2,4,2,

3、2,原網(wǎng)絡(luò) (a,b)表示(流量f,容量c),殘量網(wǎng)絡(luò)（如果網(wǎng)絡(luò)中一條邊的容量為0,則認(rèn)為這條邊不在殘量網(wǎng)絡(luò)中。r(s,v1)=0,所以就不畫出來(lái)了。另外舉個(gè)例子：r(v1,s) = c(v1,s) f(v1,s) = 0 (-f(s,v1) = f(s,v1) = 4.,圖1,圖2,例1,從殘量網(wǎng)絡(luò)中可以清楚地看到： 因?yàn)榇嬖谶?s,v2) = 3,我們知道從S到v2還可以再增加2單位的流量； 因?yàn)榇嬖谶?v1,t) = 2,我們知道從v1到t還可以再增加2單位的流量。,后向弧,其中像(v1,s)這樣的邊稱為后向弧,它表示從v1到s還可以增加4單位的流量。 但是從v1到s不是和原網(wǎng)絡(luò)中的弧的

4、方向相反嗎？顯然“從v1到s還可以增加4單位流量”這條信息毫無(wú)意義。那么，有必要建立這些后向弧嗎？,v1,t,s,v2,2,3,2,4,2,2,為什么要建立后向弧,顯然，例1中的畫出來(lái)的不是一個(gè)最大流。 但是，如果我們把s - v2 - v1 - t這條路徑經(jīng)過(guò)的弧的流量都增加2,就得到了該網(wǎng)絡(luò)的最大流。 注意到這條路徑經(jīng)過(guò)了一條后向弧:(v2,v1)。 如果不設(shè)立后向弧，算法就不能發(fā)現(xiàn)這條路徑。 從本質(zhì)上說(shuō)，后向弧為算法糾正自己所犯的錯(cuò)誤提供了可能性，它允許算法取消先前的錯(cuò)誤的行為（讓2單位的流從v1流到v2),為什么要建立后向弧,當(dāng)然,可以把上面說(shuō)的情況當(dāng)成特殊情況來(lái)處理。但使用后向弧可以

5、使編程簡(jiǎn)單許多. 注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧與前向弧并無(wú)區(qū)別.,增廣路,增廣路定義：在殘量網(wǎng)絡(luò)中的一條從s通往t的路徑，其中任意一條弧(u,v)，都有ru,v0。 綠色的即為一條增廣路。,v1,t,s,v2,2,3,2,4,2,2,增廣路算法,增廣路算法：每次用BFS找一條最短的增廣路徑，然后沿著這條路徑修改流量值（實(shí)際修改的是殘量網(wǎng)絡(luò)的邊權(quán)）。當(dāng)沒(méi)有增廣路時(shí)，算法停止，此時(shí)的流就是最大流。 下面證明增廣路算法的正確性.,將f,c,r的定義域擴(kuò)展為點(diǎn)集,(在以后的敘述中,大寫字母X,Y,S,T一般均表示點(diǎn)集) 點(diǎn)集間的流量和: f(X,Y) = 即:X中的任意一點(diǎn)與Y中的任意一點(diǎn)

6、組成的所有邊上的流量之和.(邊的方向?yàn)閺腦中的結(jié)點(diǎn)到Y(jié)中的結(jié)點(diǎn)) c,r等函數(shù)都有類似的定義.(點(diǎn)集間的容量和、點(diǎn)集間的殘量網(wǎng)絡(luò)容量和),結(jié)論1,1.f(X,X) = 0 (由流量反對(duì)稱性) 2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反對(duì)稱性) 3.f(X Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (顯然) 4.f(X,Y Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (顯然),最大流最小割定理,網(wǎng)絡(luò)流中這三個(gè)條件等價(jià)（在同一個(gè)時(shí)刻）: 1、f是最大流 2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑 3、|f| = c(S,T),1、f是最大流2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3、|f| = c(S,T),1

7、- 2證明: 顯然.假設(shè)有增廣路徑,由于增廣路徑的容量至少為1,所以用這個(gè)增廣路徑增廣過(guò)后的流的流量肯定要比f(wàn)的大,這與f是最大流矛盾.,割的定義,一個(gè)割(S,T)由兩個(gè)點(diǎn)集S,T組成. S+T = V s 屬于 S. t 屬于 T. 提出割的定義,是為后面的證明作鋪墊.,結(jié)論2(點(diǎn)集總流量為零),不包含s和t的點(diǎn)集,于它相關(guān)聯(lián)的邊上的流量之和為0. 證明: f(X,V) = = (由流量平衡) = 0,結(jié)論3,任意割的流量等于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的流量. 證明: f(S,T) = f(S,V) f(S,S) (由輔助定理1) = f(S,V) (由輔助定理1) = f(S,V) + f(S s,V) (

8、同上) = f(s,V) (由輔助定理2) = |f| (由|f|的定義),結(jié)論4,網(wǎng)絡(luò)的流量小于等于任意一個(gè)割的容量.(注意這個(gè)與輔助定理3的區(qū)別.這里是容量) 即|f| = c(S,T) 證明: |f| = f(S,T) = (由定義) = (由流量限制) = c(S,T),2 - 3證明: 定義S = s v | 在殘量網(wǎng)絡(luò)中s到v有一條路徑 ; T = V- S. 則 (S,T) 是一個(gè)割. |f| = f(S,T) (由輔助定理3) 而且,r(S,T) = 0. 假設(shè)不為0,則在殘量網(wǎng)絡(luò)中, 兩個(gè)集合間必定有邊相連,設(shè)在S的一端為v,在T的一端為u. 那么,s就可以通過(guò)v到達(dá)u,那么

9、根據(jù)S的定義,u就應(yīng)該在S中.矛盾. 所以,|f| = f(S,T) = c(S,T) r(S,T) = c(S,T),1、f是最大流2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3、|f| = c(S,T),3 - 1證明: |f| 0),那么|f|+d肯定不能滿足上面的條件.,1、f是最大流2、殘量網(wǎng)絡(luò)中找不到增廣路徑3、|f| = c(S,T),增廣路算法的正確性,如果 最大流最小割定理不能從2推出3,那么存在這樣一種可能性: 盡管找不到增廣路徑了,但由于前面的錯(cuò)誤決策,導(dǎo)致f還沒(méi)有到達(dá)最大流,卻不能通過(guò)修改當(dāng)前流來(lái)得到最大流. 但由于最大流最小割定理的三個(gè)條件互相等價(jià)(1-2,2-3,3-1), 一個(gè)流

10、是最大流當(dāng)且僅當(dāng)它沒(méi)有增廣路徑.,增廣路算法的效率,設(shè)n = |V|, m = |E| 每次增廣都是一次BFS,效率為O(m) 所以,總共的時(shí)間復(fù)雜度為O(m*f*) 其中f*為增廣次數(shù). 怎么求f*?,f*,對(duì)于隨機(jī)數(shù)據(jù),f*的值與n比較接近.當(dāng)m不太大也不太小時(shí),f*的值較大. (我出隨機(jī)數(shù)據(jù)的方法是:固定地為源點(diǎn)和匯點(diǎn)連上一些邊,然后隨機(jī)生成中間的邊.中間的邊保證邊的兩個(gè)端點(diǎn)的編號(hào)相差不太大.這與不少題目轉(zhuǎn)成網(wǎng)絡(luò)流后形成的圖相似),f*的理論上界,考慮每一次增廣,至少有一條邊的r(u,v)值等于增廣路徑的流量.稱這些邊為臨界邊.增廣之后,這條臨界邊就在殘量網(wǎng)絡(luò)中消失. 假設(shè)一條臨界邊對(duì)應(yīng)

11、一次增廣(事實(shí)上很難達(dá)到這樣),令每條邊成為臨界邊的次數(shù)為k(u,v),則有f* = O(m*k). k的上界?,k的上界,如果要讓一條曾經(jīng)的臨界邊(u,v)再次成為臨界邊,則必須有一條增廣路徑包含邊(v,u).因?yàn)槊看卧鰪V之后臨界邊就消失,要讓他再次成為臨界邊至少要讓他再次在殘量網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn),即(v,u)要被增廣. 結(jié)合上面的結(jié)論可以證明,當(dāng)算法取的增廣路總是殘量網(wǎng)絡(luò)中的最短路,任意一條邊成為臨界邊的次數(shù)至多為n/2-1. 因此,增廣路算法的效率為O(f*m) = O(km2) = O(nm2). (這只是個(gè)上界,一般情況是達(dá)不到的) 備注中為增廣路算法我的代碼實(shí)現(xiàn)。數(shù)組u是殘量網(wǎng)絡(luò)的容量。,

12、預(yù)流推進(jìn)算法,下面將介紹一個(gè)更直觀且時(shí)間效率更優(yōu)的算法.,一個(gè)直觀的想法,如果給你一個(gè)網(wǎng)絡(luò)流,讓你手算出它的最大流,你會(huì)怎么算? 一般人都會(huì)嘗試著從源點(diǎn)出發(fā),讓每條邊的流量盡可能得大,然后一點(diǎn)點(diǎn)往匯點(diǎn)推,直到遇到一條比較窄的弧,原先的流量過(guò)不去了,這才減少原先的流量.,v1,t,s,v2,(0,2),(4,4),(0,4),(3,3),(0,2),例2.一個(gè)直觀的想法,大致的思路：從源點(diǎn)出發(fā)，逐步推進(jìn)。 稱當(dāng)前狀態(tài)下不滿足流量平衡的結(jié)點(diǎn)為“溢出的結(jié)點(diǎn)”.(對(duì)于結(jié)點(diǎn)u,f(V,u) 0 ) 令e(u) = f(V,u),稱為u點(diǎn)的贏余，直觀地描述，就是“流入的比流出的多多少”。e(v1)=4,e

13、(v2)=3。不斷將溢出的結(jié)點(diǎn)中的贏余往后繼點(diǎn)推進(jìn),直到贏余都聚集在t.,如果多推了一些流量, 我們可以再把它推回來(lái). (如e(v2)=3,但這3個(gè)單位的贏余已經(jīng)沒(méi)地方去了,只能推回來(lái).)(沿著后向弧)這副圖是原網(wǎng)絡(luò)而不是殘量網(wǎng)絡(luò),因此沒(méi)把后項(xiàng)弧畫出來(lái)),例2.一個(gè)直觀的想法,程序沒(méi)有全局觀?!,此時(shí)e(v2)=3.正確的回推法是往(v2,s)推1,往(v2,v1)推2,然后使得這2個(gè)單位的贏余可以從(v1,t)推到t上。 但程序沒(méi)有全局觀,它萬(wàn)一往(v2,s)推了3個(gè)單位怎么辦?我們總不能嘗試所有的可能性吧,那樣就變成搜索了.,引導(dǎo)機(jī)制,把流推錯(cuò)可能導(dǎo)致產(chǎn)生的流不是最大流. 我們需要有一個(gè)能

14、引導(dǎo)流的推進(jìn)方向的機(jī)制,當(dāng)它發(fā)現(xiàn)我們先前的推進(jìn)是錯(cuò)誤的時(shí)候,能沿著正確的后向弧回推回來(lái). 由于建立了后向弧,正推與回推在程序中并無(wú)卻別，都是在推殘量網(wǎng)絡(luò)中的一條邊.,高度標(biāo)號(hào)的引導(dǎo)作用,高度標(biāo)號(hào)就是這樣的一個(gè)引導(dǎo)機(jī)制. 我們規(guī)定,如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)溢出了,那么他的多余的流量只能流向高度標(biāo)號(hào)比自己低的結(jié)點(diǎn).(“水往低處流”) 當(dāng)然,高度標(biāo)號(hào)不可能事先知道往哪些方向推才是正確的.它將按情況動(dòng)態(tài)改變自己的值,從而正確地引導(dǎo)流向.,重標(biāo)號(hào)操作,當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)有贏余(溢出了), 周圍卻沒(méi)有高度比它低的結(jié)點(diǎn)時(shí)候,我們就用重標(biāo)號(hào)操作使它的標(biāo)號(hào)上升到比周圍最低的結(jié)點(diǎn)略高一點(diǎn),使他的贏余能流出去. 贏余千萬(wàn)不能困在某個(gè)結(jié)

15、點(diǎn)里.對(duì)于任意一個(gè)非源非匯的結(jié)點(diǎn)，有贏余就意味著它不滿足流量平衡，也就意味著整個(gè)網(wǎng)絡(luò)流不是一個(gè)真正合法的網(wǎng)絡(luò)流。,重標(biāo)號(hào)操作,對(duì)于例2的這種情況,v2中過(guò)多的贏余最終會(huì)沿著(v2,v1)、(v2,s)流回去(雖然他們一開始流錯(cuò)了方向,但后來(lái)又被回推,等于說(shuō)是被改正了)。 只有當(dāng)非源非匯的結(jié)點(diǎn)中的贏余全部流到匯點(diǎn)或流回源點(diǎn)后，這個(gè)流才重新合法。,高度函數(shù),高度函數(shù)h(v)返回一個(gè)v的高度標(biāo)號(hào)。 高度函數(shù)有三個(gè)基本條件： h(s) = |V| h(t) = 0 對(duì)于Ef(殘量網(wǎng)絡(luò))中的每一條邊(u,v),(r(u,v)0) h(u) 0,那就表示從u到v還可以增加流量,那h(u)就應(yīng)該比h(v)高

16、才對(duì).的確,我們后面還將規(guī)定,只有在h(u)h(v)的時(shí)候才能應(yīng)用推進(jìn)操作(將一個(gè)結(jié)點(diǎn)的盈余推進(jìn)到另一個(gè)結(jié)點(diǎn)的操作).而高度函數(shù)為了滿足其合法性,還要滿足上述的這三個(gè)條件.后面我們將利用這三個(gè)條件證明預(yù)流推進(jìn)算法的正確性。,高度函數(shù)的條件的實(shí)質(zhì),h(u) = h(v)+1. 這個(gè)條件實(shí)質(zhì)上是要求高度不能下降的太快，即水只能在高度相差不多的地方緩緩流過(guò)，不能像瀑布一樣從很高的地方流到很低的地方。(否則就有流錯(cuò)的危險(xiǎn)) 這和A*算法中的啟發(fā)函數(shù)必須“相容”的條件類似。h函數(shù)的緩慢下降，保證了算法的正確性。后面我們將看到這個(gè)條件的作用.,兩個(gè)關(guān)鍵操作,推進(jìn)操作(將一個(gè)結(jié)點(diǎn)的盈余推到另一個(gè)結(jié)點(diǎn)) 重標(biāo)

17、號(hào)操作(更改一個(gè)結(jié)點(diǎn)的高度值,使其的盈余能朝著更多的地方流動(dòng)),推進(jìn)操作,使用對(duì)象：一條邊(u,v) 使用條件： e(u)0，r(u,v)0, h(u) = h(v)+1 （u溢出，(u,v)在殘量網(wǎng)絡(luò)中，兩者的高度差為1） 推進(jìn)量為e(u)與r(u,v)的最小值。 推進(jìn)時(shí)同時(shí)更改相關(guān)的r與e的值。,推進(jìn)操作 偽代碼,Procedure Push(u,v) X min e(u), r(u,v) Dec(r(u,v), x)Inc(r(v,u), x) Dec(e(u), x) Inc(e(v), x),重標(biāo)號(hào)操作,使用對(duì)象： 一個(gè)結(jié)點(diǎn)u 使用條件： 結(jié)點(diǎn)u溢出；殘量網(wǎng)絡(luò)中周圍所有的點(diǎn)的高度都不

18、比它低。 Relabel(u) u(u) = min h(v) | (u,v)是殘量網(wǎng)絡(luò)總的邊 + 1 使用了重標(biāo)號(hào)操作后,至少存在一個(gè)(u,v)滿足h(u)=h(v)+1.,預(yù)流初始化(Init-Preflow),一開始的時(shí)候，我們要讓和源點(diǎn)s相關(guān)連的邊都盡可能的充滿。但由于s沒(méi)有溢出，不符合推進(jìn)操作的使用條件，我們需要另寫一段初始化的代碼。還得做的一件事是初始化高度函數(shù). h(s) = n h(v) = 0 (vs) 對(duì)于所有與s相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)v， Inc( e(v), c(s,v) ), Dec( e(s), c(s,v) ) 將邊(s,v)反向，變成(v,s) （在殘量網(wǎng)絡(luò)中）。 初始化過(guò)

19、后，e(s)變成負(fù)數(shù)。,結(jié)論5,對(duì)于一個(gè)溢出的結(jié)點(diǎn)，兩個(gè)關(guān)鍵操作（推進(jìn)和重標(biāo)號(hào)）能且只能應(yīng)用一個(gè)。 證明：對(duì)于一個(gè)溢出的結(jié)點(diǎn)u,和所有與他相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)v( (u,v)在殘量網(wǎng)絡(luò)中存在),必然有h(u) = h(v) + 1.(由高度函數(shù)的定義). 根據(jù)v分成兩種情況:1).所有v都有h(u)h(v)+1 2).至少存在一個(gè)v,使得h(u)=h(v)+1. 而1)2)互為否命題,不能同時(shí)成立或同時(shí)不成立.那么1)對(duì)應(yīng)重標(biāo)號(hào),2)對(duì)應(yīng)推進(jìn),兩者必能應(yīng)用一個(gè)且只能應(yīng)用一個(gè).,一般的預(yù)流推進(jìn)算法,由輔助定理5,得到了一個(gè)一般的預(yù)流推進(jìn)算法.(好短) Init-Preflow While 存在一個(gè)溢出的結(jié)

20、點(diǎn) 選一個(gè)結(jié)點(diǎn),應(yīng)用相應(yīng)的關(guān)鍵操作(推進(jìn)或重標(biāo)號(hào)). 當(dāng)不存在溢出結(jié)點(diǎn)時(shí)(s,t不算),算法結(jié)束,得到一個(gè)可行流,并且還是最大流.,預(yù)流推進(jìn)算法的正確性,預(yù)流只是不滿足流量平衡,網(wǎng)絡(luò)流的前兩條性質(zhì)-容量限制和反對(duì)稱性它還是滿足的.當(dāng)不存在溢出結(jié)點(diǎn)時(shí),流量平衡也滿足了. 所以,當(dāng)算法結(jié)束時(shí),我們得到一個(gè)可行流(合法流). 為什么他是一個(gè)最大流呢? 下面先看幾個(gè)結(jié)論:,結(jié)論6(結(jié)點(diǎn)高度永不下降),只有重標(biāo)號(hào)操作能更改結(jié)點(diǎn)的高度標(biāo)號(hào). 在重標(biāo)號(hào)操作應(yīng)用前,必有h(u) = h(u) + 1. 所以,在重標(biāo)號(hào)操作后,高度標(biāo)號(hào)至少+1.,結(jié)論7,在算法執(zhí)行過(guò)程中,h始終是一個(gè)合法的高度函數(shù).(滿足那三個(gè)

21、條件) 1).考察一個(gè)被重標(biāo)號(hào)的結(jié)點(diǎn)u. 設(shè)(u,v)存在于Ef,v0是所有v中h最小的一個(gè). H(u)=h(v0)+1,滿足h(u)=h(v0)+1,而h(v0) = h(v),所以 h(u)=h(v)+1. 設(shè)(w,u)存在于Ef,則h(w)=h(u)+1=h(u)+1.仍舊滿足.,結(jié)論7,在算法執(zhí)行過(guò)程中,h始終是一個(gè)合法的高度函數(shù).(滿足那三個(gè)條件) 2).考察一個(gè)被推進(jìn)的邊(u,v). (v,u)可能是在這次推進(jìn)之后才出現(xiàn)在Ef中.它的出現(xiàn)使得新增了一個(gè)限制條件:h(v)=h(u)+1.不過(guò),這顯然是滿足的,因?yàn)橥七M(jìn)操作的使用條件是h(u)=h(v)+1.那么h(v)=h(u)-1

22、= h(u)+1,結(jié)論8(預(yù)流中無(wú)增廣路),當(dāng)h是一個(gè)合法的高度函數(shù)時(shí),Gf中始終不存在增廣路.(這個(gè)定理展示了h的條件的重要性和巧妙性) 證明:假設(shè)存在增廣路p=(v0,v1,vk),其中v0=s,vk=t.因?yàn)樵鰪V路徑中無(wú)重復(fù)點(diǎn),k+1=|V|,即k|V|.,結(jié)論8(預(yù)流中無(wú)增廣路),相加得: h(s)=h(t)+k=0+k=k 而k|V|,所以 h(s)|V|. 而根據(jù)定義,h(s)=|V|.矛盾.,預(yù)流推進(jìn)算法的正確性,當(dāng)有溢出結(jié)點(diǎn)時(shí),根據(jù)結(jié)論5,必定可以在它上面施加一個(gè)操作. 當(dāng)算法停止時(shí),因?yàn)闊o(wú)溢出結(jié)點(diǎn),所以當(dāng)前流是一個(gè)合法流,而根據(jù)結(jié)論8,Gf中始終不存在增廣路.根據(jù)最大流最小割

23、定理,當(dāng)Gf中不存在增廣路時(shí),當(dāng)前流是最大流. (算法執(zhí)行了一半時(shí)雖然也沒(méi)有增廣路,但由于它不是一個(gè)合法流,前面的諸多定理都不成立). 算法的最優(yōu)性的保證者: 對(duì)于所有在Ef中的(v,u), 均有h(v)=h(u)+1,更好的預(yù)流推進(jìn)算法,前面的一般預(yù)流推進(jìn)算法可以實(shí)現(xiàn)為O(n4).其瓶頸是非飽和推進(jìn).(非飽和推進(jìn)是指在推進(jìn)之后仍舊沒(méi)有使(u,v)消失的推進(jìn).) 通過(guò)恰當(dāng)?shù)匕才抨P(guān)鍵操作的順序,可以使總的推進(jìn)(主要是非飽和推進(jìn))和重標(biāo)號(hào)的次數(shù)減少.接下來(lái)的relabel-to-front算法就用了這個(gè)思想.,Relabel-to-front,relabel-to-front算法維護(hù)一個(gè)結(jié)點(diǎn)列表,

24、然后依次檢查列表中的結(jié)點(diǎn).檢查的過(guò)程就是:一口氣將所有的贏余推給周圍的人.如果在檢查的時(shí)候這個(gè)結(jié)點(diǎn)被relabel了,那么他就被移到整個(gè)列表的最首部,并且重新從列表首部開始檢查結(jié)點(diǎn). 通過(guò)這樣恰當(dāng)?shù)匕才挪僮黜樞?一次性把某個(gè)結(jié)點(diǎn)所有的贏余全部推掉),復(fù)雜度降到了O(n3).,一些定義,如果滿足下面的兩個(gè)條件,稱(u,v)為可行弧: r(u,v)0 h(u) = h(v)+1 可行邊集Ef,h:所有由可行弧組成的集合。 可行網(wǎng)絡(luò)Gf,h = (V,Ef,h),結(jié)論9,10,結(jié)論9:可行網(wǎng)絡(luò)中無(wú)環(huán).(和結(jié)論8的證明類似,弄一堆式子然后疊加一下,導(dǎo)出矛盾) 結(jié)論10:推進(jìn)操作永遠(yuǎn)不會(huì)新增可行弧,卻可

25、能使原有的可行弧消失.(根據(jù)可行弧的定義顯然),結(jié)論11,在u被重標(biāo)號(hào)之后: 1).至少有一條可行弧離開u. 顯然.設(shè)v0是u的鄰居中h值最小的那一個(gè),則(u,v0)必定是一條可行弧. 2).不可能有可行弧進(jìn)入u. 假設(shè)有一條(w,u).則h(w) = h(u) + 1.根據(jù)輔助定理6,relabel操作至少將結(jié)點(diǎn)的h+1,所以h(w) h(u) + 1.根據(jù)高度函數(shù)必須滿足的條件,(w,u)在relabel前不在Ef中.而relabel操作只改變可行網(wǎng)絡(luò)不改變殘量網(wǎng)絡(luò),(w,u)不可能在relabel前存在于Ef而之后就不存在.,當(dāng)前弧,每個(gè)結(jié)點(diǎn)有一個(gè)鄰居列表和有一個(gè)“當(dāng)前弧”的指針,保存當(dāng)

26、前檢查到鄰居列表中的哪一條弧了。初始化時(shí),“當(dāng)前弧”指向與該結(jié)點(diǎn)相連的第一條邊.鄰居列表保存的是所有可能成為可行弧的弧. 當(dāng)再次調(diào)用檢查操作時(shí),可以從上一次檢查了一半的地方繼續(xù)檢查. 具體請(qǐng)看下面檢查操作的偽代碼:,檢查操作,Check(u) While e(u)0 do If current(u)degree(u) then /當(dāng)沒(méi)有可行弧可以推進(jìn),該結(jié)點(diǎn)卻仍舊有贏余時(shí),重標(biāo)號(hào). Relabel(u) Current(u) = 1 Else If (u,current(u) 是一條可行弧 then Push(u,current(u) /push了之后就不能增加 current(u)的值.因?yàn)?/p>

27、這如果是一次非飽和推進(jìn),那再下一次檢查時(shí)還是可以沿著這條弧做推進(jìn). Else Inc(current(u),當(dāng)前弧的正確性,Current是全局變量,當(dāng)某次Check操作結(jié)束時(shí)他的值并沒(méi)有被清空. 比如結(jié)點(diǎn)u有10個(gè)鄰居,上次檢查到第7個(gè),那再一次Check(u)的時(shí)候就只要從第7個(gè)開始檢查就可以了。 為什么再一次檢查的時(shí)候不要檢查第1-6條邊了?能否證明在再一次檢查的時(shí)候他們一定不是可行弧?,當(dāng)前弧的正確性,在relabel-to-front算法中,relabel只被Check調(diào)用. 當(dāng)“當(dāng)前弧”移動(dòng)時(shí),移動(dòng)前它指向的那條弧一定是不可行的.而推進(jìn)操作不能創(chuàng)造可行弧.只有relabel可以.兩

28、次Check之間沒(méi)有relabel操作.所以原先的不可行的弧在第二次Check之前一直是不可行的.,Relabel-to-front,Init-Preflow 初始化結(jié)點(diǎn)(除s,t)列表L(任何順序均可) 令所有u,Current(u) = 1 u HeadL While u nil do Old-height h(u) Check(u) If h(u) old-height then 將u移到L首部 /如果h(u)比原先的h高了,說(shuō)明被relabel,移到隊(duì)首. u next(u),圖例 (初始狀態(tài).結(jié)點(diǎn)下方數(shù)字為贏余,N顯示的是鄰居列表,N中紅色的是當(dāng)前弧指針?biāo)诘奈恢?),圖例:x被檢查

29、并重標(biāo)號(hào),并被提到L的首部(等于沒(méi)提).注意當(dāng)前弧的指針移到了t. x的所有贏余推給了y和t.,S -26,x 0,y 19,z 0,t 7,6 5 4 3 2 1 0,(12/12),(14/14),(7/16),(0/7),(5,5),(0,8),(0,10),圖例 :y正在被檢查.將8單位的贏余推給z之后還是有剩余.,S -26,x 0,y 11,z 8,t 7,6 5 4 3 2 1 0,(12/12),(14/14),(7/16),(0/7),(5,5),(8,8),(0,10),圖例 :一次必須把贏余全部推光.所以y被重標(biāo)號(hào),當(dāng)前弧指針從頭開始查找,找到(y,x)這條可行弧之后進(jìn)行

30、推進(jìn).實(shí)際上是把多推的贏余還給了x.因?yàn)閔(u)=h(v)+1的保證,它沒(méi)有把贏余錯(cuò)推給s.,S -26,x 5,y 6,z 8,t 7,6 5 4 3 2 1 0,(12/12),(14/14),(7/16),(0/7),(0,5),(8,8),(0,10),圖例:y還是有贏余.當(dāng)當(dāng)前弧移動(dòng)到另局列表的尾部時(shí),y再一次被重標(biāo)號(hào),并把贏余還給s.檢查結(jié)束,y被提到L列表的首部.,S -20,x 5,y 0,z 8,t 7,6 5 4 3 2 1 0,(12/12),(8/14),(7/16),(0/7),(0,5),(8,8),(0,10),圖例:檢查x.注意x的當(dāng)前弧指針已經(jīng)指在t上了. x

31、把贏余推給t. u指針直接后移.(因?yàn)閤沒(méi)有被重標(biāo)號(hào)),S -20,x 0,y 0,z 8,t 12,6 5 4 3 2 1 0,(12/12),(8/14),(12/16),(0/7),(0,5),(8,8),(0,10),圖例:z被檢查并被提到列表首部.,S -20,x 0,y 0,z 0,t 20,6 5 4 3 2 1 0,(12/12),(8/14),(12/16),(0/7),(0,5),(8,8),(8,10),圖例:u指針從y開始向后移動(dòng),直到隊(duì)尾也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)可以檢查的結(jié)點(diǎn)(只有溢出的結(jié)點(diǎn)才能被檢查).算法結(jié)束.,relabel-to-front的正確性,前面我們已經(jīng)證明了一般預(yù)

32、流推進(jìn)算法的正確性了.因此,現(xiàn)在只要證明,在relabel-to-front算法結(jié)束時(shí),一般預(yù)流推進(jìn)算法的結(jié)束條件也正好被滿足-即沒(méi)有溢出的結(jié)點(diǎn).,結(jié)論11:L始終拓?fù)溆行?對(duì)于G上的可行網(wǎng)絡(luò)Gf,h,列表L中的結(jié)點(diǎn)始終保持拓?fù)溆行蛐? 一開始的時(shí)候,列表中所有結(jié)點(diǎn)(s,t不在列表中)的高度均為0,不存在高度差,所以不存在可行弧.這時(shí)列表顯然拓?fù)溆行? 一個(gè)結(jié)點(diǎn)被relabel之后,就被提到列表的首部.根據(jù)輔助定理11,relabel之后沒(méi)有可行弧進(jìn)入結(jié)點(diǎn),但有可行弧離開結(jié)點(diǎn),所以將結(jié)點(diǎn)提到列表首部仍舊使列表滿足拓?fù)溆行? 推進(jìn)操作不能創(chuàng)造可行弧,因此與列表的拓?fù)溆行蛐詿o(wú)關(guān).,結(jié)論12,L中指

33、針u之前的結(jié)點(diǎn)全部是非溢出結(jié)點(diǎn). 當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)被檢查之后,它必定沒(méi)有贏余,因此將u指針后移不影響上面的性質(zhì). 它自己沒(méi)有贏余了,但它卻可能將贏余推給了別人.如果推給在L中位置在它后面的結(jié)點(diǎn)不要緊.但如果它把贏余推給了在自己之前的結(jié)點(diǎn)呢? 因?yàn)長(zhǎng)拓?fù)溆行?他若把贏余推給了排在自己前面的結(jié)點(diǎn),則必定發(fā)生了relabel操作.而如果有relabel,則它已經(jīng)被提到列表的首部了.性質(zhì)依然滿足. 這就是算法名:relabel-to-front的由來(lái).,Relabel-to-front,根據(jù)一般的預(yù)流推進(jìn)算法,當(dāng)沒(méi)有溢出結(jié)點(diǎn)時(shí)算法就結(jié)束并得到一個(gè)最大流. 而relabel-to-front算法的結(jié)束條件是u

34、指針指向L隊(duì)列尾部. 根據(jù)輔助定理12,u以前的結(jié)點(diǎn)均非溢出結(jié)點(diǎn).所以當(dāng)u指向尾部時(shí),所有的結(jié)點(diǎn)均沒(méi)有溢出. 另外可以證明,算法的復(fù)雜度為O(n3).,Highest-relabel,還可以改進(jìn). 經(jīng)驗(yàn)表明,總是檢查高度標(biāo)號(hào)最大的結(jié)點(diǎn)，會(huì)有比較好的效率. 于是對(duì)Relabel-to-front進(jìn)行了一點(diǎn)小修改,得到了highest-relabel算法.,分塊的L列表,可以證明,任意結(jié)點(diǎn)的最大的距離標(biāo)號(hào)為2n-1. 將L列表分成2n個(gè)塊,第1塊保存所有高度為0的點(diǎn),第i+1塊保存高度為I的所有結(jié)點(diǎn). 從最后一塊開始往前找,發(fā)現(xiàn)一個(gè)不為空的塊就把這個(gè)塊里的結(jié)點(diǎn)全部檢查掉.如果有元素被重標(biāo)號(hào)了,那就將他移動(dòng)到新的塊里,并從那個(gè)新的塊的前面開始繼續(xù)往下查找.,分塊的L列表,對(duì)于可行網(wǎng)絡(luò),分塊L列表是拓?fù)溆行虻? 因?yàn)榭尚谢?u,v)要求h(u) = h(v) + 1,即只有從標(biāo)號(hào)高的結(jié)點(diǎn)指向標(biāo)號(hào)低的結(jié)點(diǎn).既只有從后面的塊里的結(jié)點(diǎn)指向前面的塊里的結(jié)點(diǎn).所以,這種分塊方法仍然保持了整個(gè)列表的拓?fù)溆行蛐?因此,算法結(jié)束時(shí)沒(méi)有溢出的結(jié)點(diǎn).因此該算法是正確的.,分塊L列表的實(shí)現(xiàn),如果用鏈表，可以只占用O(n)的空間。在內(nèi)存不緊張的情況下，也完全可以用無(wú)序數(shù)組，時(shí)間效率不比鏈表差,雖然空間是O(n2)的. 無(wú)序數(shù)組在刪除的時(shí)候，可以用: Delete(i) ai an Dec(n),更多的改進(jìn),回