高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.2等差數(shù)列及其前n項和課件文新人教B版.ppt

1、6.2等差數(shù)列及其前n項和,1.等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項與它的前一項的等于,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的,公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表示為(nN+),d為常數(shù). (2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是,其中A叫做a,b的.,-2-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,自測點評,第2項,差,同一個常數(shù),公差,an+1-an=d,等差中項,-3-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1)若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=,可推廣為an=.,a1+

2、(n-1)d,am+(n-m)d,-4-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,3.等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì) (1)若an為等差數(shù)列,m+n=p+q,則(m,n,p,qN+);m+n=2p,則am+an=2ap(m,n,pN+). (2)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)是公差為的等差數(shù)列. (3)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,則數(shù)列 也是數(shù)列. (4)若等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則S2n-1=(2n-1)an. (5)若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn也是等差數(shù)列.,am+an=ap+aq,md,等差,-5-,知識梳理,雙基自測,自

3、測點評,2,3,4,1,4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 (1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 an=a1+(n-1)d可化為an=dn+a1-d的形式.當(dāng)d0時,an是關(guān)于n的一次函數(shù);當(dāng)d0時,數(shù)列為遞增數(shù)列;當(dāng)d0時,數(shù)列為遞減數(shù)列. (2)等差數(shù)列前n項和公式可變形為 .當(dāng)d0時,它是關(guān)于n的二次函數(shù).數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).,2,-6-,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,自測點評,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列. () (2)已知數(shù)列an的通項公式是an=pn+q(其中p,q

4、為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列. () (3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù). () (4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN+,都有2an+1=an+an+2. () (5)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. () (6)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù). (),答案,-7-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,2.(2017浙江,6)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,則“d0”是“S4+S62S5”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件,答案,解析,-8-,知識梳理,雙

5、基自測,自測點評,2,3,4,1,5,3.(2017遼寧撫順重點校一模)在等差數(shù)列an中,a3+a6=11,a5+a8=39,則公差d為() A.-14B.-7C.7D.14,答案,解析,-9-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,4.已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=.,答案,解析,-10-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,5. 在100以內(nèi)(包括100)的正整數(shù)中有個能被6整除的數(shù).,答案,解析,-11-,知識梳理,雙基自測,自測點評,1.用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,要注意定義中的三個關(guān)鍵詞:“從第2項起”

6、“每一項與它的前一項的差”“同一個常數(shù)”. 2.等差數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別:當(dāng)公差d0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù);當(dāng)公差d=0時,an為常數(shù). 3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0. 4.等差數(shù)列的前n項和公式有兩種表達形式,要根據(jù)題目給出的條件判斷使用哪一種表達形式.,-12-,考點1,考點2,考點3,考點4,例1(1) 在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,則公差d的值是() A.4B.3C.1D.2 (2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于() A.3B.4C.5D.6 思考求等差數(shù)列基本

7、量的一般方法是什么?,答案,-13-,考點1,考點2,考點3,考點4,解析: (1)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65, 公差d的值是3.故選B. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 數(shù)列an為等差數(shù)列, d=am+1-am=1, m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,-14-,考點1,考點2,考點3,考點4,-15-,考點1,考點2,考點3,考點4,-16-,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.等差數(shù)列運算問題的一般解法是先設(shè)出首項a1和公差d,再由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求

8、解. 2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想. 3.減少運算量的設(shè)元的技巧,若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d;若四個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-17-,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a10=8,則a100=() A.100B.99C.98D.97 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=.,答案,-18-,考點1,考點2,考點3,考點4,-19-,考點1,考

9、點2,考點3,考點4,-20-,考點1,考點2,考點3,考點4,答案,-21-,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)等差中項法:2an+1=an+an+2(nN+)an是等差數(shù)列. (3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列. (4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列. 2.若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.,-22-,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=2n-1.數(shù)列bn滿

10、足b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求數(shù)列an的通項公式;,答案,-23-,考點1,考點2,考點3,考點4,考向一等差數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用 例3(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=() A.5B.7C.9D.11 (2)已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+ =-3,S5=10,則a9的值是. 思考利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決問題時常用到什么思想方法?,答案,解析,-24-,考點1,考點2,考點3,考點4,考向二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用 例4在等差數(shù)列an中,前m項的和為30,前2m項的和為100,則前3m項的和為. 思考本例題應(yīng)用什么性質(zhì)求解

11、比較簡便?,答案,解析,-25-,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想,應(yīng)用時常將an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN+)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN+)相結(jié)合,可減少運算量. 2.在等差數(shù)列an中,依據(jù)題意應(yīng)用其前n項和的性質(zhì)解題能比較簡便地求出結(jié)果,常用的性質(zhì)有:在等差數(shù)列an中,數(shù)列,-26-,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練3(1)已知等差數(shù)列an的前17項和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于() A.3B.6C.17D.51 (2)已知等差數(shù)列an,bn的前

12、n項和分 (3)(2017山西晉中一模)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m2,且mN+),則m的值為.,答案,-27-,考點1,考點2,考點3,考點4,-28-,考點1,考點2,考點3,考點4,(3)Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14, am=Sm-Sm-1=4,am+1+am+2=Sm+2-Sm=14. 設(shè)an的公差為d,則2am+3d=14,d=2. am=a1+(m-1)d=-4+2(m-1)=4,m=5.,-29-,考點1,考點2,考點3,考點4,例5(2017北京海淀模擬)在等差數(shù)列an中,設(shè)Sn為其前n項和,且a10,S3=S11

13、,則當(dāng)n為多少時,Sn最大? 思考求等差數(shù)列前n項和的最值有哪些方法?,-30-,考點1,考點2,考點3,考點4,-31-,考點1,考點2,考點3,考點4,解得6.5n7.5,故當(dāng)n=7時,Sn最大. (方法四)由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0,又由a10,S3=S11可知d0,a80,所以當(dāng)n=7時,Sn最大.,-32-,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法: (1)函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. (2)鄰項變號法:利用

14、等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉(zhuǎn)折項,當(dāng) 利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得前n項和的最值.,-33-,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練4(1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,則當(dāng)Sn取最大值時,n的值是() A.5B.6C.7D.8 (2)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列,Sn為前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n的值為() A.5B.6C.5或6 D.11,答案,解析,-34-,考點1,考點2,考點3,考點4,1.等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法; (2)等差中項法; (3)利用通項公式判斷; (4)利用前n項和公式判斷. 2.公差

15、不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第2項起成等差數(shù)列. 3.方程思想和化歸思想:在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時,可以先考慮把已知條件都化歸為a1和d等基本量的關(guān)系,再通過建立方程(組)求解.,-35-,考點1,考點2,考點3,考點4,注意利用“an-an-1=d”時加上條件“n2”;否則,當(dāng)n=1時,a0無定義.,-36-,思想方法整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用 整體思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題,常常能化繁為簡、變難為易,同時又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整