空間向量的坐標運算.ppt

1、1空間向量的坐標運算 設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3),2空間兩點間的距離公式,設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則 AB ， |AB|,(x2x1，y2y1，z2z1),3.若A、B兩點的坐標分別是A(2cos，2sin，1)， B(3cos，3sin，1)，則| |的取值范圍是 () A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25,解析： (3cos2cos，3sin2sin，0)， 1cos()1，| |1,5.,答案：B,平面的法向量：如果表示向量 的有向線段所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面 ,記作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面

2、的法向量.,給定一點A和一個向量 ,那么過點A,以向量 為法向量的平面是完全確定的.,幾點注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一個平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是與平面平行或在平面內，則有,垂直關系：,例2 已知平面 經過三點A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),試求平面 的一個法向量.,解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 設平面 的法向量是 依題意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2 平面 的一個法向量是,六、夾角：,例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;,x,y,

3、z,A,D,B,A1,D1,C1,B1,解： (1)以點A為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，則：,A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),X1+z1=0,X1+y1=0,取x1=1,得y1=z1=-1,C,故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為,如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:異面直線SA和OB所成的角的余弦值； OS與平面SAB所成角的正弦值；,A（2，0，0）；,于是我們有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；

4、,B（1，1，0）；,S（0，0，1），,則O（0，0，0）；,解：以o為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示,x,y,z,C（0，1，0）；,所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為,（2）設平面SAB的法向量,顯然有,N,解：如圖建立坐標系A-xyz,則,N,又,例二：,在長方體 中，,例2,解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設 則：,所以：,所以 與 所成角的余弦值為,5.正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為.,解析：如圖，建立直角坐 標系，設正方體棱長為1， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B (1,1,0)，C1(0,1,

5、1)， (1,0,1)， (1,1,0)， (1,0,1). 設n(x，y，z)為平面A1BD的法向量,則 取n(1，1，1)， 設直線BC1與平面A1BD所成角為， 則sin|cosn， | . cos .,答案：,【鞏固練習】,1 三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為PC中點 ,則PA與BE所成角的余弦值為_ .,2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 則AC1與截面BB1CC1所成 角的余弦值為_ .,如圖所示，在四棱錐PABCD 中，PC平面ABCD，PC2，在四邊 形ABCD中，BC90，AB4， CD1，點M在PB上，PB4PM，P

6、B 與平面ABCD成30的角. (1)求證：CM平面PAD； (2)求證：平面PAB平面PAD.,思路點撥,課堂筆記以C為坐標原點，CB為x 軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示 的空間直角坐標系Cxyz. PC平面ABCD， PBC為PB與平面ABCD所成的角， PBC30. PC2，BC2 ，PB4.,D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)， P(0,0,2)，M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3,0)， ( ，0， )，,(1)令n(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則 令y2，得n( ，2,1). n 201 0， n ，又CM平面PAD， CM平面

7、PAD.,(2)取AP的中點E， 則E( ，2,1)， ( ，2,1). PBAB，BEPA. 又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，, ，BEDA，又PADAA. BE平面PAD， 又BE平面PAB， 平面PAB平面PAD.,小結：,1.異面直線所成角：,2.直線與平面所成角：,1.若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所 成的角為，則cos|cosv1，v2|. 2.利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有 兩種辦法：,分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量， 轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)； 通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與 平面的法向量所夾的

8、銳角，取其余角就是斜線和平 面所成的角.,l,m,l,m,l,l,5.如圖，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1 的中點，那么直線AM與CN所成角的 余弦值為.,解析：建立如圖所示的坐標系， 則A(1,0,0)，M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， ，) 則 (0， ，1)， (1,0， ). cos . 直線AM與CN所成角的余弦值為 .,答案：,(2009全國卷)如圖， 直三棱柱ABCA1B1C1中，AB AC，D、E分別為AA1、B1C的中 點，DE平面BCC1. (1)證明：ABAC； (2)設二面角ABDC為60，求B1C與平面BC

9、D所成的角的大小.,思路點撥,課堂筆記(1)證明：以A為坐標 原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1 為z軸.建立如圖所示的直角坐標 系Axyz.,設B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則B1(1,0,2c)， E( ， ，c). 于是 ( ， ，0)， (1，b,0). 由DE平面BCC1知DEBC， 0， 求得b1， 所以ABAC.,(2)設平面BCD的法向量 (x，y，z)， 則 0， 0. 又 (1,1,0)， (1,0，c)，故 令x1，則y1，z ， (1,1， ). 又平面ABD的法向量 (0,1,0).,由二面角ABDC為60知， 60， 故 cos60，求得c

10、 . 于是 (1,1， )， (1，1， )， Cos ， 60. 所以B1C與平面BCD所成的角為30.,解：由本例(2)知， (1,1， )， 又B(1,0,0)，A1(0,0， )， (1,0， ). 1 1，,又| |2，| | ， cos 異面直線B1C與BA1所成角的余弦值為 .,在本例(2)的條件下，能否求出異面直線B1C與BA1所成角的余弦值.,A. B. C. D.,練習在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是 (),解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0， a)，A1(a，0，

11、a) DB(a，a,0)，DM(a,0， a)， A1M(0,0， a) 設平面MBD的法向量n(x，y，z)，則,令x1，得n(1，1，2)， A1到平面MBD的距離,答案： A,利用向量法求點面距，其步驟如下： 1求出該平面的一個法向量； 2找出過該點的平面的任一條斜線段對應的向量； 3求出法向量與斜線段所對應向量的數量積的絕對值再除 以法向量的模，即可求出點到平面的距離，如圖,點P到平面的距離,(2009茂名模擬)如圖所示，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CACBCDBD2，ABAD (1)求證：AO平面BCD； (2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值； (3)求點E

12、到平面ACD的距離,思路點撥,課堂筆記(1)證明：連結OC， BODO，ABAD，AOBD. BODO，BCCD，COBD. 在AOC中，由已知可得AO1，CO 而AC2，AO2CO2AC2. AOC90，即AOOC. BDOCO，AO平面BCD.,(2)以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1)，E( ， ，0)，,異面直線AB與CD所成角的 余弦值為,=(-1，0，1),(3)設平面ACD的法向量為n(x，y，z)，則,令y1，得n( ，1， )是平面ACD的一個法向量 又EC( ，0)， 點E到平面ACD的距離h,利用空間

13、向量解決空間中線面位置關系的論證、空間中各種角的求解問題，以代數運算代替復雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來了鮮活的方法另外，空間向量還可以用來解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學生的能力，因此其已成為高考命題的熱點題型,考題印證 (2009福建高考)如圖，四邊形 ABCD是邊長為1的正方形，MD平 面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點 (1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值； (2)在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由,【解】(1)如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz. 依題意

14、，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)(2分),所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為 (6分),=(-1,0,1) (3分),(5分),(2)假設在線段AN上存在點S，使得ES平面AMN. AN(0,1,1)，可設ASAN(0，)， 又EA( ，1,0)， ，1，)(8分),由ES平面AMN，得 即 (9分) 故 ，此時AS(0， )，|AS| (10分) 經檢驗，當AS 時，ES平面AMN.(11分) 故線段AN上存在點S，使得ES平面AMN，此時AS (12分),自主體驗 如圖，已知四棱錐PABC

15、D的底面ABCD為等腰梯形，ABDC，ACBD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點 又BO2，PO ，PBPD.,(1)求異面直線PD與BC所成角的余弦值； (2)求二面角PABC的大小； (3)設點M在棱PC上，且 ，問為何值時，PC平面BMD?,解：PO平面ABCD，POBD. 又PBPD，BO2，PO ， 則在RtPDB中，由OP2ODOB，得OD1，從而可得ODOC1，BOAO2. 以O為原點，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(1，0,0)，D(0，1,0)，P(0,0， ),故直線PD與BC所成角的余弦值為,(2