2019屆高考數(shù)學復習專題4立體幾何2.4.3用空間向量的方法解立體幾何問題課件.pptx

1、第3課時 用空間向量的方法解立體幾何問題,熱點考向一 利用空間向量證明空間平行、垂直關(guān)系 【考向剖析】:本考向考查形式主要為解答題,主要考查建立空間直角坐標系、利用空間向量的平行、垂直關(guān)系,證明空間直線、平面間的平行、垂直關(guān)系,以解,答題為主.考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力,多為基礎(chǔ)題、中檔題,分數(shù)為6分左右. 2019年的高考仍將以解答題的形式考查,考查知識點:空間向量與直線、平面間的平行、垂直關(guān)系.,【典例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA 底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2, AB=1,點E為棱PC的中點.證明: (1)BEDC. (2)BE平

2、面PAD. (3)平面PCD平面PAD.,【大題小做】,【解析】依題意,以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點,得E(1,1,1).,(1)向量 =(0,1,1), =(2,0,0),故 =0. 所以BEDC. (2)因為ABAD,又PA平面ABCD,AB平面ABCD, 所以ABPA,PAAD=A,所以AB平面PAD, 所以向量 =(1,0,0)為平面PAD的法向量. 而 =(0,1,1)(1,0,0)=0,所以BEAB,又BE平面PAD,所以BE平面PAD.,(3)由(2)知平面PAD的法向量 =

3、(1,0,0),向量 =(0,2,-2), =(2,0,0), 設平面PCD的法向量為n=(x,y,z), 則 即,不妨令y=1,可得n=(0,1,1)為平面PCD的一個法向量. 且n =(0,1,1)(1,0,0)=0,所以n . 所以平面PCD平面PAD.,【易錯警示】解答本題易出現(xiàn)三種錯誤 (1)建系后,將相關(guān)點的坐標確定錯,造成后面步步錯. (2)在(2)中忽略BE平面PAD,而致誤. (3)將平面的法向量求錯,而致誤.,【名師點睛】 利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟 (1)建立空間直角坐標系,建系時要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系. (2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系,用空

4、間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素.,(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直關(guān)系. (4)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題.,【考向精練】 1.如圖,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點.E是BB1上一點,若D1FDE,則有 (),A.B1E=EBB.B1E=2EB C.B1E= EBD.E與B重合,【解析】選A.分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直 角坐標系,設正方體的棱長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設E(2,2,z), 則 =(0,1,-2), =(2,2,z), 因為 =02+12-2z

5、=0,所以z=1,所以 B1E=EB.,2.如圖所示,在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中,點M,P,Q分別為棱AB, CD,BC的中點,若平行六面體的各 棱長均相等,則: A1MD1P; A1MB1Q;,A1M平面DCC1D1; A1M平面D1PQB1. 以上說法正確的個數(shù)為() A.1B.2C.3D.4,【解析】選C. = + = + , = + = + ,所以 ,所以A1MD1P,由線 面平行的判定定理可知,A1M平面DCC1D1,A1M平面 D1PQB1.正確.,【加練備選】 1.(2018武漢調(diào)研)已知平面內(nèi)的三點 A(0,0,1), B(0,1,0),C(1,0,0),平面的

6、一個法向量n=(-1,-1, -1),則不重合的兩個平面與的位置關(guān)系是_ _.,【解析】設平面的法向量為m=(x,y,z), 由m =0,得x0+y-z=0y=z, 由m =0,得x-z=0 x=z,取x=1, 所以m=(1,1,1),m=-n,所以mn,所以. 答案:,2.(2018西安調(diào)研)已知 =(1,5,-2), =(3,1,z), 若 , =(x-1,y,-3),且BP平面ABC,則實數(shù) x+y=_. 【解析】由條件得,解得x= ,y=- ,z=4,所以x+y= - = . 答案:,3.已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,如果 =(2,-1,-4), =(4,2,0), =(

7、-1,2,-1).對于結(jié)論: APAB;APAD; 是平面ABCD的一個法向量; .其中正確的序號是_.,【解析】因為 =0, =0, 所以ABAP,ADAP,則正確.又 與 不平行, 所以 是平面ABCD的一個法向量,則正確. 由于 = - =(2,3,4), =(-1,2,-1), 所以 與 不平行,故錯誤. 答案:,熱點考向二 利用空間向量求空間角高頻考向,類型一求異面直線所成的角 【典例2】(2015全國卷)如圖, 四邊形ABCD為菱形,ABC=120, E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.,(1)證明:平面AEC平面AFC.

8、(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.,【大題小做】,【解析】(1)連接BD,設BDAC=G,連接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨設GB=1.由ABC=120,可得 AG=GC= . 由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AEEC,所以 EG= ,且EGAC. 在RtEBG中,可得BE= ,故DF= .,在RtFDG中,可得FG= . 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE= ,DF= ,可得 EF= . 從而EG2+FG2=EF2,所以EGFG. 又ACFG=G,可得EG平面AFC. 又因為EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.,(2)如圖,以G為坐標原點,分別以

9、 , 的方向為 x軸,y軸正方向,| |為單位長度,建立空間直角坐標系.,由可得A(0,- ,0),E(1,0, ),F , C(0, ,0), 所以 =(1, , ), = . 故cos= =- . 所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為 .,【易錯警示】解答本題易出現(xiàn)以下兩種錯誤: 1.在建立了坐標系后表示點的坐標時,容易出現(xiàn)錯誤. 2.在利用夾角公式求余弦值的時候如果求出是負值,不要忽略了異面直線所成角的范圍.,類型二計算直線與平面所成角 【典例3】(2016全國卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2

10、MD,N為PC的中點. (1)證明:MN平面PAB. (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.,【大題小做】,【解析】(1)由已知得AM= AD=2,取BP的中點T,連接 AT,TN, 由N為PC中點知TNBC,TN= BC=2. 又ADBC,故TNAM,TN=AM,四邊形AMNT為平行四邊形, 于是MNAT. 因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.,(2)取BC的中點F,連接AF.由AB=AC得AFBC,從而 AFAD且AF= = , 以A為坐標原點, 的方向為x軸的正方向, 的方向 為y軸的正方向, 的方向為z軸的正方向,建立空間直 角坐標系,由題意可得 P ,M ,

11、C ,N ,所以 = , = , = , 設n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則 即 可取n= ,所以cos = = , 所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為 .,類型三計算二面角 【典例4】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD, BAD=ABC=90,E是PD的中點.世紀金榜導學號,(1)證明:直線CE平面PAB. (2)點M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.,【大題小做】,【解析】(1)取PA的中點F,連接EF,BF. 因為E是PD的中點,所以EFAD,EF= AD,由BAD=

12、ABC=90,得BCAD,又BC= AD,所以EF BC. 四邊形BCEF為平行四邊形,CEBF.又BF平面PAB,CE 平面PAB,故CE平面PAB.,(2)由已知得BAAD,以A為坐標原點, 的方向為x軸 正方向, 為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A ,B ,C ,P , =(1,0,- ), =(1,0,0), 設M , 則 = , = , 因為BM與底面ABCD所成的角為45,而n= 是底面 ABCD的一個法向量,所以 =sin 45, = , 即 +y2-z2=0. 又M在棱PC上,設 = ,則 x=,y=1,z= - .,由得 所以M ,從而 = .,設m=(x0,y0,

13、z0)是平面ABM的法向量,則 即 所以可取m=(0,- ,2).于是cos= = , 因此二面角M-AB-D的余弦值為 .,【易錯提醒】解答本題易出現(xiàn)以下兩種錯誤:一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角;二是利用方程思想進行向量運算,要認真細心,準確計算.,【名師點睛】 1.利用空間向量求空間角的一般步驟 (1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系. (2)求出相關(guān)點的坐標,寫出相關(guān)向量的坐標. (3)結(jié)合公式進行論證、計算. (4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.,2.利用空間向量求線線角、線面角的思路 (1)異面直線所成的角,可以通過兩直線的方向向量的夾角

14、求得,即cos =|cos |. (2)直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得,即sin =|cos |.,3.利用空間向量求二面角的思路 二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角)或通過二面角的兩個面的法向量的夾角求得,它等于兩個法向量的夾角或其補角.,如圖所示,平面多邊形ABCDE中,AE=ED,AB=BD,且 AB= ,AD=2,AE= ,CD=1,ADCD,現(xiàn)沿直線AD,將 ADE折起,得到四棱錐P-ABCD.,(1)求證:PBAD. (2)若PB= ,求PD與平面PAB所成角的正弦值. 【解析】(1)取AD的中點O,連接

15、OB,OP,因為BA=BD,EA=ED,即PA=PD, 所以OBAD且OPAD, 又OBOP=O,所以AD平面BOP, 而PB平面BOP,所以PBAD.,(2)可求得OP=1,OB=2,則OP2+OB2=5=PB2, 所以POOB,所以OP,OB,OD兩兩互相垂直, 以O為坐標原點,OB, OD, OP所在的直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,則A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), =(0,-1,1), =(0,1,1), =(-2,0,1), 設m=(a,b,c)為平面PAB的一個法向量,則 由 令a=1,則得c=2,b=-2,所以m=(

16、1,-2,2),設PD與平面PAB所成角為, 則sin =|cos|= = = , 故sin = ,即PD與平面PAB所成角的正弦值為 .,【加練備選】 1.(2018天津高考) 如圖,ADBC且AD=2BC, ADCD, EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD, DA= DC=DG=2. (1)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN平面CDE. (2)求二面角E-BC-F的正弦值.,(3)若點P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長.,【解析】依題意,可以建立以D為原點,分別以 , , 的方向為x軸,y軸,z軸的正方向的空間直角坐標

17、系 (如圖),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0), E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M ,N(1,0,2).,(1)依題意 =(0,2,0), =(2,0,2).設n0=(x,y,z) 為平面CDE的法向量,則 即 不妨令 z=-1,可得n0=(1,0,-1).,又 = ,可得 n0=0,又因為直線MN平面CDE,所以MN平面CDE. (2)依題意,可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2). 設n=(x1,y1,z1)為平面BCE的法向量,則,即 不妨令z1=1,可得n=(0,1,1). 設m=(x2,y

18、2,z2)為平面BCF的法向量,則 即 不妨令z2=1,可得m=(0,2,1). 因此有cos= = , 于是sin= . 所以,二面角E-BC-F的正弦值為 .,(3)設線段DP的長為h(h0,2),則點P的坐標為(0,0,h),可得 =(-1,-2,h). 易知, =(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量,故 |cos|= = , 由題意,可得 =sin 60= ,解得h= 0,2.所以線段DP的長為 .,2.(2018湖北聯(lián)考協(xié)作體聯(lián)考)等邊ABC的邊長為3,點D,E分別為AB,AC上的點,且滿足 = = (如圖1),將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1-DE-B成直二面角

19、,連接A1B,A1C(如圖2),(1)求證:A1D平面BCED. (2)在線段BC上是否存在點P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60?若存在,求出PB的長;若不存在,請說明理由.,【解析】(1) 因為等邊ABC的邊長為3,且 = = ,所以AD=1,AE=2.在ADE中,DAE=60, 由余弦定理得DE= = . 因為AD2+DE2=AE2,所以ADDE. 折疊后有A1DDE.,因為二面角A1-DE-B是直二面角,所以平面A1DE平面BCED,又平面A1DE平面BCED=DE,A1D平面A1DE,A1DDE, 所以A1D平面BCED,(2)由(1)的證明,可知EDDB,A1D平面BCED

20、. 以D為坐標原點,以射線DB,DE,DA1分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.,設PB=2a(02a3),過P作PHBD于H,連接A1H, 則PH= a,DH=2-a, 所以A1(0,0,1),P(2-a, a,0),E(0, ,0), 所以 =(a-2,- a,1),因為ED平面A1BD, 所以平面A1BD的一個法向量為 =(0, ,0),因為直 線PA1與平面A1BD所成的角為60,所以sin 60= = = , 解 得a= , 即PB=2a= ,滿足02a3,符合題意, 所以在線段BC上存在點P,使直線PA1與平面A1BD所成的 角為60,此時PB= .,熱點

21、考向三 利用空間向量解決探索性問題 考向剖析:本考向考查形式是解答題,主要考查利用空間向量探索與空間線面垂直、平行或空間三種角大小有關(guān)的點所在位置、參數(shù)值的大小問題,該問題一般出現(xiàn)在解答題的最后一問,建立空間直角坐標系是關(guān)鍵,考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及運算能力.2019年的高考仍將以解答題的形式考查.,【典例5】已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.,(1)M為AB中點,在線段CB上是否存在一點P,使得MP平面CNB1?若存在,求出BP的長;若不存在,請說明理由. (2)求二面角C-NB1-C1的余弦值.,【審題導引】(1

22、)看到MP平面CNB1,可聯(lián)想到直線方 向向量與平面的法向量_. (2)看到求二面角的余弦,可聯(lián)想到求兩個平面的_ _. 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,則由該幾何 體的三視圖可知:,垂直,法向,量,A(4,0,0),B(0,0,0),C(0,0,4),N(4,4,0),B1(0,8,0), C1(0,8,4). (1)設平面CNB1的法向量為n=(x,y,z), 因為 =(-4,-4,4), =(-4,4,0), 所以,所以令x=1,可解得平面CNB1的一個法向量n=(1,1,2), 設P(0,0,a)(0a4),由于M(2,0,0),則 =(2,0,-a), 又因為MP平面CNB1,

23、 所以 n=2-2a=0,即a=1, 所以在線段CB上存在一點P,使得MP平面CNB1,此時 BP=1.,(2)設平面C1NB1的法向量為m=(x,y,z), 因為 =(-4,4,4), =(-4,4,0), 所以 所以令x=1,可解得平面C1NB1的一個法向量為m=(1,1,0), 所以cos= = = .,由圖可知,所求二面角為銳角,即二面角C-NB1-C1余弦值為 .,【名師點睛】利用空間向量求解探索性問題的策略 (1)假設題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分結(jié)論.,(2)在這個前提下進行邏輯推理,把要成立的結(jié)論當作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點

24、的坐標(或參數(shù))是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.若由此推導出矛盾,則否定假設;否則,給出肯定結(jié)論.,【考向精練】 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AB=AC=2,AD=2 ,PB=3 ,PBAC.世紀金榜導學號,(1)求證:平面PAB平面PAC. (2)若PBA=45,試判斷棱PA上是否存在與點P,A不重合的點E,使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為 ,若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.,【解析】(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,AD=2 , 所以BC=AD=2 , 又AB=AC=2,所以AB2+AC2=BC2, 所以ACAB, 又PBAC,且ABP

25、B=B,所以AC平面PAB, 因為AC平面PAC,所以平面PAB平面PAC.,(2)由(1)知ACAB,AC平面PAB,如圖,分別以AB,AC所在直線為x軸、y軸,平面PAB內(nèi)過點A且與直線AB垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), =(0,2,0), =(-2,2,0), 由PBA=45,PB=3 ,可得P(-1,0,3), 所以 =(-1,0,3), =(-3,0,3), 假設棱PA上存在點E,使得直線CE與平面PBC所成角的正 弦值為 ,設 =(01),則 = =(-,0,3), = - =(-, -2,3), 設平面PBC的法向量為n=(x,y,z), 則 即 令z=1,可得x=y=1, 所以平面PBC的一個法向量為n=(1,1,1),設直線CE與平面PBC所成的角為,則 sin =|cos|= = = , 整理得32+4=0,因為00,故32+4=0無解,所以棱PA上不存在與點P,A不重合的點E,使得直線CE與平面PBC所成角的正弦值為 .,【加練備選】 (2018南通二模)如圖,在直角梯形 AA1B1B中,A1AB=90,A1B1AB, AB=