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1、1,(1) 可分離變量的微分方程,解法,分離變量法,(2) 齊次方程,解法,作變量代換,復(fù)習(xí),2,第四節(jié) 一階線性微分方程,一、線性微分方程 二、伯努利方程 三、小結(jié),3,一階線性微分方程的標準形式:,上方程稱為齊次的.,上方程稱為非齊次的.,一、線性方程,例如,線性的;,非線性的.,4,齊次方程的通解為,1. 線性齊次方程,一階線性微分方程的解法,(使用分離變量法),5,對應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,6,解法1:公式法,例1,7,解法二：常數(shù)變易法,原方程所對應(yīng)的齊次微分方程為：,分離變量得

2、,故其通解為,代入所給的非齊次方程，得,例1,8,兩邊積分得,故所求非齊次微分方程的通解為,9,例2. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同號,由一階線性方程通解公式 , 得,故方程可,變形為,所求通解為,10,伯努利方程的標準形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,二、伯努利(Bernoulli)方程,解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,11,求出通解后，將 代入即得,代入上式,12,解,例 3,伯努利方程.,13,例4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程:,解,所求通解為,14,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,15,例 求微分方程 的通解.,注意:,y=y(

3、 x ) x=x( y ) ,F( y , y , x )=0 G ( x , x , y ) =0,解,16,注意:,y=y( x ) x=x( y ) ,F( y , y , x )=0 G ( x , x , y ) =0,練習(xí):,17,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量方程,齊次方程,線性方程,線性方程,伯努利方程,18,三、小結(jié),1.齊次方程,2.線性非齊次方程,3.伯努利方程,作業(yè):P282:1-(3) (7)(9), 2-(2)(4), 6, 7-(3),19,( 雅各布第一 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.,標和極坐標下的曲率半徑公式,1695年,版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數(shù)學(xué)與概率論史,此外, 他對,雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究 .,20,例2 如圖所示，平行于 軸的動直線被曲 線

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