高考數學 3.3 三角函數的圖象與性質課件.ppt

1、第三節(jié) 三角函數的圖象與性質,【知識梳理】 1.必會知識教材回扣填一填 (1)周期函數: 周期函數:對于函數f(x),如果存在一個_,使得當x取_ _內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期 函數,_叫做這個函數的周期. 最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_ _,那么這個_就叫做f(x)的最小正周期.,非零常數T,定,義域,非零常數T,最小的正,數,最小正數,(2)正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質:,R,R,-1，1,-1，1,R,x|xR且x + k，kZ,(kZ),(kZ),2k-，,2k(kZ),2k，2k+,(kZ),(kZ),

2、2k(kZ),+2k(kZ),(k，0)，,kZ,x=k，kZ,2.必備結論教材提煉記一記 對稱與周期 正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是 周期. 正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.,3.必用技法核心總結看一看 (1)常用方法:數形結合法. (2)數學思想:函數與方程、數形結合. (3)記憶口訣:正(余)弦曲線,都是一條波浪線 波峰取得最大值,波谷處見最小值 波峰、波谷相連間,要么遞增要么減 兩條曲線很完美,中心對稱軸對稱,【小題快練】 1.思考辨析靜心思考判一判 (1)正弦函數y=sin x在其任一周期內都只有一個增區(qū)

3、間,一個減區(qū)間.() (2)余弦函數y=cos x的對稱軸是y軸.() (3)正切函數y=tan x在定義域內是增函數.() (4)若非零實數T是函數f(x)的周期,則kT(k是非零整數)也是函數f(x)的周期.(),【解析】(1)錯誤.如正弦函數y=sin x在0,2)上有兩個增區(qū)間 0, 和 ,2)(2)錯誤余弦函數y=cos x的對稱軸有無窮多 條，y軸只是其中的一條.(3)錯誤正切函數y=tan x在每一個區(qū)間 (k- ,k+ )(kZ)上都是增函數，但在定義域內不是單調函 數，故不是增函數.(4)正確.周期函數的周期不只一個，其某一周期 的非零整數倍全是其周期 答案：(1) (2)

4、(3) (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P40T3(2)改編)函數f(x)=4-2cos x的最小值是_，取得最小值時，x的取值集合為_. 【解析】f(x)min=4-2=2,此時， x=2k(kZ),x=6k(kZ),所以x的取值集合為x|x=6k,kZ 答案：2 x|x=6k,kZ,(2)(必修4P44例6改編)函數y=tan( )的最小正周期是_,單調增區(qū)間是_. 【解析】 由 ,得 x ,即函數的增區(qū)間是 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014陜西高考)函數f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是( ) 【解析】選B.由 ,故B正確.,(2)(

5、2014福建高考)將函數y=sin x的圖象向左平移 個單位，得到函數y=f(x)的函數圖象，則下列說法正確的是( ) A.y=f(x)是奇函數 B.y=f(x)的周期是 C.y=f(x)的圖象關于直線x= 對稱 D.y=f(x)的圖象關于點(- ，0)對稱,【解析】選D.將函數y=sin x的圖象向左平移 個單位, 得到函數 y=sin(x+ )=cos x的圖象該函數是偶函數，故A錯；周期為2， 故B錯；該函數圖象的對稱軸為x=k(kZ)，故C錯；對稱中心為 ( +k,0)(kZ)，故D正確,(3)(2015長春模擬)已知0,0，直線x= 和x= 是函數f(x)=sin(x)圖象的兩條相鄰

6、的對稱軸，則=( ) 【解析】選A.由于直線x= 和x= 是函數f(x)=sin(x)圖象的兩條相鄰的對稱軸，所以函數f(x)的最小正周期T=2，所以=1，所以 =k (kZ).又0，所以=,考點1 三角函數的定義域及簡單的三角不等式 【典例1】(1)函數f(x)=-2tan(2x+ )的定義域是( ) (2)不等式 +2cos x0的解集是_. (3)函數f(x)= +log2(2sin x-1)的定義域是_.,【解題提示】(1)利用正切函數的定義域求解. (2)利用余弦函數的圖象求解. (3)由題意列不等式組求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.由正切函數的定義域，得 即 (kZ)，故選D. (

7、2)由 +2cos x0, 得cos x 由余弦函數的圖象，得 在一個周期-,上，不等式cos x 的解集為x|- x 故原不等式的解集為 答案：,(3)由題意，得 由得-8x8,由得sin x ,由正弦曲線得 +2kx +2k(kZ). 所以不等式組的解集為 答案：,【易錯警示】解答本例(3)有三點容易出錯： (1)考慮問題不全面致錯. (2)列錯不等式2sin x-10,或解錯不等式2sin x-10. (3)不知道辨析大小而取錯交集，導致答案錯誤.,【互動探究】本例(2)改為求不等式 +2cos x0的解集，如何求？ 【解析】由 +2cos x0,得cos x 由余弦函數的圖象得，其解集

8、為,【規(guī)律方法】 1.三角函數定義域的求法 (1)應用正切函數y=tan x的定義域求函數y=Atan (x+)的定義域. (2)轉化為求解簡單的三角不等式求復雜函數的定義域. 2.簡單三角不等式的解法 (1)利用三角函數線求解. (2)利用三角函數的圖象求解.,【變式訓練】(2015深圳模擬)函數 的定義域為_. 【解析】要使函數有意義，必須使sin x-cos x0. 利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上y=sin x和y=cos x的圖象，如圖所示.,在0,2內，滿足sin x=cos x的x為 再結合正弦、余弦函數的周期是2，所以定義域為 答案：,【加固訓練】函數 的定義域是_. 【解

9、析】由1-tan2x0得tan2x1,即-1tan x1,由正切函數的圖象得不等式的解集為 答案：,考點2 三角函數的最值與值域 【典例2】(1)函數y=-2sin x-1,x )的值域是( ) A.-3,1 B.-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1 (2)(2015成都模擬)函數y=cos2x-2sin x的最大值與最小值分別 為( ) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2,【解題提示】(1)弄清角x的取值范圍，結合正弦曲線求解. (2)換元轉化為二次函數的最值. 【規(guī)范解答】(1)選D.由正弦曲線知y=sin x在 )上，-1 sin x ,所以函數y=-2sin x

10、-1,x )的值域是(-2,1.,(2)選D.y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令t=sin x,則t-1,1, y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax=2,ymin=-2.,【互動探究】本例(2)中，若x ，試求函數的值域. 【解析】因為y=cos2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1. 令t=sin x,則t , y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax= ,ymin= 故函數的值域是 .,【規(guī)律方法】三角函數最值或值域的三種求法 (1)直接法：利用sin x，cos x的值域

11、. (2)化一法：化為y=Asin(x)k的形式，確定x的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域. (3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，轉化為二次函數，求給定區(qū)間上的值域(最值)問題.,【變式訓練】1.(2015青島模擬)函數y=2sin( )(0 x9)的最大值與最小值之和為( ) 【解析】選A.利用三角函數的性質先求出函數的最值. 因為0 x9，所以 所以 所以y- ，2，所以ymaxymin=2- .,2.函數y=-2cos( )+1的最大值是_,此時x的取值集合為_. 【解析】ymax=-2(-1)+1=3， 此時， =2k+,即x=4k+ (kZ). 答案：,【加固訓

12、練】1.函數y=sin x-cos xsin xcos x，x0，的最小值是_. 【解析】設sin x-cos x=t， 因為x0，所以 所以t-1， ，sin xcos x= 所以 當t=-1時，ymin=-1. 答案：-1,2.函數 的值域為_. 【解析】由 ，得 因為-1cos x1，所以-1 1，解得 因此，原函數的值域為 答案：,【一題多解】本題還可如下求解： 因為-1cos x1,所以12-cos x3. 即原函數的值域為 答案：,考點3 三角函數的性質 知考情 求三角函數的單調區(qū)間，或已知函數在某區(qū)間上單調求參數的取值范圍，以及對三角函數奇偶性的考查是高考的重點，每年必考，常以選

13、擇題、填空題的形式出現.,明角度 命題角度1：三角函數的奇偶性與周期性 【典例3】(2015吉林模擬)函數 是( ) A.最小正周期為的奇函數 B.最小正周期為的偶函數 C.最小正周期為 的奇函數 D.最小正周期為 的偶函數 【解題提示】利用二倍角公式降冪化簡再判斷.,【規(guī)范解答】選A. 則函數為最小正周期為的奇函數.,命題角度2：三角函數的單調性 【典例4】(2015石家莊模擬)若f(x)=2sin x+1(0)在區(qū)間 上是增函數，則的取值范圍是_. 【解題提示】根據 是相應增區(qū)間的子集構造不等式求解.,【規(guī)范解答】由 得f(x)的增區(qū)間是 因為f(x)在 上是增函數， 所以 所以 且 ，所

14、以 答案：,【一題多解】解答本題，還有以下兩種解法: 方法一：因為x ,0. 所以x , 又f(x)在區(qū)間 上是增函數， 所以 則 又0， 得0,方法二：因為f(x)在區(qū)間 上是增函數，故原點到 的距離不超過 ，即 得T ,即 ,又0， 得0 答案：(0, ,悟技法 1.奇偶性與周期性的判斷方法 (1)奇偶性：由正、余弦函數的奇偶性可判斷y=Asin x和 y=Acos x分別為奇函數和偶函數. (2)周期性：利用函數y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(0)的周 期為 ,函數y=Atan(x+)(0)的周期為 求解.,2.求三角函數單調區(qū)間的兩種方法 (1)代換法：就是將比較復雜的三角

15、函數含自變量的代數式整體當作一個角(或t)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解. (2)圖象法：畫出三角函數的正、余弦曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間. 提醒：求解三角函數的單調區(qū)間時若x的系數為負應先化為正，同時切莫漏掉考慮函數自身的定義域.,3.已知三角函數的單調區(qū)間求參數的取值范圍的三種方法 (1)子集法：求出原函數的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解. (2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解. (3)周期法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超 過 周期列不等式(組)求解.,通

16、一類 1.(2015臨沂模擬)已知函數f(x)=4sin( -2x),x-,0,則f(x)的單調遞減區(qū)間是( ),【解析】選C.f(x)= 由 (kZ)，得 所以函數f(x)的減區(qū)間是 (kZ). 因為x-,0, 所以函數f(x)的減區(qū)間是,2.(2015福州模擬)函數f(x)=sin(x- )的圖象的一條對稱軸是( ) 【解析】選C.方法一：(圖象特征) 因為正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點， 故令x- =k ，kZ，所以x=k ，kZ. 取k=-1，則,方法二：(驗證法) x= 時，sin( - )=0，不合題意，排除A；x= 時， sin( - )= ，不合題意，排除B；x=-

17、 時，sin(- - )=-1，符合題意，C項正確；而x=- 時，sin(- - )= 不合題意，故D項也不正確.,3.(2015銀川模擬)已知函數f(x)=sin( )(xR),下面結論錯誤的是( ) A.函數f(x)的最小正周期為 B.函數f(x)是偶函數 C.函數f(x)的圖象關于直線x= 對稱 D.函數f(x)在區(qū)間0, 上是增函數,【解析】選C.f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x,故其最小正周期為,故A 正確；易知函數f(x)是偶函數，B正確；由函數f(x)=-cos 2x的圖象 可知，函數f(x)的圖象不關于直線x= 對稱，C錯誤；由函數f(x)的 圖象易知，函數f(x)

18、在0, 上是增函數，D正確.,4.(2015承德模擬)若函數f(x)=sin x(0)在0, 上單調遞增，在區(qū)間 上單調遞減，則=_. 【解析】方法一：由于函數f(x)=sin x(0)的圖象經過坐標原點，由已知并結合正弦函數的圖象可知， 為函數f(x)的 周期， 故 ,解得 方法二：由題意，得f(x)max=f( )=sin =1. 由已知并結合正弦函數圖象可知， 解得 答案：,巧思妙解6 巧用誘導公式解決奇偶性問題 【典例】(2015合肥模擬)把函數f(x)=sin(2x+)(0)的圖象向右平移 個單位，所得圖象對應的函數是偶函數，則的值 為( ),【常規(guī)解法】選D.平移后，所得圖象對應的函數是g(x)= sin2(x- )+=sin(2x+- ),由題意得，g(x)是偶函數，所以對xR,g(-x)=g(x)恒成立， 因此sin(-2x+- )=sin(2x+- ), 即-sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- ) =sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- )， 整理得sin 2xcos(- )=0.,因