一元函數(shù)積分知識(shí)點(diǎn)完整版

1、一元函數(shù)積分相關(guān)問題前言： 考慮到學(xué)習(xí)的效率問題，我在本文獻(xiàn)中常常會(huì)讓一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在分隔比較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)兩次。這種方法可以讓你在第二次遇到同樣的知識(shí)點(diǎn)時(shí)順便復(fù)習(xí)下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)第二次出現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)問題會(huì)稍微升華點(diǎn)，不做無用的重復(fù)。1 考查原函數(shù)與不定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，知道求不定積分與求微分是互逆的關(guān)系，理解不定積分的線性性質(zhì)。問題1：若的導(dǎo)函數(shù)是，則所有可能成為的原函數(shù)的函數(shù)是_。2 考查定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握定積分的定義與幾何意義，了解可積的充分條件和必要條件，掌握定積分的基本性質(zhì)。定積分的基本性質(zhì)有如下七點(diǎn)：1

2、、 線性性質(zhì)2、 對(duì)區(qū)間的可加性3、 改變有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不會(huì)改變定積分的可積性與積分值4、 比較定理（及其三個(gè)推論）5、 積分中值定理6、 連續(xù)非負(fù)函數(shù)的積分性質(zhì)7、 設(shè)在上連續(xù)，若在的任意子區(qū)間上總是有，則當(dāng)時(shí)，問題2：設(shè)，則有（）（A）（B）（C）（D）3 考查一元函數(shù)積分的基本定理講解：需要掌握變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性、原函數(shù)存在定理、不定積分與變限積分的關(guān)系，了解初等函數(shù)在定義域內(nèi)一定存在原函數(shù)但不一定能積出來，需要重點(diǎn)掌握牛頓萊布尼茲公式及其推廣。其中變限積分的求導(dǎo)方法為：設(shè)在上連續(xù)，和在上可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，則在上可以對(duì)求導(dǎo)，且牛頓萊布尼茲定理為：設(shè)在上連續(xù)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則

3、問題3：已知，求4 考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的積分性質(zhì)講解：需要掌握對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)、周期函數(shù)的積分性質(zhì)，學(xué)會(huì)用性質(zhì)化簡積分。問題4：設(shè)在上連續(xù)，則_。5 利用定積分的定義求某些數(shù)列極限講解：需要掌握把某些和項(xiàng)數(shù)列和積項(xiàng)數(shù)列求極限的問題轉(zhuǎn)化為求解定積分的方法。關(guān)鍵是確定被積函數(shù)、積分區(qū)間及區(qū)間的分點(diǎn)。常見的情形有：問題5：求6 考察基本積分表講解：需要掌握基本初等函數(shù)的積分公式。7 考察分項(xiàng)積分方法講解：利用不定積分（定積分）線性性質(zhì)把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡單函數(shù)的和，再求積分。問題6：求下列不定積分：8 考察定積分的分段積分方法講解：利用定積分的區(qū)間可加性把復(fù)雜的區(qū)間分解成幾個(gè)簡單

4、區(qū)間的和，再求積分。問題7：計(jì)算以下定積分：9 考察不定積分的分段積分方法講解：有時(shí)被積函數(shù)是用分段函數(shù)的形式表示的，這時(shí)應(yīng)該采用分段積分法。問題8：設(shè)函數(shù)，求10 考察不定積分的湊微分方法（第一換元法）講解：湊微分方法的具體過程為如下：設(shè)，且函數(shù)可導(dǎo)，則。若不好求，而好求，則可以采用這種方法。需要注意的是通常碰到的問題是求，其中并未表達(dá)為的形式，這時(shí)我們需要根據(jù)的特點(diǎn)選擇適合的。問題9：求下列不定積分：11 考察不定積分與定積分的第二換元法講解：需要掌握不定積分與定積分第二換元法的定理，掌握常見的變量替代。和第一換元法相反，若不好求，而好求，則可以采用這種方法，關(guān)鍵是如何選擇變量替換。這些我

5、在后面介紹。12 常用變量替換一：三角函數(shù)替換講解：三角函數(shù)替換法常用于被積函數(shù)中含有二次根式，一般的二次根式可先采用配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形式：1. 若則其可化成，令當(dāng)，令，則可化成，此時(shí)令（）當(dāng)，令，則可化成，此時(shí)令（且）2. 若則其可化成，令顯然此時(shí)（否則被積函數(shù)無意義），令，則可化成，此時(shí)令（）問題10：求下列不定積分：13 常用變量替換二：冪函數(shù)替換（簡單無理函數(shù)積分）講解：冪函數(shù)替換常用于被積函數(shù)中含有，的根式。對(duì)于第一個(gè)可令，則；對(duì)于第二個(gè)可令，則，再轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分。如果被積函數(shù)中同時(shí)含有，其中，是分?jǐn)?shù)，則令，其中是，分母的最小公倍數(shù)。問題11：求下列不定積分：14 常用變量替換三：

6、指數(shù)函數(shù)替換講解：當(dāng)被積函數(shù)含有或時(shí)，可考慮采用這種替換方法（，）問題12：求下列不定積分：15 常用變量替換四：倒替換講解：當(dāng)被積函數(shù)的分母最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)時(shí)，有時(shí)可以考慮倒替換（）問題13：求下列定積分：16 考察不定積分和定積分的分部積分法講解：需要掌握不定積分和定積分的分部積分法，并會(huì)用分部積分法推導(dǎo)遞推公式不定積分的分部積分法則為：假定與均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則（或?qū)懗桑┒ǚe分的分部積分法則為：若與在上連續(xù)，則（或?qū)懗桑┓植糠e分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)原則和，選取的原則一般為：容易積分，比容積計(jì)算。問題14：求和（）17 考察有理函數(shù)的積分講解：有理函數(shù)可以分解成多項(xiàng)式和真分式之和。積

7、分的關(guān)鍵是求真分式的積分。設(shè)有真分式。首先將因式分解，若分解后含有因子，（要求）(按照高等代數(shù)的知識(shí)，一定可以分解成不超過二次的因式)則采用待定系數(shù)法將分解為此時(shí)只含有四類積分：（為任意常數(shù)）（1）（2） （）（3）（4）其中可令，則，再利用分部積分法得到遞推公式求解。問題15：按照自己喜好填寫的值，再按照上面方法求積分。18 考察三角有理式的積分講解：所謂三角有理式是指以與為變量的有理函數(shù)，即為。此時(shí)總可以采用萬能代換使被積函數(shù)有理化，即問題16：求下列不定積分：19 利用定積分的幾何意義求定積分的值講解：若是熟知的平面圖形的面積，則可以直接使用幾何意義求解定積分的值。問題17：求下列定積分

8、：20 利用被積函數(shù)的分解與結(jié)合來求定積分的積分值講解：有時(shí)我們可以采用分項(xiàng)積分將被積函數(shù)進(jìn)行分解，再對(duì)其中某幾項(xiàng)采用第二換元法轉(zhuǎn)換為另一種形式，再與其他項(xiàng)結(jié)合在一起求解積分。問題18：求下列定積分：21 考察反常積分講解：反常積分我們專業(yè)考察較弱（不知道你們數(shù)學(xué)專業(yè)如何），重點(diǎn)考察無窮區(qū)間上反常積分的概念、瑕積分的概念、用定義判斷反常積分的收斂性及計(jì)算積分值，需要掌握常見反常積分的收斂性判斷、反常積分的運(yùn)算法則。問題19：計(jì)算下列反常積分的值：（1）（2）22 考察與定積分概念有關(guān)的題目（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問題20：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足，求23 利用定積分的基本性質(zhì)確定積分值

9、的符合（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)四和知識(shí)點(diǎn)十六。問題21：函數(shù)，其中，則（）（A） 為正數(shù)（B） 為負(fù)數(shù)（C） 為零（D） 不是常數(shù)24 根據(jù)定積分的比較定理證明積分不等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問題22：證明下列不等式：25 考察原函數(shù)的存在定理（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三。問題23：設(shè)在內(nèi)有定義，又在內(nèi)僅有一個(gè)間斷點(diǎn)，且為第一類間斷點(diǎn)，討論在內(nèi)是否存在原函數(shù)？26 考察常用的不定積分計(jì)算方法（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)十八（除了知識(shí)點(diǎn)八）。問題24：（1）（2） （）（3）27 考察常用的定積分計(jì)算方法（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)

10、點(diǎn)二十（除了知識(shí)點(diǎn)九）。問題25：（1）（2）28 考察分段函數(shù)的積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)八，知識(shí)點(diǎn)十一。問題26：設(shè)函數(shù)在內(nèi)滿足，且，求29 考察廣義積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二十一。問題27：計(jì)算下列反常積分：30 利用換元法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十一到十五。（我們專業(yè)每年都至少會(huì)考察一個(gè)證明題）問題28：假定下列所涉及的反常積分均收斂，證明：31 利用分部積分法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十六。問題29：設(shè)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求證：32 利用變限積分證明積分不等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二和知識(shí)點(diǎn)三。問題30：設(shè)與在上連續(xù)，且同為單調(diào)不減函數(shù)，證明：33 利用分部積分證明積分不等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二和知識(shí)點(diǎn)十六。問題31：設(shè)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且記，證明：34 變