圓錐曲線復(fù)習(xí)_課件.ppt

1、安丘市青云學(xué)府二數(shù)學(xué)組 謝大強,圓錐曲線復(fù)習(xí),復(fù)習(xí)專題,1.橢圓的定義 平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為常數(shù)2a ( )的點的軌跡叫橢圓.有|PF1|+|PF2|=2a. 在定義中，當(dāng) 時，表示線段F1F2;當(dāng) 時,不表示任何圖形.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.橢圓的標準方程 (1) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦點坐標為 . (2) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦點坐標為 .,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),4.橢圓 =1 (ab0)的幾何性質(zhì) (1)范圍：|x|a,|y|b，橢圓在一個矩形區(qū)域內(nèi)；

2、 (2)對稱性：對稱軸x=0，y=0，對稱中心O(0，0)； 一般規(guī)律：橢圓有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點的連線及兩焦點連線段的中垂線.,(3)頂點:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),長軸長|A1A2|= ，短軸長|B1B2|= ; 一般規(guī)律：橢圓都有四個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點. (4)離心率：e= (0e1)，橢圓的離心率在 內(nèi),離心率確定了橢圓的形狀(扁圓狀態(tài)).當(dāng)離心率越接近于 時,橢圓越圓;當(dāng)離心率越接近于 時，橢圓越扁平.,2a,2b,(0,1),0,1,5 .雙曲線的定義 平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(且 )

3、的點的軌跡叫雙曲線，有|MF1|-|MF2|=2a. 在定義中，當(dāng) 時表示兩條射線,當(dāng) 時,不表示任何圖形.,02a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,6.雙曲線的標準方程 (1)焦點在x軸上的雙曲線: ,其中 ,焦點坐標為F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦點在y軸上的雙曲線: ,其中c2=a2+b2，焦點坐標為F1(0,-c),F2(0,c).,c2=a2+b2,7.雙曲線 (a0,b0)的幾何性質(zhì) (1)范圍： ,yR； (2)對稱性：對稱軸x=0,y=0，對稱中心(0，0)； 一般規(guī)律：雙曲線有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點連線及兩焦點連線段的中垂線.,|x|a,

4、(3)頂點：A1(-a,0),A2(a,0)；實軸長 ，虛軸長 ; 一般規(guī)律：雙曲線都有兩個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點. (4)離心率e= ( )；雙曲線的離心率在(1,+)內(nèi)，離心率確定了雙曲線的形狀. (5)漸近線：雙曲線 的兩條漸近線方程為 ;雙曲線 的兩條漸近線方程為 .,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,e1,y= x,y= x,雙曲線有兩條漸近線，他們的交點就是雙曲線的中心；焦點到漸近線的距離等于虛半軸長b;公用漸近線的兩條雙曲線可能是:a.共軛雙曲線；b.放大的雙曲線；c.共軛放大或放大后共軛的雙曲線. 已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的

5、標準方程中的“1”為“0”就得到兩條漸近線方程，即方程 就是雙曲線 的兩條漸近線方程.,8.拋物線的定義 平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l(Fl)距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的 . 2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì),準線,x軸,y軸,F(- ,0),F(0, ),x=-,y=,9.直線與圓的位置關(guān)系的判斷 由圓心到直線的距離d與圓半徑r比較大小判斷位置關(guān)系;(1)當(dāng)dr時,直線與圓 ;(2)當(dāng)d=r時,直線與圓 ;(3)當(dāng)dr時，直線與圓 . 10.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷 判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(

6、或x)得一個關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.,相離,相切,相交,(1)當(dāng)a0時,則有 ,l與C相交; ,l與C相切; ,l與C相離; (2)當(dāng)a=0時，即得到一個一次方程，則l與C相交,且只有一個交點,此時,若曲線C為雙曲線,則l 于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l 于拋物線的對稱軸.,0,=0,0,平行,平行,11.弦長公式 連接圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.要能熟練地利用方程與根的系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式|AB|= = .當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理”設(shè)而不求計算弦長.,12.曲線與方程的關(guān)系 一

7、般的，在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上的點的坐標都是這個 ; (2)以這個方程的解為坐標的點均是 .那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.,方程的解,曲線上的點,13.求軌跡方程的基本思路 (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼?，設(shè)曲線上的任意一點（動點）坐標為M(x,y). (2)寫出動點M所滿足的 . (3)將動點M的坐標 ,列出關(guān)于動點坐標的方程f(x,y)=0. (4)化簡方程f(x,y)0為最簡形式. (5)證明（或檢驗）所求方程表示的曲線上的所有點是否都滿足已知條件

8、.,幾何條件的集合,代入幾何條件,注意：第（2）步可以省略，如果化簡過程都是等價交換，則第（5）可以省略；否則方程變形時，可能擴大（或縮?。﹛、y的取值范圍，必須檢查是否純粹或完備（即去偽與補漏）. 14.求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x,y的等式就得到曲線的軌跡方程；,(2)定義法：某動點的軌跡符合某一基本軌跡(如直線、圓錐曲線)的 ,則可根據(jù)定義采用設(shè)方程求方程系數(shù)得到動點的軌跡方程； (3)代入法(相關(guān)點法)：當(dāng)所求動點M是隨著另一動點P(稱之為相關(guān)點)而運動

9、，如果相關(guān)點P滿足某一曲線方程，這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標，再把相關(guān)點代入曲線方程，就把相關(guān)點所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動點的軌跡方程；,定義,(4)參數(shù)法：有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間等)的制約，即動點坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程； (5)交軌法：在求兩動曲線交點的軌跡問題時，通過引入?yún)⒆兞壳蟪鰞汕€的軌跡方程，再聯(lián)立方程，通過解方程組消去參變量，直接得到x,y的關(guān)系式.,1.動點P到兩定點F1(-3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距

10、離之和等于6，則點P的軌跡是( ),C,A.橢圓 B.圓 C.線段F1F2 D.直線F1F2,課堂練習(xí),2.橢圓 + =1的焦點坐標是 ,若弦CD過左焦點F1,則F2CD的周長是 .,( ,0),16,由已知，半焦距c= = ,故焦點坐標為( ,0),F2CD的周長為4a=44=16.,3.中心在坐標原點,焦點在y軸上,經(jīng)過點( ,0),離心率為 的橢圓方程為 .,=1,b=3 e= = a2=b2+c2 又橢圓焦點在y軸上,故其方程為 =1.,a=2 b=3.,解得,依題設(shè),4.已知M為線段AB的中點,|AB|=6,動點P滿足|PA|+|PB|=8,則PM的最大值為 ,最小值為 .,4,依題

11、意可知，P點軌跡為以A、B為焦點的橢圓，M為橢圓中心，且半焦距為3，半長軸為4，則|PM|的最大值為4，最小值為半短軸 .,5.橢圓 =1(ab0)的焦點為F1、F2，兩條直線x= (c2=a2-b2)與x軸的交點為M、N，若MN2|F1F2|,則該橢圓的離心率e的取值范圍是 ., ,1),由已知|MN|=2 . 又|MN|2|F1F2|,則2 4c, 從而 ,故 1,故e ,1).,1.在解題中凡涉及橢圓上的點到焦點的距離時，應(yīng)利用定義求解. 2.求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義法外，常用待定系數(shù)法.當(dāng)橢圓的焦點位置不明確，可設(shè)方程為 + =1(m0,n0),或設(shè)為Ax2+By2=1(A0

12、,B0).,3.橢圓中有“兩線”(兩條對稱軸)，“六點”(兩個焦點、四個頂點)，注意它們之間的位置關(guān)系(焦點在長軸上等)及相互間的距離(如焦點到相應(yīng)頂點的距離為a-c等).,6.雙曲線 =1的實軸長是 ，焦點坐標是 .,8,（0,5),7.方程 =1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是 .,(-,-1)(1,+),由題設(shè)及雙曲線標準方程的特征可得(1+k)(1-k)1.,8.已知雙曲線 =1右支上一點P到左焦點F1的距離為12，則點P到右焦點F2的距離為 ;右支上滿足上述條件的點P有 個.,2,1,由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=2a=10， 所以|PF2|=12-10=2. 又焦點坐標F

13、1（-7，0），F(xiàn)2（7，0），頂點坐標為（5，0）， 所以滿足條件的點只有一個，即為右頂點.,9.若雙曲線 =1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率 .,e=,由已知，兩漸近線方程為y= x, 由兩漸近線互相垂直得 (- )=-1,即a=b. 從而e= = = .,10.若雙曲線C的焦點和橢圓 =1的焦點相同，且過點(3 ,2)，則雙曲線C的方程是 .,=1,由已知半焦距c2=25-5=20,且焦點在x軸上，設(shè)雙曲線C的方程為 =1, a2+b220 a2=12 =1 b2=8, 故所求雙曲線的方程為 =1.,則,求得,1.a,b,c有關(guān)系式c2=a2+b2成立，且a0,b0,c0.其中a

14、與b的大小關(guān)系，可以為a=b,ab. 2.雙曲線的幾何性質(zhì)的實質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點”（兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點），“四線”（兩條對稱軸、兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點以及虛軸端點構(gòu)成的三角形，雙曲線上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形）研究他們之間的相互聯(lián)系.,3.橢圓是封閉性曲線，而雙曲線是開放性的.又雙曲線有兩支，故在應(yīng)用時要注意在哪一支上. 4.根據(jù)方程判定焦點的位置時，注意與橢圓的差異性. 5.求雙曲線的標準方程時應(yīng)首先考慮焦點的位置，若不確定焦點的位置時，需進行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB0).,6.與雙曲線 共漸近線的雙曲線方程為 =(0). 與雙

15、曲線 共焦點的圓錐曲線方程為 (a2,且-b2). 7.雙曲線的形狀與e有關(guān)系:k= = = = ，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.,11.平面內(nèi)，動點M到定點F（0,-3）的距離比它到直線y-2=0的距離多1,則動點M的軌跡方程是 .,x2=-12y,依題設(shè)，動點M到定點F(0,-3)的距離等于它到定直線y=3的距離，由拋物線的定義可知，其軌跡方程為x2=-12y.,12.拋物線y=- x2的焦點坐標是 ，準線方程是 .,y=1,(0,-1),拋物線的標準方程是x2=-4y，所以焦點坐標為（0，-1）

16、，準線方程為y=1.,13.拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且焦點到準線的距離為4,則該拋物線的標準方程為 .,y2=8x,依題設(shè)，設(shè)拋物線的方程為y2=ax,且|a|=24=8,即a=8，故拋物線方程為y2=8x.,14.拋物線y2=4x上一點到其焦點F的距離為5,則點P的坐標是 .,(4,4),由拋物線的定義，|PF|等于P點到準線x=-1的距離，則xP-(-1)=5，得xP=4. 又y2=4x，得yP=4. 故點P的坐標為（4，4).,15.已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 .,由拋物線的定義，連接點(0,2)

17、和拋物線的焦點F( ,0),交拋物線于點P，則點P使所求的距離最小，且其最小值為 = .,1.類比圓錐曲線統(tǒng)一定義. (1)拋物線定義的集合表示:P=M| =1,即P=M|MF|=d. (2)圓錐曲線的統(tǒng)一定義為P=M| =e (e0).當(dāng)01時，曲線為雙曲線；當(dāng)e=1時，曲線為拋物線.,2.定義及標準方程的理解. (1)求拋物線的標準方程，要先根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時，知道拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者之間是相依并存的，知道其中一個，就可以求出其他兩個. (2)焦點弦公式：對于過拋物線焦點的弦長，可用焦半徑公式推出弦長公式.設(shè)過拋物線y2=2

18、px(p0)的焦點F的弦為AB,A(x1,y1),B(x2,y2),則有|AB|x1+x2+p.,(3)與橢圓、雙曲線相比，拋物線沒有對稱中心，只有一個焦點，一條準線，一個頂點，一條對稱軸，且離心率為常數(shù)1. (4)拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的 . (5)拋物線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號，則拋物線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號，則拋物線的開口方向為x軸或y軸的負方向.,16.若ab且ab0,則直線ax-y+b=0和二次曲線bx2+ay2=ab的位置關(guān)系可能是( ),C,由已知，直線方程可化為y

19、=ax+b,其中a為斜率,b為縱截距，二次曲線方程可化為 =1，應(yīng)用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故選C.,17.直線x+y=2與橢圓x2+ky2=1有公共點，則k的取值范圍是 .,(0, ,18.過原點的直線l:y=kx與雙曲線C: =1有兩個交點，則直線l的斜率k的取值范圍是 .,由于雙曲線的漸近線的方程為y= x,數(shù)形結(jié)合可知l與C有兩個交點，則直線l夾在兩漸近線之間，從而- k .,19.設(shè)拋物線C:y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線C有兩個公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍是 .,(0, )( ,),由題意可得Q(-2,0), 則l的方程可設(shè)為y=k(x+2)

20、，代入y2=8x, 得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.由于l與C有兩個公共點, k20 =16(k2-2)2-16k40, 解得-1k0或0k1,即-1tan0或0tan1, 故 或0 .,因此,20.直線y=kx-2與橢圓x2+4y2=80相交于不同的兩點P、Q,若PQ的中點的橫坐標為2,則弦長|PQ|等于 .,6,y=kx-2 x2+4y2=80 （1+4k2)x2-16kx-64=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2= =22, 得k= ,從而x1+x2=4,x1x2= =-32, 因此|PQ|= |x1-x2|= =6 .,由于,，消去整理得,1.直線與圓錐

21、曲線位置關(guān)系探究方法. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度來看有三種：相離、相交和相切.從代數(shù)角度一般通過他們的方程來研究： 設(shè)直線l:Ax+By+C=0，二次曲線C:f(x,y)=0.聯(lián)立方程組 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一個關(guān)于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的個數(shù)判定，同時應(yīng)注意如下四種情況：,(1)對于橢圓來說，a不可能為0，即直線與橢圓有一個公共點，直線與橢圓必相切；反之，直線與橢圓相切，則直線與橢圓必有一個公共點. (2)對于雙曲線來說，當(dāng)直線與雙曲線有一個公共點時，除了直線與雙曲線相切外，還有直線與雙曲

22、線相交，此時直線與雙曲線的漸近線平行. (3)對于拋物線來說，當(dāng)直線與拋物線有一個公共點時，除了直線與拋物線相切外，還有直線與拋物線相交，此時直線與拋物線的對稱軸平行或重合.,(4)0直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件. (5)0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件.,2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.在做題時，最好先畫出草圖，注

23、意觀察、分析圖形的特征，將形與數(shù)結(jié)合起來.特別地： (1)過雙曲線 =1外一點P(x0,y0)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條；,P點在兩漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時，不存在這樣的直線. (2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.,3.特殊弦問題探究方法. (1)若弦過焦點

24、時（焦點弦問題），焦點弦的弦長的計算一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用焦半徑公式求解. (2)若問題涉及弦的中點及直線斜率問題（即中點弦問題），可考慮“點差法”（即把兩點坐標代入圓錐曲線方程，然后兩式作差），同時常與根和系數(shù)的關(guān)系綜合應(yīng)用.,21.方程|x|-1= 表示的曲線是( ),D,A.一個圓 B.兩個圓 C.半個圓 D.兩個半圓,由于|x|-1= (|x|-1)2+(y-1)2=1 |x|-10 x1 x-1 (x-1)2+(y-1)2=1 (x+1)2+(y-1)2=1 曲線是兩個半圓，故選D.,或,22.設(shè)P為雙曲線 -y2=1上一動點,O為坐標原點，M

25、為線段OP的中點，則點M的軌跡方程為 .,x2-4y2=1,(代入法)設(shè)M(x,y)，P(x1,y1)， 則 -y12=1. x= x1=2x y= y1=2y,又,即,代入得x2-4y2=1.,(直推法)依題設(shè), |PF1|+|PF2|=25=10 |PQ|=|PF2|, 則|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10, 則動點Q的軌跡是以F1為圓心,10為半徑的圓, 其方程為(x+4)2+y2=100.,23.已知橢圓 =1的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓上一動點,延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,則動點Q的軌跡方程是 .,(x+4)2+y2=100,24.

26、平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足 = + ,其中、R,且+=1,則點C的軌跡方程是 .,x+2y-5=0,（參數(shù)法）設(shè)C(x,y). 由 = + ,得(x,y)=(3,1)+(-1,3), x=3- y=+3. 而+=1, x=4-1 y=3-2,即,則,消去得x+2y-5=0.,25.設(shè)A1、A2是橢圓 =1長軸的兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點M的軌 跡方程是 .,(交軌法)由已知,A1(-3,0),A2(3,0). 設(shè)P1(x1,y1),則P2(x1,-y1),交點M(x,y), 則由A1、P1、

27、M三點共線,得 = . 又A2、P2、M三點共線，得 = . 得 = . 又 =1,即 = , 從而 = ,即 .,1.曲線與方程關(guān)系的理解. (1)曲線方程的實質(zhì)就是曲線上任意一點的橫、縱坐標之間的關(guān)系，這種關(guān)系同時滿足兩個條件：曲線上所有點的坐標均滿足方程；適合方程的所有點均在曲線上. (2)如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0.,(3)視曲線為點集，曲線上的點應(yīng)滿足的條件轉(zhuǎn)化為動點坐標所滿足的方程，則曲線上的點集(x,y)與方程的解集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系. 2.求軌跡方程方法實質(zhì)剖析. (1)軌跡問題的實質(zhì)就是用動點的兩坐標x,y一一對應(yīng)的揭示曲線方程解的關(guān)系.在實際計算時，我們可以簡單地認為，求曲線方程就是求曲線上動點的坐標之間的關(guān)系.當(dāng)兩坐標之間的關(guān)系為直接關(guān)系f(x,y)=0，就是曲線方程的普通形式;,當(dāng)x,y的關(guān)系用一個變量(如t變量)表示時，坐標之間的關(guān)系就是間接關(guān)系，這時的表示式就是曲線的參數(shù)方程.所以解決問題時，應(yīng)該緊緊圍繞尋找點的兩坐標之間的關(guān)系展開探究. (2)定義法求軌跡是不同于其他求軌跡的思維方法，它從動點運動的規(guī)律出發(fā)，整體把握點在運動中不動的、不變的因素，從而得到了動點運動規(guī)律滿足某一關(guān)系，簡單地說，就是在思維的初期，先不用設(shè)點的坐標，而直接找動點所滿足的幾何性質(zhì)