高中數學 第2章 平面向量 2.4.2 數量積的坐標表示學案 蘇教版必修

1、第2課時數量積的坐標表示1理解兩個向量數量積坐標表示的推導過程，能運用數量積的坐標表示進行向量數量積的運算(重點)2能根據向量的坐標計算向量的模，并推導平面內兩點間的距離公式(重點)3能根據向量的坐標求向量的夾角及判定兩個向量垂直(重點、難點)基礎初探教材整理1平面向量數量積的坐標運算閱讀教材P86“思考”以上內容，完成下列問題若兩個向量為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和1已知a(1，1)，b(2,3)，則ab_.【解析】a(1，1)，b(2,3)，ab1231.【答案】12已知a(2，x)，b(0,1)，若ab3，則x_

2、.【解析】a(2，x)，b(0,1)，abx3.【答案】3教材整理2向量的長度、夾角、垂直的坐標表示閱讀教材P86“思考”P87“例2”以上部分內容，完成下列問題1向量的模：設a(x，y)，則a2x2y2，即|a|.2向量的夾角公式：設兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，它們的夾角為，則cos .特別地，若ab，則x1x2y1y20；反之，若x1x2y1y20，則ab.1已知a(5,5)，b(0，3)，則|a|_，a與b的夾角為_【解析】ab15，|a|5，|b|3，cos ，又0，.【答案】52已知a(3,1)，b(x，5)，若ab，則x_.【解析】ab，ab0，3x50，x.【

3、答案】質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型數量積的坐標運算已知a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c.【精彩點撥】先求相關向量的坐標，再代入坐標運算表達式求解【自主解答】(1)ab123517.(2)ab(3,8)，2ab(4,11)，(ab)(2ab)1288100.(3)(ab)c17c(34,17)利用數量積的條件求平面向量的坐標，一般來說應當先設出向量的坐標，然后根據題目中已知的條件，找出向量坐標滿足的等量關系，利用數量積的坐標運算，列出方程組來進

4、行求解.再練一題1已知a與b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐標；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.【解】(1)設ab(，2)(0)，則有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab122410，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)向量的夾角已知A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值【精彩點撥】先求，再代入向量夾角公式求BAC的余弦值【自主解答】(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.已知a，b的坐標求夾角時，應先求出a，b及|a|，|b|，再代入夾角公

5、式，由夾角的余弦值確定夾角的大小.再練一題2已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，則a與c的夾角為_【解析】ab10，(cb)acabaca10，ca.設a與c的夾角為，則cos .又0，180，120.【答案】120探究共研型向量平行與垂直的綜合應用探究1已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，則其坐標間滿足什么等量關系？ab呢？【提示】abx1y2x2y10；abx1x2y1y20.探究2在ABC中，已知點A，B，C的坐標，如何用向量法求BC邊上的高的大??？【提示】設高AD交邊BC于點D，由B，D，C三點共線及0可求點D的坐標，進而可求|.已知在ABC中，A(2

6、，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD為BC邊上的高，求|與點D的坐標 【導學號：】【精彩點撥】設D(x，y)，由及0可求D，進而求|.【自主解答】設點D坐標為(x，y)，則(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直線BC上，即與共線，存在實數，使，即(x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得即D點坐標為(1,1)，(1,2)，|，即|，D(1,1)1向量的垂直問題主要借助于結論：abab0x1x2y1y20，把幾何問題轉化為代數問題它對于解決向量以及平面幾何圖形中有關垂直問題十分

7、有效，應熟練掌握2兩個向量共線的坐標表示與兩個向量垂直的坐標表示截然不同，不能混淆再練一題3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m與向量n的夾角的大小【解】(1)ab，3x360，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，設m，n的夾角為，則cos .0，即m，n的夾角為.構建體系1已知a(1,3)，b(2，1)，則a與b的夾角為_【解析】cos ，又0,2，.【答案】2已知a(4,7)，b(5，2)，則|ab|

8、_.【解析】因為ab(9,9)，所以|ab|9.【答案】93向量m(x5,1)，n(4，x)，mn，則x_.【解析】4(x5)x0，x4.【答案】44設向量a(1,0)，b，則下列結論中正確的是_|a|b|；ab；ab與b垂直；ab.【解析】由題知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab與b垂直【答案】5已知三點A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求證：ABAD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標并求矩形ABCD的對角線的長度 【導學號：】【解】(1)證明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)則1(3)130，即ABAD.(2

9、)，四邊形ABCD為矩形，.設C點的坐標為(x，y)，則(x1，y4)，從而有即C點的坐標為(0,5)(4,2)，|2，即矩形ABCD的對角線的長度為2.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(二十二)數量積的坐標表示(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1設a(1，2)，b(3,1)，c(1,1)，則(ab)(ac)等于_【解析】ab(4，1)，ac(2，3)，(ab)(ac)24(1)(3)11.【答案】112已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab與a共線，那么ab的值為_【解析】依題意得ab(3，k2)，由ab與a共線，得3k1(k2)0，解得k1，

10、所以ab22k4.【答案】43(2016南通高一檢測)已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b上的投影為_. 【導學號：】【解析】a(2,3)，b(4,7)，ab2(4)3713，|a|，|b|，cos ，a在b上的射影為|a|cos .【答案】4已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，則向量a，b的夾角為_【解析】由于2ab(4,2)，則b(4,2)2a(2,0)，則ab2，|a|，|b|2.設向量a，b的夾角為，則cos .又0，所以.【答案】5(2016南京高一檢測)已知O是坐標原點，A，B是坐標平面上的兩點，且向量(1,2)，(3，m)若AOB是直角三角形，則m_.【解析】在RtAOB

11、中，(4，m2)，若OAB為直角時，0，可得m4；若AOB為直角時，0，可得m；若OBA為直角時，無解【答案】或46設a(4，3)，b(2,1)，若atb與b的夾角為45，則實數t的值為_【解析】atb(4，3)t(2,1)(42t，t3)，(atb)b(42t)2(t3)15t5.|atb|.由(atb)b|atb|b|cos 45，得5t5，即t22t30，t3或t1，經檢驗t3不合題意，舍去t1.【答案】17已知a(4,2)，則與a垂直的單位向量b_.【解析】設b(x，y)，則由得或【答案】或8(2016鹽城高一檢測)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿足(ca)b，c(ab)

12、，則c_.【解析】不妨設c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，對于(ca)b，則有3(1m)2(2n)又c(ab)，則有3mn0，m，n，c.【答案】二、解答題9已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a與b的夾角的余弦；(2)若(ab)(2ab)，求實數的值【解】(1)ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，又(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.10已知a(1,2)，b(1，)，分別確定實數的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角【解】設a與b的夾

13、角為，|a|，|b|，ab(1,2)(1，)12.(1)因為a與b的夾角為直角，所以ab0，所以120，所以.(2)因為a與b的夾角為鈍角，所以cos 0且cos 1，即ab0且a與b不反向由ab0，得120，故0且cos 1，即ab0且a，b不同向由ab0，得，由a與b同向，得2，所以的取值范圍為(2，)能力提升1(2016泰州高一檢測)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，若bc0，則t_.【解析】|a|b|1，a，b60，ab，|b|21，bctab(1t)b2t(1t)1t0，t2.【答案】22以原點O及點A(5,2)為頂點作等腰直角三角形OAB，使A90，則的坐標為_【解析】設(x，y)，由|，得.由，得5x2y0聯立，解得x2，y5或x2，y5.故(2,5)或(2，5)【答案】(2,5)或(2，5)3如圖243，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是_圖243【解析】以A為坐標原點，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，x.又，x1，(1，2)，22.【答案】4已知(2,1