泛函分析第3章__連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函

1、第3章 連續(xù)線性算子與連續(xù)線性泛函本章將介紹賦范線性空間上，特別是Banach空間上的有界線性算子與有界線性泛函的基本理論，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鳴定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他們是泛函分析早期最光輝的成果，有廣泛的實(shí)際背景，尤其在各種物理系統(tǒng)研究中應(yīng)用十分廣泛。3.1 連續(xù)線性算子與有界線性算子在線性代數(shù)中，我們?cè)龅竭^把一個(gè)維向量空間映射到另一個(gè)維向量空間的運(yùn)算，就是借助于行列的矩陣對(duì)中的向量起作用來達(dá)到的。同樣，在數(shù)學(xué)分析中，我們也遇到過一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)或者一個(gè)數(shù)的運(yùn)算，即微分和積分的運(yùn)算等。把上述的所有運(yùn)算抽象化后，我們就得到一般賦范線性空間中的算子

2、概念。撇開各類算子的具體屬性，我們可以將它們分成兩類：一類是線性算子；一類是非線性算子。本章介紹有界線性算子的基本知識(shí)，非線性算子的有關(guān)知識(shí)留在第5章介紹。定義3.1 由賦范線性空間中的某子集到賦范線性空間中的映射稱為算子，稱為算子的定義域，記為，為稱像集為算子的值域，記作或。若算子滿足：（1）（2）稱為線性算子。對(duì)線性算子，我們自然要求是的子空間。特別地，如果是由到實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）域的映射時(shí)，那么稱算子為泛函。例3.1 設(shè)是賦范線性空間，是一給定的數(shù)，映射是上的線性算子，稱為相似算子；當(dāng)時(shí)，稱為單位算子或者恒等算子，記作。例3.2 ，定義由積分的線性知，是到空間中的線性算子。若令則是上的線性泛函

3、。定義3.2 設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，是線性算子，稱在點(diǎn)連續(xù)的，是指若，則；若在上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在上連續(xù)；稱是有界的，是指將中的有界集映成中有界集。定理3.1 設(shè)是賦范線性空間，是的子空間到中的線性算子，若在某一點(diǎn) 連續(xù)，則在上連續(xù)。證明：對(duì)，設(shè)，且，于是，由假設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，有因此，即在點(diǎn)連續(xù)。由的任意性可知，在上連續(xù)。定理3.1說明線性算子若在一點(diǎn)連續(xù)，可推出其在定義的空間上連續(xù)。特別地，線性算子的連續(xù)性可由零元的連續(xù)性來刻畫，即線性算子連續(xù)等價(jià)于若（中零元），則（中零元）。例3.3 若是維賦范線性空間到賦范線性空間中的線性算子，則在上連續(xù)。證明：在中取一組基，設(shè)且，即，則從而。于

4、是因此，即在處連續(xù)，進(jìn)而在上每點(diǎn)連續(xù)。定理3.2 設(shè)是賦范線性空間，是的子空間到中的線性映射，則有界的充分必要條件是：存在常數(shù)，使不等式成立，即 證明：必要性。因有界，所以將中的閉單位球映成中的有界集，即像集是中的有界集。記，此時(shí)，對(duì)每個(gè)，由的定義有 （3.1）即，而當(dāng)時(shí)，不等式（3.1）變成等式。故有 充分性。設(shè)是的任一有界集，則存在常數(shù)使。由知故有界。證畢。定理3.3 設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，是從的子空間到中的線性映射，則是連續(xù)的充要條件是是有界的。證明：充分性。設(shè)有界，則存在常數(shù)，使對(duì)一切，從而對(duì)有即。所以，是連續(xù)的。必要性。若連續(xù)但是無界的，那么對(duì)每個(gè)，必存在，使，令，那么，即，由的連續(xù)

5、性，但是另一方面，引出矛盾，故有界。定理3.3說明，對(duì)于線性算子，連續(xù)性與有界性是兩個(gè)等價(jià)概念，今后用表示到的有界線性算子組成的集合。例3.1 ，例3.2的線性算子均易證明是有界線性算子，但無界線性算子是存在的。例3.4 考察定義在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)全體，記作，其中范數(shù)定義為，不難證明，微分算子是把映入中的線性算子。取函數(shù)列，顯然，但因此，微分算子是無界的。定義3.3 設(shè)是賦范線性空間，是從到的有界線性算子，對(duì)一切，滿足的正數(shù)的下確界，稱為算子的范數(shù)，記作。由定義可知，對(duì)一切，都有。定理3.4 設(shè)是賦范線性空間，是從到的有界線性算子，則有證明：由，易得 （3.2）根據(jù)的定義，對(duì)于任給的，存在

6、非零，使令，則有，因此令得 （3.3）由式（3.2）和式（3.3），便得而，由定義易知。例3.5 在上定義算子如下（1）把視為到的算子，求；（2）把視為到的算子，求。解：算子的線性是顯然的，下面分別求。（1）設(shè)：，任取，由于，從而 故是有界的，并且。另一方面，取，并且于是故。（2）設(shè)：，任取，由于，從而 因此，是有界的，并且；另一方面，對(duì)任何使得的自然數(shù)，作函數(shù)顯然,且，而所以，又有因此，。此例告訴我們，雖然形式上是一樣的算子，但由于視作不同空間的映射，他們的算子范數(shù)未必相同。一般說來，求一個(gè)具體算子的范數(shù)并不容易，因此，在很多場(chǎng)合，只能對(duì)算子的范數(shù)作出估計(jì)。例3.6 設(shè)在上連續(xù)，定義算子：為

7、則，且證明：由于故結(jié)論成立。事實(shí)上，還可以進(jìn)一步證明由于證明要用到實(shí)分析知識(shí)，這里從略。例3.7 已知實(shí)矩陣，定義為，則，且。證明： 故 對(duì)于賦范線性空間上的線性泛函，我們總視為到數(shù)域所成賦范線性空間的線性算子，因此，關(guān)于泛函的連續(xù)性，有界性以及它們之間的關(guān)系不再重述。對(duì)于賦范線性空間上的線性泛函，由于，所以，因而的范數(shù)就是。對(duì)于線性泛函，還有下面的連續(xù)性等價(jià)定理。定理3.5 設(shè)是賦范線性空間，是上的線性泛函，則：（1）是連續(xù)的充要條件是的零空間是的閉子空間；（2）非零線性泛函是不連續(xù)的充要條件是在中稠密。證明：（1）必要性：設(shè)是上的線性泛函，又設(shè)，由的連續(xù)性可得。因此，所以是的閉子空間。充分

8、性：設(shè)是閉集，如果不是有界線性泛函，則對(duì)每個(gè)自然數(shù)，必有使得。令，則，即，并且即。但是，從而。這和是閉集矛盾。因此，是有界的。（2）必要性：設(shè)是連續(xù)的，由定理3.1知在點(diǎn)不連續(xù)，從而存在，但，對(duì)，顯然有并且，所以在中稠密。充分性：假設(shè)是連續(xù)的，由在中稠密可知，對(duì)，存在，使，從而這與假設(shè)非零矛盾。證畢。我們現(xiàn)在考慮由賦范線性空間到賦范線性空間的有界線性算子的全體的性質(zhì)。對(duì)任意，規(guī)定顯然，及都是線性算子，稱為與的和，為與的積，易驗(yàn)證按這兩種運(yùn)算是一個(gè)線性空間，不僅如此，對(duì)每個(gè)有界線性算子，算子范數(shù)還滿足三個(gè)條件：（1），若，則對(duì)一切，即；（2）；（3）。因此，是一個(gè)賦范線性空間，我們稱其為有界線性

9、算子空間，簡(jiǎn)稱線性算子空間。一般說來，不一定是完備的，但是我們有如下的定理：定理3.6 設(shè)是完備的賦范線性空間，則是完備的。證明：如果設(shè)為一Cauchy列，即則對(duì)，必有這說明是中的Cauchy列，由的完備性，在中存在惟一的一個(gè)元，記為使得。于是，就是從到的一個(gè)算子，其線性可由的線性推得。又由于因而知數(shù)列收斂，即有數(shù)使得，由此推得故為有界線性算子，即。由于，故對(duì)，存在自然數(shù)，使得時(shí)，有。于是有。固定，令，可得出。又由于，因而有，且由以上不等式可推出 即，所以空間是完備的。證畢。注：賦范線性空間上的有界線性泛函全體按前面所引入的運(yùn)算與所規(guī)定的范數(shù)構(gòu)成一個(gè)Banach空間，稱之為的共軛空間，記作。習(xí)

10、題3.11.設(shè)，證明：是的閉子空間。 2.設(shè)，證明：復(fù)合算子滿足。3.，定義為及為。（1）問與可交換嗎？（即是否成立？）（2）求及。4.設(shè)為所有有界數(shù)列組成的線性空間，范數(shù)為給定無窮矩陣，滿足，定義算子為，其中，且證明：，且。5.設(shè)，在上定義范數(shù)矩陣定義算子為證明：。6.設(shè)連續(xù)且可加，即對(duì)任意有，證明：必為，其中為常數(shù)。7. 設(shè)和都是Banach空間，且是滿射，證明：對(duì)中任意稠密子集，成立。8.設(shè)是Banach空間，且，定義為的次復(fù)合，為單位算子，證明算子級(jí)數(shù)在中收斂，且（零算子）。3.2 共鳴定理及其應(yīng)用許多數(shù)學(xué)問題的研究都涉及有界線性算子列的收斂性與一致有界問題，Banach-Steinh

11、aus定理對(duì)這一問題給出了回答。定義3.4 設(shè)稱一致收斂于，是指，即在算子范數(shù)意義下收斂，記為；稱強(qiáng)收斂于，是指對(duì)，記為。由定義易知，。但是，反之不成立。例如，定義，則，但是，若記則，故所以對(duì)任意自然數(shù)，有，即，故不成立。容易證明，有界線性算子列一致收斂于有界線性算子的充要條件是在的單位球上一致收斂于。定義3.5 設(shè)是一個(gè)度量空間，稱是中的稀疏集，是指在中的任何一個(gè)非空開集中均不稠密。又稱是第一綱的，是指可表示成至多可列個(gè)稀疏集的并，不是第一綱的度量空間稱為第二綱的。例3.8 有理數(shù)集，定義度量，則是第一綱的，因?yàn)椋鴨吸c(diǎn)集是中的稀疏集。下面是關(guān)于完備度量空間的一個(gè)重要定理，即Baire綱定理

12、，它是證明共鳴定理的關(guān)鍵。定理3.7 設(shè)是完備的度量空間，則是第二綱的。證明：用反證法。若存在一列稀疏集使，任取一個(gè)閉球，由于在開球中不稠密，從而可取一個(gè)閉球，滿足；又在開球中不稠密，同理，取閉球，滿足，按上述過程一直進(jìn)行下去，可得出閉球列滿足如下條件：（1）；（2）；（3）。由條件（3）知，的直徑，由閉球套定理，存在，且，但是從條件（2）中又有，矛盾，故是第二綱的。證畢。應(yīng)用上述定理來證明共鳴定理。定理3.8（共鳴定理） 設(shè)是banach空間，是賦范線性空間，算子簇，若對(duì)任意，滿足那么證明：定義上的泛函為，則且容易驗(yàn)證滿足記 則。首先證是閉集。設(shè)，對(duì)每個(gè)，因是連續(xù)的，所以，更有，又，故，即。

13、因是完備的，由定理3.7，必存在自然數(shù)，使不是稀疏集，從而存在開球使在中稠密，是閉的，所以。對(duì)任一，注意到則所以。對(duì)每個(gè)，即進(jìn)一步有證畢。上述共鳴定理說明，對(duì)每個(gè)有界，則有界。這蘊(yùn)含算子簇每點(diǎn)有界，可推出在單位球上一致有界。因此，共鳴定理又稱一致有界原理。一致有界原理解決了關(guān)于算子列的強(qiáng)收斂的有關(guān)問題，如算子列滿足什么條件時(shí)是強(qiáng)收斂的？在強(qiáng)收斂意義下是否完備？下面幾個(gè)定理回答了這些問題。定理3.9 設(shè)是Banach空間，是賦范線性空間，若對(duì)于每個(gè)在中存在，定義線性算子為，則，且有界。證明：由在中存在，知。據(jù)定理3.8知，存在常數(shù)，使，故即。證畢。定理3.10 設(shè)是賦范線性空間，是Banach空

14、間，如果滿足下列條件：（1）是有界數(shù)列；（2）在中某一稠密子集中每個(gè)元素收斂。則強(qiáng)收斂于某一有界線性算子，且。證明：因有界，故存在，使對(duì)一切。任取，注意到在中稠密，故對(duì)于任給，存在，使。由條件（2）可知，收斂，故存在自然數(shù)，使對(duì)一切以及任意自然數(shù)有于是故是Cauchy列，由于是完備的，故收斂。令，則是定義在上而值域包含在中的線性算子。再由可知有界，且證畢。本章3.1節(jié)定理3.6證明了當(dāng)是Banach空間時(shí)，依算子范數(shù)是完備的?，F(xiàn)在我們可以證明當(dāng)都是完備時(shí)，對(duì)于算子列的強(qiáng)收斂也是完備的。定理3.11 設(shè)都是Banach空間，則L（X，Y）在強(qiáng)收斂意義下是完備的。證明：設(shè)是給定算子列，對(duì)每個(gè)是Ca

15、uchy列，故有界，再由一致有界原理可推知有界。注意到是Banach空間，故對(duì)每個(gè)收斂。因此，滿足定理3.10的條件（1）和條件（2），故強(qiáng)收斂于某一有界線性算子。下面介紹幾個(gè)關(guān)于共鳴定理應(yīng)用的例子。例3.9（Fourier級(jí)數(shù)的發(fā)散問題）存在以為周期的連續(xù)函數(shù)，其Fourier級(jí)數(shù)再給定點(diǎn)發(fā)散。證明：用表示定義在上以為周期的連續(xù)函數(shù)全體，賦予范數(shù)那么，是一個(gè)Banach空間。對(duì)每個(gè)，其前n+1項(xiàng)Fourier級(jí)數(shù)的部分和為這里， 令t=0,即到R的有界線性泛函，且可計(jì)算其范數(shù)為注意到 所以從而由共鳴定理，必存在某個(gè)周期為的連續(xù)函數(shù)，使極限不存在，這意味著的Fourier級(jí)數(shù)在t=0點(diǎn)發(fā)散。同

16、理，對(duì)每一固定點(diǎn)，也必存在，其Fourier級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散。證畢。例3.10（Lagrange插值公式的發(fā)散性定理） 給定區(qū)間0，1內(nèi)插入點(diǎn)構(gòu)成三角矩陣H為那么必存在，使其與插值點(diǎn)相應(yīng)的n次插值Lagrange多項(xiàng)式其中當(dāng)時(shí)，不一致收斂于。證明：在上定義算子序列為通過計(jì)算得出 從而時(shí)有界線性算子序列，在函數(shù)逼近論中已經(jīng)知道 因此，于是由共鳴定理必存在，使不收斂于，即不一致收斂于。證畢。例3.11(機(jī)械求積公式的收斂性) 在積分近似計(jì)算中，通常我們考慮形如 的求積公式，例如矩形公式，梯形公式就是類似的公式，由于只用一個(gè)公式不能保證足夠的精確度，故需考慮機(jī)械求積公式系列 （3.4）其中 需討論的使在

17、什么條件下，當(dāng)時(shí)，式（3.4）誤差趨向于0，這就是機(jī)械求積公式的收斂性問題?，F(xiàn)證明，機(jī)械求積公式（3.4）對(duì)于每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都收斂，即 （3.5）當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個(gè)條件成立：（1） 存在常數(shù)M0，使（2） 公式（3.5）對(duì)于每個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)都是收斂的。證明：考慮Banach空間上的線性泛函對(duì)于每個(gè)，因此，。另一方面，對(duì)于每個(gè)，取上連續(xù)函數(shù)，使得且 于是所以 由條件（2）若是多項(xiàng)式函數(shù)結(jié)論成立，又由于多項(xiàng)式全體是的稠密子集，由定理3.10，對(duì)每一個(gè)，公式（3.5）成立。注：本例中條件（2），多項(xiàng)式集合可用中稠密子集來代替，如果逐段線性函數(shù)集合來代替，結(jié)論仍然成立。習(xí)題3.21.設(shè)是Banach空間，

18、是賦范線性空間，若，證明：存在，使得。2.設(shè)是Banach空間，是賦范線性空間，如果是中的Cauchy列，則是有界的。3.設(shè)為多項(xiàng)式全體構(gòu)成的集合，按通常的函數(shù)加法與數(shù)乘運(yùn)算成為一個(gè)線性空間，又對(duì)任意定義(1)證明是一個(gè)賦范線性空間；(2)證明不完備；(3)取,定義算子列 證明是有界線性算子，且對(duì)任意，成立但是4給定數(shù)列，若滿足對(duì)任意收斂數(shù)列，級(jí)數(shù)收斂，證明：級(jí)數(shù)。5給定數(shù)列，若對(duì)任意，級(jí)數(shù)收斂，證明：。3.3 Hahn-Banach定理已知是維賦范線性空間，在中取一組基，設(shè)是一組數(shù)，當(dāng)，定義，易知，是上的線性泛函，記 ，當(dāng)時(shí)，由的線性可得這告訴我們維賦范線性空間上的線性泛函與數(shù)組一一對(duì)應(yīng)，而

19、且有具體的泛函表達(dá)式，本章3.1節(jié)例3.1告訴我們，有限維賦范線性空間上的任何線性泛函都是連續(xù)的，因此，對(duì)于有限維賦范線性空間上的連續(xù)線性泛函的情況，我們已經(jīng)有了一個(gè)基本了解。那么，我們自然要問：任何一個(gè)無限維賦范線性空間上是否一定有非零連續(xù)線性泛函呢？如果有，是否足夠多？本節(jié)將從線性泛函的延拓入手，討論這個(gè)問題?！径x3.6】若是實(shí)線性空間，稱為次可加正齊次泛函，如果滿足： （1） （2）. 注：這里所給出的“次可加，正齊次泛函”對(duì)我們并不陌生，實(shí)際上，在賦范線性空間中，元的范數(shù)就是這種泛函，一般說來，它未必是“加法”的或“齊次”的?！径ɡ?.12】（定理）設(shè)是實(shí)線性空間，是次可加正齊次泛函

20、。是一子空間，是上定義的一個(gè)實(shí)線性泛函，且，那么存在上的實(shí)線性泛函，滿足： （1） （2）. 證明：我們僅來證明一種特殊情況，當(dāng)比僅多一維，此時(shí)，可表示為這里。 定義上的線性泛函為C是一個(gè)待選擇的常數(shù)。由于是上的線性泛函，那么是上的線性泛函，且顯然滿足（1）.為滿足（2），我們來確定常數(shù)C，若滿足（2），則對(duì)一切及成立不等式這個(gè)不等式又等價(jià)于下面兩個(gè)不等式：（1） 因?yàn)閷?duì)任何有 即（2） 于是，令據(jù)（2）式，從而選取,則這樣的滿足（1）式，于是在上滿足。證畢。對(duì)于一般情況，由于涉及到超限歸納法，這里略去其證明。由定理3.12，我們可得出下面的有界線性泛函的存在定理和連續(xù)線性泛函的“保范延拓”定

21、理。【定理3.13】設(shè)是實(shí)賦范線性空間，如果，則在上必存在非零的連續(xù)線性泛函。證明：因，故，任取，令又取，作上的泛函顯然，是上的非零有界線性泛函，只要將定理3.12中取為，便可知必可延拓成上的有界線性泛函，顯然不是零泛函。證畢?！径ɡ?.14】（Banach保范延拓定理）設(shè)是實(shí)賦泛線性空間，是的子空間，是上的有界線性泛函，則存在上的有界線性泛函滿足：（1）；（2）。證明：由于是上的有界線性泛函，那么這里是在上的范數(shù)。令，則是上定義的次可加正齊次泛函，由式（3.6）對(duì)，有。根據(jù)定理3.12，存在X上連續(xù)線性泛函F滿足結(jié)論（1），且。又所以可見，式上有界線性泛函，且，又是的延拓，所以即。證畢。注：

22、從定理3.12證明過程中，我們知道多討論的延拓并不惟一，由此可知，賦范線性空間的子空間上連續(xù)線性泛函的保范延拓一般也不惟一。例3.12 設(shè)，對(duì)，規(guī)定按此范數(shù)成為賦范線性空間。又設(shè)，設(shè)是定義在上的連續(xù)線性泛函，即。然而，對(duì)任何數(shù)上的連續(xù)線性泛函都是的延拓，由于并且，所以，只要都是的保范延拓?！就普?.1】設(shè)是實(shí)賦范線性空間，是的一個(gè)真閉子空間，令則存在上有界線性泛函滿足證明：首先證。若，由下確界定義，存在，滿足，即。而是閉的，所以，這與矛盾。記由及張成的子空間為，則可表示成在上定義泛函，顯然，是上有界線性泛函，且下面來計(jì)算在上的范數(shù)。對(duì)于，由于所以，。另一方面，取，使，而在上式中令，得，故。最后

23、，由定理3.12，存在上有界線性泛函，滿足，且，根據(jù)得構(gòu)造，顯然滿足證畢。注：推論3.1說明有界線性泛函可分離一點(diǎn)和一個(gè)閉子空間?！就普?.2】設(shè)式實(shí)賦范線性空間，且，則存在上有界線性泛函滿足，且。證明：取得一維子空間，在上定義有界線性泛函為，則式上線性泛函，且，又所以由定理3.12，存在上有界線性泛函，它是得保范延拓，因此，仍然滿足,且。證畢。推論3.2表明，只要，則上必存在不為零的連續(xù)線性泛函?！就普?.3】設(shè)是實(shí)賦范線性空間，若對(duì)于上任意連續(xù)線性泛函，都有，則。證明：用反證法，由定理3.13易得。推論3.3表明，當(dāng)式無限維實(shí)賦范線性空間時(shí)，在上必存在無限多個(gè)連續(xù)線性泛函。當(dāng)時(shí)復(fù)線性空間時(shí)

24、，上述定理和推論同樣成立。習(xí)題3.31.設(shè)是實(shí)線性空間，是的子空間，證明：是的子空間。2.設(shè)是實(shí)賦范線性空間，且，證明：存在上有界線性泛函滿足。3.設(shè)是實(shí)賦范線性空間，證明：，必有（為上全體連續(xù)線性泛函組成的集合）。4.在上定義泛函證明：是有界線性泛函，且。5.設(shè)是實(shí)賦范線性空間，若對(duì)任意上的有界線性泛函，且，證明：。6.設(shè)是線性空間上的非零線性泛函，取，證明：。7.設(shè)是線性空間上的兩個(gè)線性泛函，且，證明：存在常數(shù)，使得。3.4共軛空間與共軛算子 本章第3.1節(jié)我們介紹了有界線性算子空間，特別地當(dāng)時(shí)，我們便得到上有界線性漢化地全體，稱為的共軛空間，記為。本節(jié)我們將研究空間的有關(guān)問題。3.4.1

25、共軛空間一般來說，對(duì)于賦范線性空間，即使是Banach空間，其上連續(xù)線性漢化的具體形式仍然相當(dāng)復(fù)雜。下面我們用Hahn-Banach定理，給出幾個(gè)具體的Banach空間上所有連續(xù)線性泛函的具體形式。為此，我們將引入下面等距同構(gòu)概念?！径x3.7】設(shè)是賦范線性空間，稱是的嵌入子空間，如果存在線性算子滿足；稱與是等距同構(gòu)的，如果存在線性算子是滿射，且。注：當(dāng)是的嵌入子空間時(shí), 是的子空間結(jié)構(gòu)完全相同，因此，可記為；當(dāng)與等距同構(gòu)時(shí)，這兩個(gè)空間結(jié)構(gòu)也完全相同，可記為。例3.13 ，在中賦予范數(shù)，則是賦范線性空間。，賦予范數(shù)，則也是賦范線性空間，我們有。證明：對(duì)于任一，定義上線性泛函為：于是所以，即。另

26、一方面，對(duì)，令，這里。記，對(duì)每個(gè)，由于，而是連續(xù)線性泛函，因此， 下面證明。令，其中這里是符號(hào)函數(shù)，則，即，且，由式（3.7）知由的任意性，又是得到。根據(jù)上述兩步，定義為，則是線性算子，是滿射，而且（因而是一一映射）。這說明與是等距同構(gòu)的，即。例3.14 。證明：令是中第項(xiàng)為1，其它項(xiàng)為0的數(shù)列，任取，令在上且，而在中稠密，由Hahn-Banach定理可得故，令，因?yàn)?，所以因此，且。反之，?duì)任意，定義如下則 所以，。再由上述論證可得，從而與等距同構(gòu)，即=。證畢。例3.15 ，其中。證明：對(duì)每個(gè)，由級(jí)數(shù)形式的Hlder不等式，對(duì)，有 （3.8）因此，定義上的線性泛函為，那么由式（3.8）得，即另

27、一方面，設(shè)，記（第個(gè)坐標(biāo)為1，其余為0），對(duì)每個(gè)，由于是連續(xù)線性泛函，所以 （3.9）記，下面證。對(duì)自然數(shù)N，記則，由式（3.9）得于是 令，則，即。由上述兩方面證明，定義線性算子為，則是滿射，且，故。證畢。例3.16 ，定義范數(shù)：，則的充要條件是存在（其中），滿足，及。即。由于證明比較復(fù)雜，這里略去。下面討論一類很重要的賦范線性空間自反空間。設(shè)是賦范線性空間，是它的共軛空間，因?yàn)橐彩琴x范線性空間，它也有共軛空間，把它記為，稱為的二次共軛空間，如此繼續(xù)下去，就有的三次共軛空間這些空間之間自然是有聯(lián)系的，我們只考察與的關(guān)系。對(duì)每個(gè)，做上的泛函如下：對(duì)，令，顯然，這樣做的是上的線性泛函，而且由于

28、（3.10）所以，是有界線性泛函，并且，稱此泛函是由生成的，又稱的算子為嵌入算子。【定理3.15】設(shè)是賦范線性空間，嵌入算子是到的保范線性算子，即：（1）；（2）。證明：（1）由定義可知，對(duì)任意，有（2）由式（3.10）知,故只需證。對(duì)任何，由Hahn-Banach定理推論知，必有，而且，因此證畢。由定理3.15易得如下推論：【推論3.4】設(shè)是賦范線性空間，則是的嵌入子空間，即?！径x3.8】設(shè)是賦范線性空間，如果，即與等距同構(gòu)，則稱為自反空間。 從上面的例子可見，因此，而，所以不是自反的；而所以是自反的；同樣，也是自反的。自反空間有著極為重要的性質(zhì)，自反空間上算子的結(jié)構(gòu)也是特別整齊的?！径x

29、3.9】設(shè)是賦范線性空間，稱弱收斂于，若對(duì)，有，記為。弱收斂點(diǎn)列具有下列性質(zhì)：(1)若，則；(2)若，且，則;(3)若，則有界；(4)若是有限性的，則有可推得。證明：（1）對(duì)每個(gè)，由于所以；（2）對(duì)每個(gè)，由及，得于是，由本章3.3節(jié)推論3.2知，存在，且，故，即。（3）對(duì)每個(gè)，由于，因此，有界，即。定義上有界線性泛函列則由上面定理3.12，再由共鳴定理知故有界。（4）取的一組基，設(shè)，在這組基下可展成取特殊的坐標(biāo)泛函，使因此，即。注：在無窮維空間中，并不能推出。例如，設(shè)則，故不強(qiáng)收斂于0，但對(duì)任何，我們有，故弱收斂于0?！径x3.10】設(shè)賦范線性空間的共軛空間為，在上有如下三種收斂：(1)按范數(shù)

30、收斂（一致收斂），記為，即；(2)弱收斂，記為，即對(duì)每個(gè)；(3)弱收斂，記為，即對(duì)每個(gè)。這三種收斂的關(guān)系是：若，則；若，則。當(dāng)是自反Banach空間時(shí)，等價(jià)于?！径x3 .11】設(shè)是賦范線性空間，中點(diǎn)列及滿足：對(duì)任意和任意的，則稱弱收斂于。我們已經(jīng)知道，算子列的一致收斂可導(dǎo)出強(qiáng)收斂不一定一致收斂。由定義3.11可證得，算子列強(qiáng)收斂，一定弱收斂，但反之不成立。例3.17 令，定義，這是一個(gè)平移算子，顯然是線性算子，并且，所以，對(duì)任意由Hlder不等式有即弱收斂于0.但是不強(qiáng)收斂。這里只要取，則當(dāng)時(shí)，就有故不收斂。【定理3.16】設(shè)是賦范線性空間，如果可分，則是可分的。證明：由于是可分的，所以在中

31、由一列，它在的單位球面上稠密，對(duì)每個(gè)，由于在的單位球面上必有一串，滿足，這時(shí)，把張成的的線性閉子空間記為，如果不可分，那么必然由，從而在中存在點(diǎn)，而且當(dāng)時(shí)，然而這與在的單位球面上稠密的假設(shè)矛盾。所以，是可分的。 定理3.16啟發(fā)我們用共軛空間的性質(zhì)可以來研究原來的賦范線性空間的性質(zhì)。這個(gè)方向的進(jìn)一步發(fā)展，就是局部凸拓?fù)渚€性空間理論中的對(duì)偶理論，它對(duì)于研究空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是很有用的。3.4.2 共軛算子我們知道，矩陣是有限維空間算子的表示形式，矩陣的轉(zhuǎn)置在矩陣?yán)碚撝衅鹬种匾淖饔?。這種矩陣轉(zhuǎn)置概念在無窮維空間的推廣就是共軛算子。有了共軛空間的概念，就可以引出共軛算子的定義?！径x3.12】 設(shè)

32、是從賦范線性空間到賦范線性空間上的有界線性算子，對(duì)，由定義了上的有界線性泛函，顯然對(duì)每個(gè)，對(duì)應(yīng)惟一的，用記這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即，是到的算子，稱為的共軛算子。共軛算子具有下列性質(zhì)：（1）的共軛算子是有界線性算子，且；（2），這里是實(shí)數(shù)； （3），這里；（4），這里；（5）設(shè)存在有界逆算子,則也存在有界逆算子,且;（6）的共軛算子也有共軛算子，我們將他簡(jiǎn)記為，則，若看成的子空間，則是的延拓。性質(zhì)（2），性質(zhì)（3）和性質(zhì)（4）由定義易證，現(xiàn)證性質(zhì)（1）、性質(zhì)（5）和性質(zhì)（6）。證明：性質(zhì)（1）中的線性顯然。現(xiàn)證明的有界性。由定義易知：故 于是，故有界，且。由Hahn-Banach定理推論3.2知，對(duì)任意

33、，有使得故因是任意的，即，故，即性質(zhì)（1）成立。性質(zhì)（5）：由于是從到的有界線性算子，是從到的有界線性算子，任取，則因是故意的，故，又因?yàn)槭侨我獾?，?（3.11）這里是中的恒同算子（單位算子）。再任取，有因都是任取的，故 （3.12）這里是中的恒同算子。由式（3.11）和式（3.12）可知，以為它的有界逆算子。性質(zhì)（6）：，由性質(zhì)（1）立即導(dǎo)出?，F(xiàn)證明是的延拓。任取，設(shè)是在中的對(duì)應(yīng)元，則對(duì)任意，有故因是任意的，所以 （3.13）若將視為的子空間，則與可視為同一， 與可視為同一，于是式（3.13）可改寫成，故是的延拓。在很多情況下，需要求出給定的有界線性算子的共軛算子的具體形式。例3.18設(shè)是

34、階矩陣，由定義了一個(gè)由空間到空間的算子其中，容易證明是有界線性算子。由于歐幾里得空間的共軛空間就是它本身，故由共軛算子的定義可以知是由到中的有界線性算子?，F(xiàn)在我們求出的具體形式。我們知道上的每個(gè)有界線性泛函可表示成于是故 （3.14）這表明由的轉(zhuǎn)置矩陣定義。例3.19設(shè)是變量及的實(shí)可測(cè)函數(shù)，滿足設(shè)是以為核心的積分算子，即可以證明是將映入的有界算子。由于與互為共軛空間，故由共軛算子的定義可知是由到的有界線性算子?，F(xiàn)求出的具體表達(dá)形式。對(duì)每個(gè)，存在中元，使對(duì)任何，有（這里是上有界線性泛函的具體表達(dá)形式）故由于是任意的，故因?yàn)榕c可視為同一，故形式上又可寫為故 可見，是映入以為核的積分算子。習(xí)題3.4

35、1證明有限維賦范線性空間的共軛空間是有限維的。無窮維賦范線性空間的共軛空間是無窮維的。2證明任何有限維空間皆自反。3在中作出一個(gè)點(diǎn)列及，使，但，其中。4設(shè)是賦范線性空間，是閉線性子空間，若，有 ，證明且。5設(shè)是Banach空間，是共軛空間，若，且，證明：。6，證明 。7設(shè)，且，證明：。8證明：若是自反的，則也是自反的。35開映射、逆算子及閉圖像定理在許多實(shí)際問題中，我們常常遇到通過已知條件求出未知元的問題。例如解代數(shù)方程、微分方程、積分方程等。如果把它們抽象統(tǒng)一起來，則可得到一般算子方程的求解問題，其實(shí)也就是考慮相應(yīng)算子的逆算子存在問題。當(dāng)附加上該解“存在惟一并且對(duì)依賴的初始條件是連續(xù)的”要求

36、時(shí)，問題也便歸結(jié)為尋求“連續(xù)的”逆算子的存在問題。本節(jié)我們要介紹與此密切相關(guān)的一些定理，這里特別要強(qiáng)調(diào)的是“開映射”定理，通過它不但能夠?qū)С鲆恍┓浅Ｖ匾瓦m用的關(guān)于有界逆算子的存在定理，而且由它我們還將得到在分析中應(yīng)用十分廣泛的閉圖象定理。設(shè),是數(shù)域上的線性空間，是到線性算子，如果是一一映射，則的逆算子存在，而且也是現(xiàn)行的。事實(shí)上，根據(jù)假設(shè)的存在是顯然的，只須再證是線性的。因?qū)按嬖谑沟眉?，于是即是線性算子。我們關(guān)心的問題：如果都是賦范線性空間，是雙射（到的一一映射），這時(shí)存在而且是線性算子，但是否有界呢？一般來說，即使是完備的，并不一定有界，下面是一個(gè)反例。例3.20設(shè)，按中的范數(shù)構(gòu)成賦范線

37、性空間，令顯然，是Banach空間到賦范線性空間的雙射，且，但 ，是無界的線性算子。事實(shí)上，取，則但由于從而所以是無界線性算子?！径x3.13】設(shè)是度量空間，是到的映射，如果對(duì)中的任何開集,像是中開集，則稱是開映射，或開算子。顯然，若是同胚映射，而且是到的雙射時(shí)，為連續(xù)的充要條件是為開映射?！径ɡ?.17】(Banach開映射定理)設(shè)是Banach空間，且是滿射，則是一個(gè)開映射。證明：以下我們分為用與表示與中的球，因?yàn)?，所以由于是Banach空間，由Baire綱定理，是第二綱集。因此存在,使得在某個(gè)球中稠密。我們首先證明，對(duì)任意，存在，使得在中稠密，因此取，對(duì)任意，所以存在中的點(diǎn)列及使得從而，

38、顯然，所以在中稠密。其次，對(duì)任意，由上面已經(jīng)證明的結(jié)論，在中稠密，因此，存在，使得，因此由于在中稠密，故存在，使得，從而這樣繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列，使得因?yàn)槭荁anach空間及，因而存在使得，并且，于是由的連續(xù)性所以，由此，對(duì)任意。最后，設(shè)是中任一開集，任取,存在的鄰域,取正數(shù)，則，因此。由于，所以即是的內(nèi)點(diǎn)，所以是中開集。證畢。本節(jié)例3.20已經(jīng)告訴我們，當(dāng)是Banach空間到賦范線性空間的有界線性算子，并且還是一個(gè)雙射時(shí)，并不一定有界，然而如果值域是完備的，情況就不同了。【定理3.18】（Banach逆算子定理）設(shè)是Banach空間，是雙射，則。證明：由定理3.17知是開映射，又因是到的雙射，

39、所以是到上的連續(xù)線性算子，即。證畢。下面通過逆算子定理來說明常微分方程解的連續(xù)依賴性。例3.21給定階線性常微分方程及初值條件其中是上的連續(xù)函數(shù)。根據(jù)常微分方程的理論，對(duì)每個(gè)連續(xù)函數(shù)，上述微分方程均存在惟一解，這里的解連續(xù)依賴性是指當(dāng)左邊函數(shù)做微小變化時(shí)，相應(yīng)的解也做微小的變化。證明：定義的一個(gè)線性子空間在中定義通常的范數(shù)，在空間中定義范數(shù)那么及在相應(yīng)范數(shù)下均構(gòu)成Banach空間。定義線性算子為那么這里，所以是有界線性算子。據(jù)的定義及例3.21的說明，是由到上的一一映射，因此，由逆算子定理，是有界線性算子。對(duì)任意，取,則只要時(shí)，、相應(yīng)的解為、，即,故，于是這說明，做微笑變動(dòng)時(shí)，其相應(yīng)的解及的各

40、階導(dǎo)函數(shù)（直到階）也做微小的擾動(dòng)。判斷一個(gè)線性算子是否有界，有時(shí)是十分困難的，我們下面介紹通過算子圖像特征來判斷算子有界的方法，這就是閉圖像定理。在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的圖像是平面上的一條曲線，也就是由平面上的點(diǎn)組成的集合，我們把這一概念推廣到抽象空間?！径x3.14】設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，在上定義線性運(yùn)算為令而對(duì)中的元定義其范數(shù)，則在此范數(shù)下成一賦范線性空間，稱為與的乘積賦范線性空間，記作或。顯然，如果是Banach空間，則也是Banach空間。【定義3.15】設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，是到中的算子，令稱為映射的圖像，如果是中的閉集，則稱是閉算子，也稱算子具有比圖像?！径ɡ?.19】設(shè)是兩個(gè)賦范線性

41、空間，是到中的算子，則是閉算子的充要條件是任意點(diǎn)列,若，則,且。證明：必要性。設(shè)是閉算子，當(dāng)，時(shí)，顯然，而且由等式知，即，。充分性。任取，而且，由于所以，再由假設(shè)知，且，從而，即是中的閉集。證畢。注：（1）定義域是閉集的連續(xù)線性算子是閉算子。事實(shí)上，設(shè)是兩個(gè)賦范線性空間，是到中的連續(xù)算子，并且是中的閉集，當(dāng)，時(shí)，由的閉性知，又由的連續(xù)性知，據(jù)定理3.19知是閉算子。（2）當(dāng)都是Banach空間，是到中的線性算子，而且是閉算子時(shí)，不一定是連續(xù)算子。例如，顯然，是的線性子空間，作到的算子如下則是到的線性算子，而且是閉算子。事實(shí)上，設(shè)，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)，可知，且。據(jù)定理3.19知是閉算子，但我們知道是

42、無界的，故不是連續(xù)線性算子。然而，當(dāng)算子的定義域是的閉子空間時(shí)，有下面注明的閉圖像定理?！径ɡ?.20】（閉圖像定理）設(shè)是Banach空間，是到中的線性算子，而且是閉算子，如果是的閉線性子空間，則是連續(xù)的。證明：由是是Banach空間。因?yàn)槭堑拈]線性子空間，故按中范數(shù)是一個(gè)Banach空間，又是線性算子，易知是的閉線性子空間，從而按中的范數(shù)也是一個(gè)Banach空間。做到的算子如下顯然，是到上的線性算子，而且所以是有界的。又當(dāng)時(shí)，必有，故是到上的雙射，根據(jù)逆算子定理，是有界的，于是從而由此可知，是有界的。證畢。由定理3.19的注（1）和定理3.20立即得到：【推論3.5】設(shè)是Banach空間，是

43、到中的線性算子，則連續(xù)的充要條件是是閉算子。閉圖像定理在偏微分方程理論中有很多應(yīng)用，因?yàn)閷?duì)于微分算子，要直接驗(yàn)證它的連續(xù)性往往比較困難，但要驗(yàn)證它是閉算子卻比較容易。習(xí)題3.51映射為試問是開映射嗎？又令問是否為開映射？2設(shè)是兩個(gè)Banach空間，證明也是Banach空間。3試用比圖像定理證明逆算子定理。4設(shè)是線性空間，是上兩個(gè)范數(shù)，在這兩個(gè)范數(shù)下，均是Banach空間，如果存在常數(shù)，使，則一定也存在常數(shù)，使（即兩個(gè)范數(shù)等價(jià)）。5設(shè)是兩個(gè)Banach空間，,證明存在常數(shù)，使對(duì),的充要條件是且是閉集。6證明：若閉線性算子的逆算子存在，則也是閉線性算子。7證明比現(xiàn)行算子的零空間是的閉線性子空間。3.6 算子譜理論簡(jiǎn)介我們?cè)诰€性代數(shù)中學(xué)過了矩陣的特征值與特征向量的基本理論，現(xiàn)在把這兩個(gè)概念推廣到Banach空間，建立算子的譜理論。3.6.1 有界線性算子的譜為了研究算子的譜，Banach空間一般取復(fù)的。【定義3.16】設(shè)是復(fù)Banach空間，為一復(fù)數(shù)。（1）稱為的正則值，如果有有界逆算子，即。用表示的正則值組成的集合，稱為的正則集。對(duì)，稱為的預(yù)解式。（2）如果不是的正則值，則稱為的譜點(diǎn)，全體譜