中考二次函數(shù)壓軸題解題通法(重點(diǎn)中學(xué)整理222)

1、中考二次函數(shù)壓軸題解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級，國家級數(shù)學(xué)競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個(gè)自定義概念：1 三角形基本模型：有一邊在X軸或

2、Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形稱為三角形基本模型。2 動(dòng)點(diǎn)（或不確定點(diǎn)）坐標(biāo)“一母示”：借助于動(dòng)點(diǎn)或不確定點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，用一個(gè)字母把該點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，簡稱“設(shè)橫表縱”。如：動(dòng)點(diǎn)P在y=2x+1上， 就可設(shè) P（t, 2t+1）.若動(dòng)點(diǎn)在，則可設(shè)為（，）當(dāng)然若動(dòng)點(diǎn)M 在X軸上，則設(shè)為（t, 0）.若動(dòng)點(diǎn)M在軸上，設(shè)為（，）3 動(dòng)三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運(yùn)動(dòng)變化的。或至少有一個(gè)頂點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)，變化的三角形稱為動(dòng)三角形。4 動(dòng)線段：其長度是運(yùn)動(dòng)，變化，不確定的線段稱為動(dòng)線段。5 定三角形：三邊的長度固定，或三個(gè)頂點(diǎn)固定的三角形稱為定三角形。 6 定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定

3、的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：。 7 X標(biāo)，Y標(biāo)：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標(biāo)稱為x標(biāo)，縱坐標(biāo)稱為y標(biāo)。 8 直接動(dòng)點(diǎn)：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動(dòng)點(diǎn)稱為直接動(dòng)點(diǎn)，與之共線的問題中的點(diǎn)叫間接動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”是針對直接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)而言的。1.求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點(diǎn)點(diǎn)”距離，還是“點(diǎn)軸距離”，還是“點(diǎn)線距離”，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式或點(diǎn)到x軸（y軸）的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進(jìn)行化簡，即可證得兩線段相等。、“平行于y軸的

4、動(dòng)線段長度的最大值”的問題：由于平行于y軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個(gè)端點(diǎn)的高低情況，運(yùn)用平行于y軸的線段長度計(jì)算公式，把動(dòng)線段的長度就表示成為一個(gè)自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動(dòng)線段長度的最大值及端點(diǎn)坐標(biāo)。3、求一個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題：先用點(diǎn)斜式（或稱K點(diǎn)法）求出過已知點(diǎn)，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可。4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題：（方法1）先求出定

5、直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因?yàn)槠叫兄本€斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個(gè)關(guān)于x的的一元二次方程，由題有=-4ac=0（因?yàn)樵撝本€與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以-4ac=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算該切點(diǎn)到定直線的距離，即為最大距離。（方法2）該問題等價(jià)于相應(yīng)動(dòng)三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出其最大距

6、離。（方法3）先把拋物線的方程對自變量求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)該導(dǎo)數(shù)等于定直線的斜率時(shí)，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)即為符合題意的點(diǎn)，其最大距離運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可以輕松求出。5.常數(shù)問題：（1）點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個(gè) 固定常數(shù)”的問題：先借助于拋物線的解析式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立一個(gè)方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。（2）三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動(dòng)三角形的面積等于一個(gè)定常數(shù)”的問題：先求

7、出定線段的長度，再表示出動(dòng)點(diǎn)（其坐標(biāo)需用一個(gè)字母表示）到定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的解析式，可求出動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。（3）幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題：用K點(diǎn)法設(shè)出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即可。6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：先求出兩個(gè)定點(diǎn)中的任一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對稱點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，

8、該線段的長度應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出（利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法）。7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題：1 “在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題）：由于有兩個(gè)定點(diǎn)，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算），只需另兩邊的和最小即可。2 “在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的垂線，與y軸的平行線和定直線，這三線構(gòu)成的動(dòng)直角三角形的周長最大”的問題（簡稱“三邊均動(dòng)的問題）：在圖中尋找一個(gè)和動(dòng)直角三角形相似的定直角三角形，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

9、一母示后，運(yùn)用，把動(dòng)三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的拋物線來破解。8.三角形面積的最大值問題：1 “拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題”）：(方法1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面的方法，求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式 底高。即可求出該三角形面積的最大值，同時(shí)在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。（方法2）過動(dòng)點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點(diǎn)，從而把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，進(jìn)一步可得到，轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值

10、。2 “三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動(dòng)”的問題）：先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三角形相似（常為圖中最大的那一個(gè)三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比）可表示出分割后的一個(gè)三角形的高。從而可以表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問題

11、”：由于該四邊形有三個(gè)定點(diǎn)，從而可把動(dòng)四邊形分割成一個(gè)動(dòng)三角形與一個(gè)定三角形（連結(jié)兩個(gè)定點(diǎn)，即可得到一個(gè)定三角形）的面積之和，所以只需動(dòng)三角形的面積最大，就會(huì)使動(dòng)四邊形的面積最大，而動(dòng)三角形面積最大值的求法及拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)求法與7相同。10、“定四邊形面積的求解”問題：有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個(gè)三角形面積之和；方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，向x軸（或y軸）作垂線，或者把該點(diǎn)與原點(diǎn)連結(jié)起來，分割成一個(gè)梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個(gè)基本模型的三角形面積的和（差）11.“兩個(gè)三角形相似”的問題：兩個(gè)定三角形是否相似：（

12、1） 已知有一個(gè)角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。（2） 不知道是否有一個(gè)角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個(gè)三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。一個(gè)定三角形和動(dòng)三角形相似：（1） 已知有一個(gè)角相等的情形：先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來（一母示），然后把兩個(gè)目標(biāo)三角形（題中要相似的那兩個(gè)三角形）中相等的那個(gè)已知角作為夾角，分別計(jì)算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例（要注意是否有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的

13、點(diǎn)。（2）不知道是否有一個(gè)角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個(gè)角可能是特殊角，再為該角尋找一個(gè)直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”后，分析在動(dòng)三角形中哪個(gè)角可以和定三角形中的那個(gè)特殊角相等，借助于特殊角，為動(dòng)點(diǎn)尋找一個(gè)直角三角形，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個(gè)角相等的兩個(gè)定三角形是否相似的問題了，只需再驗(yàn)證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)符合題意，否則這樣的點(diǎn)不存在。簡稱“找特角，求（動(dòng)）點(diǎn)標(biāo)，再驗(yàn)證”?；蚍Q為“一找角，二求標(biāo)，三驗(yàn)證”。2.、“某函數(shù)圖

14、象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形”的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個(gè)點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。先借助于動(dòng)點(diǎn)所在圖象的解析式，表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（一母示），按分類的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點(diǎn)間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再借助動(dòng)點(diǎn)所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(diǎn)（就是不能構(gòu)成三角形這個(gè)題意）。3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”問題：這類問題，在題中的四個(gè)點(diǎn)中，至少有兩個(gè)定點(diǎn)，用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”

15、分別設(shè)出余下所有動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（若有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，顯然每個(gè)動(dòng)點(diǎn)應(yīng)各選用一個(gè)參數(shù)字母來“一母示”出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)），任選一個(gè)已知點(diǎn)作為對角線的起點(diǎn)，列出所有可能的對角線（顯然最多有3條），此時(shí)與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然后運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種情況兩條對角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點(diǎn)重合，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出兩個(gè)方程，求解即可。進(jìn)一步有：1 若是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成矩形呢？先讓動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證兩條對角線相等否？若相等，則所求動(dòng)點(diǎn)能構(gòu)成矩形，否則這樣的動(dòng)點(diǎn)不存在。2 若是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成棱形呢？先讓動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動(dòng)點(diǎn)能

16、構(gòu)成棱形，否則這樣的動(dòng)點(diǎn)不存在。3 若是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成正方形呢？先讓動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動(dòng)點(diǎn)能構(gòu)成正方形，否則這樣的動(dòng)點(diǎn)不存在。4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使兩個(gè)圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系”的問題：（此為“單動(dòng)問題”即定解析式和動(dòng)圖形相結(jié)合的問題，后面的19實(shí)為本類型的特殊情形。） 先用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”的方法設(shè)出直接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示（如果圖形是動(dòng)圖形就只能表示出其面積）或計(jì)算（如果圖形是定圖形就計(jì)算出它的具體面積），然后由題意建立兩個(gè)圖形面積關(guān)系的一個(gè)方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點(diǎn)），如果問題中求的是間接動(dòng)

17、點(diǎn)坐標(biāo)，那么在求出直接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)后，再往下繼續(xù)求解即可。5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成直角三角形”的問題：若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（一母示），視題目分類的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運(yùn)用兩直線（沒有與y軸平行的直線）垂直的斜率結(jié)論（兩直線的斜率相乘等于-1），得到一個(gè)方程，解之即可。若夾直角的兩邊中有一邊與y 軸平行，此時(shí)不能使用斜率公式。補(bǔ)救措施是：過余下的那一個(gè)點(diǎn)（沒在平行于y軸的那條直線上的點(diǎn)）直接向平行于y的直線作垂線或過直角點(diǎn)作平行于y軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)可輕松搞定。6、“某圖象上是否存在一點(diǎn)

18、，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形”的問題。1 若定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，先用k點(diǎn)法求出另一直角邊所在直線的解析式（如斜率不存在，根據(jù)定直角點(diǎn)，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程），利用該解析式與所求點(diǎn)所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出兩條直角邊等否？若等，該交點(diǎn)合題，反之不合題，舍去。2 若動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：先利用k點(diǎn)法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析式與所求點(diǎn)所在圖象的解析式組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別計(jì)算出該點(diǎn)與兩定點(diǎn)所在的兩條直線的斜率，把這兩個(gè)斜率相乘，看其結(jié)果是否為-1？若為-1，則就說明所求交點(diǎn)合題；反之，舍去。7、“題中含有兩角相等，求相關(guān)

19、點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長度”等的問題：題中含有兩角相等，則意味著應(yīng)該運(yùn)用三角形相似來解決，此時(shí)尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。18.“在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動(dòng)圖形（常為動(dòng)三角形或動(dòng)四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長”的問題：（此為“單動(dòng)問題”即定解析式和動(dòng)圖形相結(jié)合的問題，本類型實(shí)際上是前面14的特殊情形。）先把動(dòng)圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或軸上，或者有一邊平行于x軸或y軸）面積的和或差，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（一母示），按化分后的圖形建立一個(gè)面積關(guān)系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動(dòng)問題”，解題方法是“設(shè)點(diǎn)

20、（動(dòng)點(diǎn)）標(biāo)，圖形轉(zhuǎn)化（分割），列出面積方程”。19.“在相關(guān)函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個(gè)參數(shù)字母）的情況下，題中又含有動(dòng)圖形（常為動(dòng)三角形或動(dòng)四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)的值”的問題：此為“雙動(dòng)問題”（即動(dòng)解析式和動(dòng)圖形相結(jié)合的問題）。如果動(dòng)圖形不是基本模型，就先把動(dòng)圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)化或分割后的圖形須為基本模型），設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（一母示），利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形建立面積關(guān)系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用該點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)（注意，此時(shí)，一定不能把該點(diǎn)坐標(biāo)再代入對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式，這樣會(huì)把所有字母消掉）。再注意

21、圖中另一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的位置關(guān)系（或其它關(guān)系，方法是常由已知或利用（2）問的結(jié)論，從幾何知識(shí)的角度進(jìn)行判斷，表示出另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后把剛表示出來的這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)再代入相應(yīng)解析式，得到僅含一個(gè)字母的方程，解之即可。如果動(dòng)圖形是基本模型，就無須分割（或轉(zhuǎn)化）了，直接先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（一母式），然后列出面積方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。一句話，該問題簡稱“雙動(dòng)問題”，解題方法是“轉(zhuǎn)化（分割），設(shè)點(diǎn)標(biāo)，建方程，再代入，得結(jié)論”。 常用公式或結(jié)論：（1）橫線段的長 = 橫標(biāo)之差的絕對值 = =縱線段的長=縱標(biāo)之差的絕對值=（2）點(diǎn)軸距離：點(diǎn)P（ ，）到X軸的距離為，到Y(jié)軸的距離為。（3）兩

22、點(diǎn)間的距離公式：若A（）,B(), 則 AB=（4）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P（）到直線Ax+By+C=0 (其中常數(shù)A,B,C最好化為整系數(shù)，也方便計(jì)算)的距離為： 或（5）中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若A()，B（），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）（6）直線的斜率公式：若A（），B（），則直線AB的斜率為：,（7）兩直線平行的結(jié)論：已知直線1 若2 若 （8）兩直線垂直的結(jié)論： 已知直線1 若 2 若 （9）由特殊數(shù)據(jù)得到或猜想的結(jié)論：1 已知點(diǎn)的坐標(biāo)或線段的長度中若含有等敏感數(shù)字信息，那很可能有特殊角出現(xiàn)。2 在拋物線的解析式求出后，要高度關(guān)注交點(diǎn)三角形和頂點(diǎn)三角形的形狀，若有特殊角出現(xiàn)，那很多問題就好解決。3

23、 還要高度關(guān)注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值，若，則直線與X軸的夾角為；若；則直線與X軸的夾角為；若，則直線與X軸的夾角為。這對計(jì)算線段長度或或點(diǎn)的坐標(biāo)或三角形相似等問題創(chuàng)造條件。二次函數(shù)基本公式訓(xùn)練： _破解函數(shù)難題的基石（1）橫線段的長度計(jì)算：【特點(diǎn)：兩端點(diǎn)的y標(biāo)相等，長度=】。1 若A（2,0），B（10,0），則AB=。2 若A（-2,0），B（-4,0），則AB=。3 若M（-3,0），N（10,0），則MN=。4 若O（0,0），A（6,0），則OA=。5 若O（0,0），A（-4,0），則OA=。6 若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，則OA=。7 若O（0,0）

24、，A(t,0),且A在O的右端，則OA=。8 若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，則AB=。9 若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，則AB=。10 若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在B的右端，則PM=。注意：橫線段上任意兩點(diǎn)的y標(biāo)是相等的，反之y標(biāo)相等的任意兩個(gè)點(diǎn)都在橫線段上。 （2）縱線段的長度計(jì)算：【特點(diǎn)：兩端點(diǎn)的x標(biāo)相等，長度=】。1 (若A(0,5)，B（0,7），則AB=。2 若A（0，-4），B（0，-8),則AB=。3 若A（0,2），B（0，-6），則AB=。4 若A（0,0），B（0，-9),則AB=。5 若A(0,0)，B(0,

25、-6)，則AB=。6 若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，則OA=。7 若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，則OA=。8 若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，則AB=。9 若M（m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，則MN=。10 若P（t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，則PM=。注意：縱線段上任意兩點(diǎn)的x標(biāo)是相等的，反之x標(biāo)相等的任意兩個(gè)點(diǎn)都在縱線段上。（3）點(diǎn)軸距離： 一個(gè)點(diǎn)到x軸的的距離等于該點(diǎn)的y標(biāo)的絕對值（即），到y(tǒng)軸的距離等于該點(diǎn)的x標(biāo)的絕對值（即）。1 點(diǎn)（-4,-3)到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。2 若點(diǎn)A（

26、1-2t,)在第一象限，則點(diǎn)A到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為_。3 若點(diǎn)M（t,)在第二象限，則點(diǎn)M到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。4 若點(diǎn)A（-t,2t-1)在第三象限，則點(diǎn)A到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。5 若點(diǎn)N（t，)點(diǎn)在第四象限，則點(diǎn)N到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。6 若點(diǎn)P（t ,)在x軸上方，則點(diǎn)到軸的距離為。7 若點(diǎn)（，）在軸下方，則點(diǎn)到軸的距離為。8 若點(diǎn)（，）在軸左側(cè)，則點(diǎn)到軸的距離為。9 若點(diǎn)（，）在軸的右側(cè)，則點(diǎn)到軸的距離為。10 若動(dòng)點(diǎn)（，）在軸上方，且在軸的左側(cè)，則點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為。11 若動(dòng)點(diǎn)（，）在軸上方，且在軸的右側(cè)，則點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距

27、離為。12 若動(dòng)點(diǎn)（，）在軸下方，且在軸的左側(cè)，則點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為。13 若動(dòng)點(diǎn)（，）在軸下方，且在軸的右側(cè)，則點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為。注意：在涉及拋物線，直線，雙曲線等上的動(dòng)點(diǎn)問題中，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”后，還要高度關(guān)注動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的區(qū)域（例如：動(dòng)點(diǎn)在拋物線上位于軸下方，軸右側(cè)的圖象上運(yùn)動(dòng)），以便準(zhǔn)確寫出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中參數(shù)字母的取值范圍，以及點(diǎn)軸距離是等于相應(yīng)的相反數(shù)，還是其本身。 （）中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算：若【（），（），則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）】1 若（，），（，），則中點(diǎn)為。2 若M（0，-6），N（6，-4），則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為。3 若P（），Q（），則PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為。4 若

28、A(1,2),B(-3,4),且B為AM的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為。5 若A(-1,3),B(0,2),且A為中點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為。6 點(diǎn)（,）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。7 點(diǎn)（,）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_.8 點(diǎn)（,）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_。9 點(diǎn)（,）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。10 點(diǎn)（，）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。11 點(diǎn)（，）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。12 點(diǎn)（,）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。13 點(diǎn)（，）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。14 點(diǎn)（，）關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。15 點(diǎn)（,）關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。(5) 由兩直線平行或垂直，求直線解析式?！緝芍本€平行，則兩個(gè)k值相等；兩直線垂直，

29、則兩個(gè)k值之積為-1.】1 某直線與直線y=2x+3平行，且過點(diǎn)（1，-1），求此直線的解析式。2 某直線與直線y=x+1平行，且過點(diǎn)（2，3），求此直線的解析式。3 某直線與直線y=平行，且過點(diǎn)（-3，0），求此直線的解析式。4 某直線與y軸交于點(diǎn)P（0,3），且與直線y=平行,求此直線的解析式。5 某直線與x軸交于點(diǎn)P（-2,0），且與直線y=平行，求此直線的解析式。6 某直線與直線y=2x-1垂直，且過點(diǎn)（2,1），求此直線的解析式。7 某直線與直線y=-3x+2垂直，且過點(diǎn)（3,2），求此直線的解析式。8 某直線與直線y=垂直，且過點(diǎn)（2，-1），求此直線的解析式。9 某直線與直線y=

30、垂直，且過點(diǎn)（1，-2），求此直線的解析式。10 某直線與x軸交于點(diǎn)P（-4,0），且與直線y=垂直，求此直線的解析式。(6) 兩點(diǎn)間的距離公式：則AB=1 若A（-2,0），B（0，3），則AB=。2 若P（-2,3），Q（1，-1），則PQ=。3 若M（0,2），N（-2,5），則MN=。4 若P（），Q（），則PQ=。5 若A（),B(-1,),則AB=。6 若P(),B(),則。7 若P(),B(),則=。8 若P()，M()，則PM=。9 若（），（），則。10 若（），（），則。11 若（,），（,），則。12 若P(0，-4)，Q(0，-2)，則PQ=。13 若P(3,0)，Q(

31、4,0)，則PQ=。14 若P(1，-4)，Q(2,0)，則PQ=。（7） 直線的斜率公式：【注：所謂斜率，就是一次函數(shù)y=kx+b中k的值；可由兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得：若A()，B()（），則，（y標(biāo)之差除以對應(yīng)的x標(biāo)之差）】例題：若A(2，-3)，B(-1,4)，則解：A(2，-3)，B(-1,4)， =1 。2 。3 。4 。5 。6 。7 。8 。(8) 點(diǎn)到直線的距離公式：到直線Ax+By+C=0（為了方便計(jì)算，A,B,C最好化為整系數(shù)）的距離公式為：；運(yùn)用該公式時(shí)，要先把一次函數(shù)y=kx+b化為一般式Ax+By+C=0的形式（即：先寫x項(xiàng)，再寫y項(xiàng)，最后寫常數(shù)項(xiàng)，等號(hào)右邊必須是0）。

32、例題：求點(diǎn)P(2,-3)到直線的距離。解：先把直線化為一般式 3x-6y-4=0所以的值就是把點(diǎn)對應(yīng)代入代數(shù)式Ax+By+C中。或者把通過移項(xiàng)化為（同樣要先寫x項(xiàng)，再寫y項(xiàng)，最后寫常數(shù)項(xiàng)，等號(hào)右邊必須是0）。從而另解：因?yàn)?，P(2,-3)所以(注：由于系數(shù)中有分?jǐn)?shù)，計(jì)算比較繁雜)。12 。3 。4 。5 。6 。7 。8 。9 。10 。11 。12 。13 。在一個(gè)題中設(shè)計(jì)若干常見問題：與y軸交于點(diǎn)B，與x 軸交于C,D（C在D點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)A為頂點(diǎn)。YCODX 1 判定三角形ABD的形狀？并說明理由。Y0DxBA【通法：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，求出該三角形各邊的長】2 三角形ABD與三角形B

33、OD是否相似？說明理由。YOXDB A 【通法：用兩點(diǎn)間的距離公式分別兩個(gè)三角形的各邊之長，再用相似的判定方法】3 在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PB+PA最短？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值。若不存在，請說明理由。YXOB【通法：在兩定點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)（為了簡單起見，常常取軸上的點(diǎn)），求出該點(diǎn)關(guān)于題中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的那條直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把此對稱點(diǎn)與余下定點(diǎn)相連】4 在y軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形PAD的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出周長的最小值;若不存在，請說明理由。YD XA【通法：注意到AD是定線段，其長度是個(gè)定值，因此只需最小】5 在對稱軸上是否存在點(diǎn)，使三角形是等腰三角

34、形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。YCOXBx1【通法：對動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)一母示（，）后，分三種情況，若為頂點(diǎn)，則；若B為頂點(diǎn)，則BP=；若為頂點(diǎn)，則。分別用兩點(diǎn)間的距離公式求出或表示各線段的長度】。6 若平行于軸的動(dòng)直線與直線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)P，若三角形ODF為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).YOXD lF PB【通法：分類討論，用兩點(diǎn)間的距離公式】。7 在直線BD下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。YO DX PB【通法：】8 在直線BD下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使四邊形DOBP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出四邊形

35、面積的最大值；若不存在，請說明理由。Y O DX PB【通法：或】9 在直線BD下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使四邊形DCBP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由.YCD X O PB【通法：】10 在直線下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線BD的距離最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最大距離；若不存在，請說明理由。YOD B P【通法：因?yàn)槭嵌ň€段，點(diǎn)到直線的距離最大，意味著三角形的面積最大】11 在拋物線上，是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線BD的距離等于，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。YODXB【通法：在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，用點(diǎn)到直線的

36、距離公式，列出方程，求解即可】。12 在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。YODXCBA【通法;在動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)一母示后，把到圖形三角形ABD的面積算出，借助于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把動(dòng)三角形PBC的面積表示出來，再代入已知中的面積等式】。13 若點(diǎn)P在拋物線上，且PDB=，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。YOXDB【通法：利用，及點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出直線PB的解析式，再把此解析式與拋物線方程組成方程組，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)】。14 若Q是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C,D重合），交BC于點(diǎn)E，當(dāng)三角形QBE的面積最大時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)。YO QCXDEB【通法：三角形QBE是三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形，

37、把該三角形分割成兩個(gè)三角形基本模型的差，即，題中平行線的作用是有兩個(gè)三角形相似，從而有對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，最后該動(dòng)三角形的面積方可表示為，以動(dòng)點(diǎn)Q(t,0)的坐標(biāo)有關(guān)的開口向下的二次函數(shù)。】15 若E為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使B,D,E,F構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)。YOX【通法：以其中一個(gè)已知點(diǎn)（如：點(diǎn)B）作為起點(diǎn)，列出所有對角線的情況（如：BD，BE，BF），分別設(shè)出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，點(diǎn)F），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種情況下，兩條對角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，注意到兩個(gè)中點(diǎn)重合，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出方程組，求解即可】。中考二次函數(shù)壓軸題分析（1） 【2012宜賓中考】如

38、圖，拋物線的頂點(diǎn)A在直線l:y=x-5上。（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)。（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷三角形的形狀；（3）在直線上是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。YCODXA（2） 【2012涼山州中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于A,B,兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A,B,兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn) A的右側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)P作PDx軸于D，交AB于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段

39、PE最長？此時(shí)等于多少？YXOBPCA(3)如果平行于軸的動(dòng)直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，那么是否存在這樣的直線，使得三角形是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理.（3） 【2012廣安市中考】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABx軸于點(diǎn)B，AB=3，tanAOB=3/4。將OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，得到OA1B1；再將OA1B1繞著線段OB1的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o，得到OA2B1，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點(diǎn)B、B1、A2。（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PBB1的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第三象

40、限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB1的距離為？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（4） 【2012樂山中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C已知實(shí)數(shù)m、n（mn）分別是方程x22x3=0的兩根（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD當(dāng)OPC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；求BOD 面積的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo). （5） 【2012成都中考】如圖，在平面直角坐

41、標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) (為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(，0)，與y軸交于點(diǎn)C以直線x=1為對稱軸的拋物線 ( 為常數(shù)，且0)經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B （1）求的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由； （3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點(diǎn)，過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ，兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫出探究過程 （6） 【2012黃岡中考】如圖，已知拋

42、物線的方程：（m0)與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)。（1） 若拋物線過點(diǎn)M(2,2)，求實(shí)數(shù)m的值。（2） 在(1)的條件下，求三角形BCE的面積。（3） 在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使BH+EH最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)。（4） 在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn),為頂點(diǎn)的三角形與三角形BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。YEBCXO（七）【2013宜賓中考】如圖，拋物線經(jīng)過A（-1,0），C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B。（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D(m,m+1)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)的

43、坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接BD，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且求點(diǎn)P的坐標(biāo)。YCAOBX（八）【2013山西中考】如圖，拋物線與X軸交于A,B,兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對稱中心作棱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,0）,過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M，N.試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由.（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使三角形BDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.YDXEAOBC（九）【2013重慶中考】如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線（a0）與 x軸交于A,B兩點(diǎn)，