圓錐曲線的性質(zhì)(文科數(shù)學(xué)選修1)

1、圓錐曲線第一小題送分，第二小題要命。即：第一小題要錢不要命，第二小題，要命不要錢。大題是要命的。圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)和各種思想方法的交匯點(diǎn)，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，集中而完美地實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換，也是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范，因此圓錐曲線成為歷屆高考的命題熱點(diǎn)經(jīng)過對(duì)近幾年高考試題的統(tǒng)計(jì)、分析，特別是近年的高考卷，可以發(fā)現(xiàn)有下面四個(gè)顯著特點(diǎn)：1在橢圓中一般以選擇題或填空題的形式考查考生對(duì)橢圓的兩個(gè)定義、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況；以解答題的形式考查考生在求解橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等涉及分析、探求的數(shù)學(xué)思想的掌握情況2在雙曲線中常以

2、一道選擇題或填空題的形式考查雙曲線的兩個(gè)定義、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、準(zhǔn)線方程以及漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)；在解答題中往往綜合性較強(qiáng)，在知識(shí)的交匯點(diǎn)出題，對(duì)雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)、解析幾何的基本技能和基本方法進(jìn)行考查3拋物線是歷年高考的重點(diǎn)，在高考中除了考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)外，還常常與函數(shù)問題、應(yīng)用問題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，難度往往是中等4圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，往往以解答題的形式進(jìn)行考查常以與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、范圍問題等面貌呈現(xiàn)，這類以圓錐曲線為載體的解答題，多與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)交匯在一起這類試題往往蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想，

3、對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力有較高的要求 橢圓和雙曲線口訣：橢正雙負(fù)橢a雙c焦距與離心率是負(fù)性的。總述橢圓雙曲線畫法一根繩子栓在兩根釘子上一根不等長(zhǎng)拉鎖栓在兩根釘子上第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a (2a) 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓條件：2a2c平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a (2a2c) 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線條件：02a2010，則方程可化為-=1，而c2=k-2+k-2010不為定值，所以此時(shí)不成立. 若解之得-2k0，b0)，則其準(zhǔn)線為x=12.(解此類方程的小技巧：，代入)解得所求橢圓方程為+=1.例 *解析：答案：C 離心率焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為離心

4、率。記憶順口溜：e等于a分之c，l等于c分之a(chǎn)方。 公式法例 *橢圓25x2+y2=25的離心率為 _ 。解析：答案：例 *解析：答案：B例 *定義：離心率e=的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：+=1 (ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0) (c0)，P為橢圓E上的任意一點(diǎn)，若a，b，c不是等比數(shù)列，則 ( )A. E是“黃金橢圓”B. E一定不是“黃金橢圓”C. E不一定是“黃金橢圓”D可能不是“黃金橢圓”自解：通過此題掌握“反證法”的解題思路。以下兩命題互為逆否命題：原命題：若E為黃金橢圓，則abc是等比數(shù)列。逆否命題：若abc不是等比數(shù)列，則E不是黃金橢圓。解析：總思路：如果a，b，c是等比

5、數(shù)列有關(guān)，那么，因此，計(jì)算假設(shè)E為黃金橢圓，則e=，即c=a，b2=a2-c2=a2-2 把題設(shè)e=代入上式中。=ac. 即a，b，c成等比數(shù)列，自：反證法：由上面證得：若橢圓的離心率為e=，則a，b，c成等比數(shù)列其逆否命題為：若a，b，c不成等比數(shù)列，則橢圓的離心率不為e=答案：B例已知雙曲線的離心率是2，焦點(diǎn)是(-4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為()A. -=1B.-=1C. -=1 D.-=1解析：由焦點(diǎn)是(-4,0)，(4,0)知c=4，離心率是2,即e=2，a=2，b2=c2-a2=12，雙曲線方程為-=1.答案：A模塊 關(guān)系式法口訣：關(guān)系式法：只找關(guān)系不找e。有關(guān)系式，就有結(jié)果

6、。因?yàn)閍與c都是距離或長(zhǎng)度，因此，最主要是找長(zhǎng)度之間的關(guān)系。往往，長(zhǎng)度之間的關(guān)系，是通過角度來(lái)構(gòu)建的，是通過圓錐曲線的幾何性質(zhì)來(lái)構(gòu)建的技巧：離心率是最好計(jì)算的一種題型：只要所有的關(guān)系都要a,b,c三種量來(lái)表示即可，最后再用約去量b就可以了。求離心率的第一方法就是關(guān)系式法，不用管中的c值為多少，a值為多少，只需要關(guān)心能不能列出關(guān)系式即可。規(guī)律：根號(hào)下遞增關(guān)系：166316611662例 *解析：答案：C例 *設(shè)是等腰三角形，以A、B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為_。解析：例 *解析：答案：例 *自析：橢a雙c。解析：自：在中觀察。答案：例 *解析：答案：例 *已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

7、滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是 ()A(0,1)B.C. D.自析：幾何意義法圓在橢圓內(nèi)部，則有：橢圓的半長(zhǎng)軸都比圓的半徑大即可：關(guān)系式法：，分離b，得到a與c的式子：，于是，有：解析：，(自：，兩向量垂直。為直徑角) M點(diǎn)軌跡方程為x2+y2=c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2+y2=c2外部，(自：總方向：橢圓的短軸都要比圓的半徑長(zhǎng)。)設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|OP|c恒成立，由橢圓性質(zhì)知|OP|b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，bc，c22c2，e=.又0e1，0e1，b0) 的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(

8、-1,0)到直線l的距離之和sc，求雙曲線的離心率e的取值范圍自解：注意到a1的條件，畫如下草圖609解析：直線l的方程為+=1（自：兩截式），即bx+ay-ab=0（自：我得出的方程為：，帶了一個(gè)分母，結(jié)果計(jì)算起來(lái)非常麻煩。）由點(diǎn)到直線的距離公式，得：點(diǎn)(1,0)到直線l：bx+ay-ab=0的距離d1=（前提條件a1）. 點(diǎn)(-1,0)到直線l：bx+ay-ab=0的距離d2=.s=d1+d2=.又sc，得， (兩邊同除) （自：開始構(gòu)造e）得52e2，即4e4-25e2+250解得e2，5又e1(自：雙曲線的條件)，e的取值范圍是e，模塊 分離出x或x2，由x的范圍，得e的范圍例 *橢圓

9、 + =1 (ab0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M是橢圓上一點(diǎn)，且滿足=0. 求橢圓的離心率e的取值范圍；自解：幾何意義法：如果圓上的一點(diǎn)也在橢圓上，則橢圓與圓必有交點(diǎn)。因此，橢圓的短半軸長(zhǎng)要比圓的半徑要短。即：。由關(guān)系式法：，分離b，湊成a與c的式子：則：。于是：解析：x或x2范圍法設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，又有：，則=(x+c，y)，= (x-c，y)，由=0，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2 又由點(diǎn)M在橢圓上，由+ =1變形得y2=b2- x2.代入得：x2-c2=-(b2- x2)x2-c2= x2-b2x2=a2- . (自：得出 x2的范圍，往的方

10、向配湊。) 0x2a2， (自：總方向：往的方向湊配。) 同除:即0 1，02- 1，解得 e1，又0eb0)，當(dāng)離心率時(shí)，點(diǎn)N(0,3)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5，求此時(shí)橢圓的方程注意：時(shí)，橢圓的形狀已經(jīng)是完全固定下來(lái)的。即：解析：設(shè)點(diǎn)H(x，y)是橢圓上的一點(diǎn)，已知N(0,3)，則 (自：求H(x，y)與N(0,3)的距離：) |HN|2=x2+(y-3)2當(dāng)離心率e取最小值 時(shí)，橢圓方程可表示為 + =1，(自：這里設(shè)成參數(shù)為b的方程，是因?yàn)镹點(diǎn)在y軸上)x2=2b2-2y2.x2=2b2-2y2代入上式 (自：把x2舍去，變成關(guān)于y2的方程，也是因?yàn)镹(0,3)在y軸上。) =-(y+

11、3)2+2b2+18 (-byb)自：由對(duì)稱軸距離法得最值，看誰(shuí)離對(duì)稱軸最近。因此，是對(duì)稱軸越接受對(duì)稱軸，值就越大。把代入到中，應(yīng)該有：-(y+3)2+2b2+18=下面是這個(gè)解法的細(xì)化。即：討論一種情況：萬(wàn)一橢圓上y值不能取得3怎么辦，即：萬(wàn)一短軸長(zhǎng)比3小怎么辦。其實(shí)，這種討論是沒有必要的。原因是你在求某一個(gè)橢圓，這個(gè)橢圓，不滿足上面的條件，其實(shí)就已經(jīng)自動(dòng)退出這個(gè)舞臺(tái)了。即：|HN|2=-(y+3)2+2b2+18(自：由N(0,3)來(lái)定的范圍，因?yàn)镹在y軸正方向上的一個(gè)點(diǎn)，所以，有橢圓短軸的長(zhǎng)度在N下方與在N點(diǎn)上方兩種情況。) 若0b3，則-3-b0，當(dāng)y=-b時(shí)，|HN|2有最大值 i(

12、自：y的范圍在-byb這個(gè)范圍之內(nèi)，對(duì)|HN|2=-(y+3)2+2b2+18這個(gè)二次函數(shù)而言，開口向下，因此，當(dāng)y越接近-3時(shí)，越接近對(duì)稱軸時(shí)的最大值，但是，永遠(yuǎn)不可能等于-3.) 把y=-b代入到|HN|2=-(y+3)2+2b2+18中，得：|HN|2=|HN|2有最大值b2+6b+9.由題意知：|HN|=5 (自：點(diǎn)N(0,3)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5) 兩邊平方后有：b2+6b+9=50， 解得b的兩根為：b1=5-3b2=-5-3這與0b3矛盾； 若b3，則-b-3. (自：短軸的長(zhǎng)度大于在點(diǎn)N(0,3)之外)當(dāng)y=-3時(shí)，|HN|2有最大值.(自：y的范圍在-byb這個(gè)范圍之內(nèi)

13、，對(duì)|HN|2=-(y+3)2+2b2+18而言，開口向下，因此，當(dāng)y在對(duì)稱軸時(shí)的最大值) 把y=-3代入到|HN|2=-(y+3)2+2b2+18中，得：|HN|2=|HN|2有最大值2b2+18.由題意知：|HN|=5兩邊平方，得：2b2+18=50，b2=16，所求橢圓方程為 + =1.模塊 e2法方法平方是溝通、與的橋梁。本身是沒有平方的。打通三者的關(guān)系，就需要左右同時(shí)平方。形式一：橢圓雙曲線形式二：橢圓雙曲線從推導(dǎo)的過程中，引發(fā)的記憶：c是負(fù)性的，因此，帶c的e也是負(fù)性的。e越接近1，b越接近0，圖形越扁公式比e分式更重要：原因：橢圓和雙曲線中的分母是和，而此形式也是關(guān)于和的形式。因

14、此，計(jì)算更方便例 *解析：答案：9例 *解析：答案：例 *解析：解析：由已知得：e=，c=x1+x2=，x1x2=則x12+x22 (自：觀察答案，知道是與x2+y2有關(guān)的計(jì)算，于是，往這方向拼湊) =(x1+x2)22x1x2=+ (從此步可有另一種解法) = (自：代入到分子中) =(自：放縮法)b0)1.l 離心率越小，雙曲線開口越扁狹；（自：，如果離心率越小，也即e越接近1(e1)，則a與c的差距越小，因此，雙曲線的開口越扁狹。）607l 離心率越大，雙曲線開口越開闊（自：，因此，離心率越大，a與c的差距越大，因此，雙曲線的開口越開闊。）608e反映了圓錐曲線的扁平程度。圓當(dāng)e=0時(shí)，

15、c=0，a=b，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A當(dāng)e接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b越接近于a，橢圓越接近于圓。橢圓當(dāng)e接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b越小，橢圓越扁平。雙曲線把c想象成x軸上的一個(gè)滑點(diǎn)，如同正在幾何畫法中進(jìn)行滑動(dòng)一樣。圓：c=0時(shí)，即c在原點(diǎn)時(shí)，為圓：橢圓：c從0向a進(jìn)發(fā)的過程中，圓越來(lái)越扁。雙曲線：當(dāng)c超過了a，則為雙曲線，此時(shí)的雙曲線幾乎是緊靠著x軸。(曲彎永遠(yuǎn)在c的一面。)當(dāng)c變大，則b變大，雙曲線的張口越來(lái)越大。大到無(wú)窮時(shí)，就是過a的兩條直線。自：能不能用以上的視角，來(lái)理解：焦準(zhǔn)距等數(shù)據(jù)？c在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)：從原點(diǎn)到正負(fù)無(wú)窮自：離心率焦點(diǎn)離開中心的比率i焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸比率曲線形式圓橢

16、圓拋物線雙曲線離心率c的滑動(dòng)c在原點(diǎn)c在0與a之間可認(rèn)為c與a重合：c與a的同時(shí)滑動(dòng)決定了曲線形狀c永遠(yuǎn)在曲彎a是頂點(diǎn)。a是頂點(diǎn)。a不是頂點(diǎn)。a是頂點(diǎn)。在心離心離心記憶圓長(zhǎng)得最象0，因此，就是0記憶：橢圓長(zhǎng)得像0，因此，與0有關(guān)。拋物線長(zhǎng)得最像1.拋物線長(zhǎng)得也像1.例 *橢圓 +=1 (ab0) 的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)及右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)依次為O、F、G、H，則的最大值為( )A. B.C. D不確定599解析：由題意得=-2+=-e2+e=-2+，因此選C.答案：C 第一定義例 *若F1、F2分別是橢圓+=1 (ab0) 的左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，|

17、F1F2|=2. 求出這個(gè)橢圓的方程；解析：依題意，|PF1|+|PF2|=4, 即2a=4, 所以a=2，|F1F2|=2, 即2c=2，所以 c=，b=1.橢圓的方程為+y2=1.例 *已知橢圓+=1 (ab0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在該橢圓上求一點(diǎn)P，使|PF1|PF2|最大自解：|PF1|PF2|，只有在當(dāng)時(shí)，|PF1|PF2|才可以取得最大值時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在橢圓短軸端點(diǎn)(0，b)快解：|PF1|+|PF2|=2a|PF1|PF2|2=2=a2. (自：均值不等式) 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取“=”，此時(shí)點(diǎn)P在橢圓短軸端點(diǎn)(0，b)例 *(2011，天門)設(shè)P是橢圓+=

18、1上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則cosF1PF2的最小值是() A. B. C- D-口訣：余弦定理中暗含著均值不等式。自解：由焦三角的面積公式可輕易得出：，則y越大，越大。自解：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)：可知，必是時(shí)取得最值：原因：“一正二定二相等”中的相等。不相等，不可能取得最值。cos是0-180度之間時(shí)，是減函數(shù)，因此，F(xiàn)1PF2最大時(shí)，cosF1PF2的值最小，如圖所示：588由余弦定理可得：cosF1PF2解析：自：自己的解法與之完全一樣設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由題意m+n=6，c=，則:cosF1PF2= (m+n=2a，代入此式中。) =-1-1 (自：把m+n=6代入上式

19、中。) =-答案：C例 *ABC中，A、B、C所對(duì)三邊為a、b、c，B(-1,0)，C(1,0)，求滿足sinC-sinB=sinA時(shí)，頂點(diǎn)A的軌跡，并畫出圖形分析：首先利用正弦定理把三角關(guān)系轉(zhuǎn)成三邊關(guān)系利用雙曲線的定義可判斷A點(diǎn)軌跡的形狀，然后還要結(jié)合實(shí)際問題，確定曲線的范圍自：解題準(zhǔn)備:解析：1183sinC-sinB=sinA， - = ，（自：同乘2R）即：c-b= a=2=1，亦即：2a= |AB|-|AC|=1，2c=BC=2動(dòng)點(diǎn)A(x，y)符合雙曲線的定義且知雙曲線中的2a=1, 2c=2，a=，b2=c2-a2= ，點(diǎn)A的軌跡方程為 - =1，由cb即是|AB|AC|，可知點(diǎn)A

20、的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為1，虛軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支.（自：因?yàn)槭侨切?，）還需除去點(diǎn)誤區(qū)指津：題目要求的是“頂點(diǎn)A的軌跡”，必須指明軌跡是什么及軌跡的主要特征(如中心位置、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)度等)，有很多同學(xué)只求出 - =1便結(jié)束了，沒有指明軌跡的情況點(diǎn)評(píng)：利用正弦定理把條件sinC-sinB=sinA轉(zhuǎn)化為|AB|-|AC|=1，正符合雙曲線的定義，但與定義又有點(diǎn)差別(缺少差的絕對(duì)值條件)，且由實(shí)際，A、B、C不能共線，故又去掉點(diǎn) 第二定義：e=點(diǎn)焦/點(diǎn)準(zhǔn)1. 雙曲線的定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a (2a2c) 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線第二定

21、義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l (F不在l上)的距離的比是常數(shù)e (e1) 的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡叫做雙曲線模塊 點(diǎn)焦/點(diǎn)準(zhǔn)利用定義|PF1|+|PF2|=2a及=e可以求解有關(guān)問題例 *設(shè)橢圓+=1(m1)上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1，則P到右準(zhǔn)線的距離為()A. 6B. 2C. D. 自解：|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4e=.到右焦點(diǎn)的距離為1，到右焦點(diǎn)的距離設(shè)為d，則=，d=2解析：由橢圓上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1知|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4，a=2.m=2. 橢圓方程為+=1，e=.由橢圓的第二定義知，點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與到

22、右準(zhǔn)線的距離之比為，即=，d=2.答案：B例 (2011杭州)在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,1) B(1，+)C(0,5) D(5，+)解析：將m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2變形為mx2+(y+1)2=(x-2y+3)2，則當(dāng)m0時(shí)：不表示任何曲線； (自：出現(xiàn)了虛數(shù)。) 當(dāng)m=0時(shí)：表示直線 (自：0=(x-2y+3)2) 當(dāng)m0時(shí) ，方程進(jìn)一步變?yōu)椋?|x-2y+3|. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)：設(shè)直線l：x-2y+3=0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到直線l的距離，即：，可代入上式，設(shè)點(diǎn)A(0，-

23、1)，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與已知點(diǎn)A(0，-1)的距離為：|PA|=，方程轉(zhuǎn)化為|PA|=d，所以=.故動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)A(0，-1)的距離與到定直線l：x-2y+3=0的距離之比為 ，由橢圓第二定義知該橢圓離心率為 ，則0 1，m(5，+)故選D.答案：D例 *已知雙曲線-=1的離心率e1+，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上找一點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)？解析：設(shè)在左支上存在P點(diǎn)，使|PF1|2=|PF2|d，由雙曲線的第二定義知=e，即|PF2|=e|PF1|，再由雙曲線的第一定義，得|PF2|-|PF1|=2a，由式，解得|

24、PF1|=，|PF2|=. 因在PF1F2中有|PF1|+|PF2|2c，自：這樣構(gòu)造的原因：在圓錐曲線中，只要是知道任意兩個(gè)參數(shù)，就可以推知出e。知a與b，可推知c,于是，e=，知a與c，可知e=，知b與c，可知a，于是，可知：e=)因此，只有a與e，要與c產(chǎn)生聯(lián)系。于是，構(gòu)造出c。構(gòu)造b的話，還要與c間接產(chǎn)生聯(lián)系。我的自解中，就是構(gòu)造出b. 拼湊e=：e2-2e-10，解得1-e1+.e1，1e1+與已知e1+矛盾即符合條件的點(diǎn)P不存在自解：總方向：向的方向進(jìn)行構(gòu)造。604自：設(shè)點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為根據(jù)“|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)”，有根據(jù)橢圓的

25、第二定義，有，代入到上式中：根據(jù)橢圓的第二定義，有，與上式合并為：由圖像可知，P到左準(zhǔn)線的距離與到右準(zhǔn)線的距離相差，因此，即：由圖像可知，的最小值在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)處取得，即因此，應(yīng)該有不等式成立。 (因?yàn)樵陔p曲線中定義中，因此，可以同除a) (因?yàn)閑1+，因此，因此，可以同乘。)此結(jié)論與前提e1+矛盾。因此，不存在這樣的P點(diǎn)。 焦半徑 焦半徑的傳統(tǒng)證法模塊 橢圓的焦半徑橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a (2a) 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l (F不在l上)的距離的比是常數(shù)e (0e1) 的動(dòng)點(diǎn)P軌跡叫做橢圓證明：注：永遠(yuǎn)在負(fù)半軸

26、(無(wú)論是x軸還是y軸) ，永遠(yuǎn)在正半軸，長(zhǎng)軸在x軸：585(自：e為橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的比。)自：記憶：把P點(diǎn)設(shè)在第一象限 (這樣得到的中的x與y皆為正值) ，由圖即可觀察到，而且，可以反映在數(shù)據(jù)上：ll同時(shí)： (這正好是橢圓的定義)長(zhǎng)軸在y軸：586自：記憶：把P點(diǎn)設(shè)在第一象限 (這樣得到的中的x與y皆為正值) ，由圖即可觀察到，而且，可以反映在數(shù)據(jù)上：ll模塊 雙曲線的焦半徑一、點(diǎn)P在右半支603 （自：距離永遠(yuǎn)是大于0的數(shù)，這里，因此，是。對(duì)比橢圓：因?yàn)?，因此，距離若要大于0，因此，為）二、點(diǎn)P在左半支604三、點(diǎn)P在上半支605四、點(diǎn)P在下半支606 焦半徑的快速記憶：點(diǎn)焦距

27、轉(zhuǎn)化為點(diǎn)準(zhǔn)距半徑無(wú)負(fù)值：大-小上-下，大-小P點(diǎn)視為ex或ey準(zhǔn)線視為自：沒有負(fù)值，全部是正值自：有正負(fù)之分橢圓585586雙曲線603604605606模塊 焦半徑 橢圓例 *在橢圓+=1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)的距離的兩倍自解：其中，,代入到其中：以下同解析。解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)橢圓的準(zhǔn)線方程為x=，= (自：到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為) ，又 |PF1|=2|PF2|，x=.把x=代入方程+=1，得y=.因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為.例 *(2010，四川卷)橢圓 +=1 (ab0) 的右焦點(diǎn)為F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A。在橢圓

28、上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是()A(0， B(0，C-1,1) D，1)1179自析：總方向：求在P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，xP的范圍在長(zhǎng)軸-a與+a之間。通過此不等式來(lái)構(gòu)造出。分離出x， （左端點(diǎn)可取得等號(hào)，右端點(diǎn)不可取得等號(hào)。）則：關(guān)系已經(jīng)建立，非常好解。解析：由垂直平分線可知：F點(diǎn)到P與到A的距離相等：|PF|=|AF|=-c，（AF的長(zhǎng)度等于準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離。）設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，再由第二定義知 d=，得P點(diǎn)橫坐標(biāo)xP=-d=-，由題意，得：（自：xP的范圍在長(zhǎng)軸-a與+a之間。）（，可同除a） 先解： (自：因，舍去。) 再解：597當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解

29、得又因?yàn)橹g，因此：解得e0)為右焦點(diǎn)，則由=2，得D點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是B點(diǎn)到右準(zhǔn)線距離的一半，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)xD=。（推導(dǎo)：i）600則=2知，F(xiàn)分所成的比為2，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式(自：x=，(-1)得：自：列值：,c=，得3c2=a2，得e=.答案： 焦半徑的極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)方法：橢圓極坐標(biāo)方程為rep (1ecosA) e為離心率ca，p為焦準(zhǔn)距bc，A為極角。解焦點(diǎn)弦問題的好方法。因?yàn)榻M成焦點(diǎn)弦的兩個(gè)坐標(biāo)的極角恰好相差。r1r22ep1 (ecosA) 由于焦點(diǎn)在y軸上，所以這里的極角A與焦點(diǎn)弦傾角a互余。所以焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為2ep1 (esina) 將e、p值代入得：2aba (csina)

30、 這一部分已經(jīng)在人教版中刪去了，只要知道這個(gè)公式就可以，有疑問可以追問哦。，極坐標(biāo)方法：橢圓極坐標(biāo)方程為rep (1ecosA) e為離心率ca，p為焦準(zhǔn)距bc，A為極角。解焦點(diǎn)弦問題的好方法。因?yàn)榻M成焦點(diǎn)弦的兩個(gè)坐標(biāo)的極角恰好相差。r1r22ep1 (ecosA) 由于焦點(diǎn)在y軸上，所以這里的極角A與焦點(diǎn)弦傾角a互余。所以焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為2ep1 (esina) 將e、p值代入得：2aba (csina) 這一部分已經(jīng)在人教版中刪去了，只要知道這個(gè)公式就可以，有疑問可以追問哦。，橢圓弦長(zhǎng)公式關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長(zhǎng)，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程

31、，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式(1+k2)(x1+x2)2 - 4x1x2求出弦長(zhǎng)，這種整體代換，設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長(zhǎng)是十分有效的，然而對(duì)于過焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷。用極坐標(biāo)方法橢圓極坐標(biāo)方程是：r(a)=ep/(1-ecosa)其中e是橢圓離心率，p是焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，a是向徑到x軸的角度所以你要求的那個(gè)弦長(zhǎng)就是：r(a)+r(a+pi)=2ep/(1-e2cosa*cosa)2公式d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1+x2)2 - 4x1x2

32、 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1+y2)2 - 4y1y2若直線過焦點(diǎn)并知道傾斜角，則還可以 d =2ep/(1-e2cosa*cosa)3推導(dǎo)設(shè)直線y=kx+b代入橢圓的方程可得：x2/a2 + (kx+b)2/b2=1，設(shè)兩交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)A為 (x1,y1)，點(diǎn)B為(x2,y2)則有AB=(x1-x2)2+(y1-y2)把y1=kx1+b.y2=kx2+b分別代入,則有：AB= (x1-x2)2+(kx1-kx2)2=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2=(1+k2)*x1-x2同理可以證明：弦長(zhǎng)=y1-y2(1/k2)+114延伸此公式適用于所有圓錐曲

33、線 包括 圓橢圓雙曲線和拋物線橢圓：(1)焦點(diǎn)弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB為橢圓的焦點(diǎn)弦，M(x,y)為AB中點(diǎn)，則L=2a2ex(2)設(shè)直線；與橢圓交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則|P1P2|=|x1-x2| (1+K²) 或|P1P2|=|y1-y2|(1+1/K²) 雙曲線：(1)焦點(diǎn)弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB為雙曲線的焦點(diǎn)弦，M(x,y)為AB中點(diǎn)，則L=-2a2ex(2)設(shè)直線；與雙曲線交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則同上K=(y2-y1)/(x2-x1)拋物線：

34、(1)焦點(diǎn)弦：已知拋物線y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，則|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H) H為弦AB的傾斜角(2)設(shè)直線；與拋物線交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則同上橢圓弦長(zhǎng)公式編輯目錄1釋義2公式3推導(dǎo)4延伸1釋義關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長(zhǎng)，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式(1+k2)(x1+x2)2 - 4x1x2求出弦長(zhǎng)，這種整體代換，設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長(zhǎng)是十分有

35、效的，然而對(duì)于過焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷。用極坐標(biāo)方法橢圓極坐標(biāo)方程是：r(a)=ep/(1-ecosa)其中e是橢圓離心率，p是焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，a是向徑到x軸的角度所以你要求的那個(gè)弦長(zhǎng)就是：r(a)+r(a+pi)=2ep/(1-e2cosa*cosa)2公式d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1+x2)2 - 4x1x2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1+y2)2 - 4y1y2若直線過焦點(diǎn)并知道傾斜角，則還可以 d =2ep/(1-e2cos

36、a*cosa)3推導(dǎo)設(shè)直線y=kx+b代入橢圓的方程可得：x2/a2 + (kx+b)2/b2=1，設(shè)兩交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)A為 (x1,y1)，點(diǎn)B為(x2,y2)則有AB=(x1-x2)2+(y1-y2)把y1=kx1+b.y2=kx2+b分別代入,則有：AB= (x1-x2)2+(kx1-kx2)2=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2=(1+k2)*x1-x2同理可以證明：弦長(zhǎng)=y1-y2(1/k2)+114延伸此公式適用于所有圓錐曲線 包括 圓橢圓雙曲線和拋物線橢圓：(1)焦點(diǎn)弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB為橢圓的焦點(diǎn)弦，M(x,y)為AB中點(diǎn)，則L=2a2ex(2)設(shè)直線；與橢圓交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則|P1P