自動控制原理第7章-線性離散控制系統(tǒng)

1、2010.12.21,1,8章 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,楊春曦,2010.12.21,2,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析,2010.12.21,3,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析,2010.12.21,4,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,離散控制系統(tǒng) 定義：線性控制系統(tǒng)中任一環(huán)節(jié)出現(xiàn)采樣開關(guān)或數(shù)字信號， 稱為線性離散控制系統(tǒng)。 數(shù)字系統(tǒng)：某處傳

2、輸或處理的信號是數(shù)碼信號/數(shù)字序列。 （計算機控制系統(tǒng)） 采樣系統(tǒng)：某處傳輸或處理的信號是時間的離散函數(shù)。 （脈沖序列信號） 1、計算機控制系統(tǒng) 直接數(shù)字控制系統(tǒng) 計算機監(jiān)督控制系統(tǒng) 集散控制系統(tǒng),2010.12.21,5,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（1）直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDCDirect Digital Control）,圖8-1 直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDC）,2010.12.21,6,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（2）計算機監(jiān)督控制系統(tǒng) （SCCSurveillance Computer Control System）,圖8-2 計算機監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCC）,2010.12.21,7

3、,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（3）集散控制系統(tǒng)（TDCTotal and Distributed Control）,圖8-3 集散控制系統(tǒng)（TDC）,2010.12.21,8,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，容易實現(xiàn)多路控制； 信號的檢測/轉(zhuǎn)換等控制精度高； 數(shù)碼/采樣信號抗干擾能力強，適合遠距離傳送； 可實現(xiàn)復雜的控制目標，控制管理一體化。,計算機控制系統(tǒng)的優(yōu)點：,2010.12.21,9,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,一般說來，采樣系統(tǒng)是對連續(xù)信號在某些規(guī)定的時間瞬時上取值。,2、采樣系統(tǒng),（1）采樣方式 周期采樣：在有規(guī)律的間隔上取離散信息。 隨機采樣：信息之間的間隔

4、是時變/隨機的。,2010.12.21,10,采樣開關(guān)：把連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列。 采樣周期：T(s) 采樣頻率： 采樣角頻率： 采樣持續(xù)時間： 保持器：信號復現(xiàn)，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（2）信號的采樣和復現(xiàn),2010.12.21,11,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（3）采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,s：理想采樣開關(guān)。瞬時脈沖幅值= 偏差信號的幅值 ：保持器的傳遞函數(shù)。,2010.12.21,12,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析,2010

5、.12.21,13,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（3）采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,一、采樣過程及其數(shù)學描述 采樣：把連續(xù)信號變?yōu)槊}沖信號的過程稱為采樣過程。 可以看成是一個幅值調(diào)制過程。 采樣器：實現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器。采樣器是采樣系統(tǒng)的基本元件，每隔一段時間，開關(guān)閉合一次，使輸入信 號通過。 理想采樣器好像是一個幅值調(diào)制器。,2010.12.21,14,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,因為 的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義，所以有,設連續(xù)輸入信號為 ，經(jīng)調(diào)制后，輸出信號為 脈沖強度等于相應瞬間 時 的值。即,2010.12.21,15,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,對于實際的采樣控制系統(tǒng)，總有一個工作

6、起始時間，因此假定當t0時e(t)=0。 則斷續(xù)信號描述為（時域描述）:,說明:,1、e*(t)的拉氏變換E*(s),2010.12.21,16,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,根據(jù)拉氏變換的實位移定理，,所以有,上式將E*(s)與離散時域信號e*(nT)聯(lián)系起來，可以直接看出e*(t)的時間響應。但是e*(t)僅描述了e(t)在采樣時刻的值，所以E*(s)不可能給出e(t)在兩個采樣時刻之間的任何信息。,2010.12.21,17,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例1 設e(t)=1(t)，試求e*(t)的拉氏變換。,例2 設e(t)=e-at，t0，a為常數(shù)，求e*(t)的拉氏變換。,上例表明

7、，用拉氏變換法來對離散信號進行變換時，得到的式子是有關(guān)s的超越函數(shù)，不利于分析。因此要引入z變換。,2010.12.21,18,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2、 e*(t)的頻譜E*(j),通過傅立葉級數(shù)展開，經(jīng)過變換（P268）得,如果連續(xù)信號e(t)的頻譜|E(j)|是單一的連續(xù)函數(shù)，則離散信號e*(t)的頻譜|E*(j)|是以采樣角頻率s為周期的無窮多個頻譜之和。,2010.12.21,19,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,要想從采樣信號e*(t)中完全復現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號e(t)，對采樣角頻率s有一定的要求。,2010.12.21,20,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,二、香農(nóng)（sha

8、nnon）采樣定理,采樣器的輸入信號具有有限頻譜：,采樣定理：為使離散信號不失真的還原成原來的連續(xù)信號，采樣頻率必須大于等于原連續(xù)信號所含最高頻率的兩倍。即,如果采樣頻率滿足上面條件，則兩相鄰信號間無交叉部分。因此可設計如下理想濾波特性的濾波器，即可不失真地恢復原連續(xù)信號。,2010.12.21,21,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,三、采樣周期的選擇,工程實踐表明，根據(jù)下表給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。,工業(yè)過程T的選擇,2010.12.21,22,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣

9、系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析,2010.12.21,23,能將采樣信號轉(zhuǎn)變成在兩個連續(xù)采樣時刻之間保持常量的信號，即在區(qū)間 內(nèi)，零階保持器的輸出值一直保持為e(nT)，從而使采樣信號變成階梯信號。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,信號保持,控制系統(tǒng)中的被控對象、執(zhí)行部件通常都是在模擬量下工作的。因而采樣信號經(jīng)過控制器后，必須轉(zhuǎn)變成連續(xù)信號。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換過程的裝置就是保持器。,一、零階保持器,2010.12.21,24,因為在每個采樣區(qū)間的值均為常數(shù)，其導數(shù)為零，故稱為零階保持器。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2010.12.21,25,1、零階保持器的傳遞函數(shù),8. 線性離散系統(tǒng)的理論

10、基礎,如果給零階保持器輸入一個理想單位脈沖(t)，則其脈沖過渡函數(shù)gh(t)是幅值為1，持續(xù)時間為T的矩形脈沖，即,對上式取拉氏變換，得,零階保持器的傳遞函數(shù)也可以從保持器的輸入輸出信號關(guān)系式中求出。,2010.12.21,26,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,零階保持器的幅頻特征和相頻特性如下圖所示：,頻率特性： 1）低通特性。增加，|Gh(j)|迅速減小。 2）相角滯后特性。越大，滯后越多，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。,2010.12.21,27,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析

11、,2010.12.21,28,由于采樣信號的拉氏變換是s的超越函數(shù)，出現(xiàn)指數(shù)項 ，無法得到像線性連續(xù)系統(tǒng)中那樣的線性代數(shù)特征方程。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,引入變量 ，則得Z變換的定義式：,一、Z變換的定義,Z變換將復平面問題轉(zhuǎn)化為Z平面上的問題：,S平面斷續(xù)信號的拉氏變換為：,Z平面：,2010.12.21,29,根據(jù)Z變換定義，將 展開成無窮級數(shù)表達式， 對于常用函數(shù)Z變換的級數(shù)形式，通常可以寫出其閉合形式。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,x*(t)的Z變換記為Zx*(t)，,在Z變換中，X(z)為采樣脈沖序列的Z變換，即只考慮采樣時刻的信號值。,二、z變換表達式的求法,1、級數(shù)求和

12、法,2010.12.21,30,例8-1：求 的Z變換 (P272),8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,結(jié)論：相同的Z變換X(z)對應于相同的采樣函數(shù)x*(t)，但是不一定對應于相同的連續(xù)函數(shù)x(t)。,2010.12.21,31,對于簡單連續(xù)函數(shù)的拉氏變換，將其展成部分分式和的形式，查表。P273，Z變換表,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2、部分分式法,例8-2：求 的Z變換表達式。(P272),解：,2010.12.21,32,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-3：求 。(P273),解1：,2010.12.21,33,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-3：求 。(P273),解2：,歐拉

13、公式,2010.12.21,34,1、線性定理,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,三、z變換的性質(zhì) （P273）,z變換是線性變換，滿足齊次性、均勻性。,2、實位移定理,指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干T，向左平移為超前，向右為遲后。,2010.12.21,35,3、復位移定理,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,4、微分定理,5、初值定理,6、終值定理,2010.12.21,36,Z變換函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€多項式之比的形式：,Z變換將分析差分方程的問題轉(zhuǎn)換為分析代數(shù)方程問題，然后通過求X(z)的原函數(shù)，可求出離散系統(tǒng)的時域響應。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,四、Z反變換,1、冪級數(shù)法（長除法）

14、（P276）,用分子除分母，并將商按的 升冪排列得：,2010.12.21,37,解：,則,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-4：已知 ，求Z反變換。,2010.12.21,38,又稱為查表法，其基本思想是將 展開成部分分式,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,四、Z反變換,2、部分分式法,然后查Z變換表P273，即可求得原函數(shù),例8-5：已知 ， 求Z反變換。,2010.12.21,39,查表法得,例8-6：已知 ，求z反變換 （P276）,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,解：,3、留數(shù)法（反演積分法）,2010.12.21,40,所以,例8-7：已知 ，求z反變換 （P277）,8. 線性離散系

15、統(tǒng)的理論基礎,解：,2010.12.21,41,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析,2010.12.21,42,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2010.12.21,43,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 差分方程 脈沖傳遞函數(shù) 離散狀態(tài)空間表達式 (現(xiàn)代控制理論),2010.12.21,44,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,一、差分方程及其求解,2010.12.21,45,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2、差分方程求解,2010.12.21,46,8. 線性

16、離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-8：已知離散系統(tǒng)的差分方程為 ， 求差分方程的解。,2010.12.21,47,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,二、脈沖傳遞函數(shù),開環(huán)采樣系統(tǒng)： 在實際中，只討論在采樣時刻輸出與輸入離散信號間的關(guān)系。,1、定義：脈沖傳遞函數(shù)是在零初始條件下，輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比。,零初始條件： 在t0時，輸入脈沖序列各采樣值r(T)，r(2T)，以及輸出脈沖序列各采樣值y(T)，y(2T)，均為零。,2010.12.21,48,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比，記作,若已知R(z)和G(z)，則在零初始條件下，,20

17、10.12.21,49,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,說明： 在實際系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出是連續(xù)信號y(t)，輸出端并沒有采樣開關(guān)，我們將虛設一個與輸入端同步的虛擬采樣開關(guān)。,表明： G(z)所能描述的，只是y(t)在采樣時刻上的離散值y*(t)。,2010.12.21,50,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,三、脈沖傳函的求法,（一）開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳函,1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函,開環(huán)采樣系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，采樣開關(guān)的數(shù)目和位置將直接影響脈沖傳函的形式。,2010.12.21,51,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān),結(jié)論： 沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的 G

18、(z)，等于串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)乘積后的相應Z變換。,2010.12.21,52,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,（二）閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳函,(1)輸出對給定輸入的脈沖傳函令d(t)=0,1、誤差采樣閉環(huán)采樣系統(tǒng),2010.12.21,53,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2010.12.21,54,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2010.12.21,55,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,(2) 輸出對擾動的脈沖傳函 令 r(t)=0,2010.12.21,56,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,系統(tǒng)中各動態(tài)環(huán)節(jié)的傳函不變，但采樣開關(guān)處于不同位置，所求的脈沖傳函也不相同；有時開關(guān)所處位置，會使系統(tǒng)求不出脈沖

19、傳函，而只能求出輸出的Z變換表達式。,2010.12.21,57,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,說明： 在采樣系統(tǒng)的分析中，存在這樣一些系統(tǒng)，在前向通路中無采樣開關(guān)存在，已有的采樣開關(guān)S既不對輸入的信號r(t)采樣，也不對輸出信號y(t)采樣，嚴格意義上講，系統(tǒng)不僅閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不存在，而且系統(tǒng)的Y(z)也無定義。 但從系統(tǒng)物理意義的角度看，系統(tǒng)輸出都必須能檢測，所以象這種情況，一般都默認在輸出端有一個虛擬的采樣開關(guān)存在，以保證Y(z)有定義。,2010.12.21,58,例8-7：已知閉環(huán)采樣系統(tǒng)如圖，求系統(tǒng)的單位階躍響應。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,解：,2010.12.21,59,

20、8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2010.12.21,60,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,8.1 概述 8.2 采樣過程的數(shù)學描述 8.3 信號恢復 8.4 Z變換理論 8.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 8.6 采樣系統(tǒng)分析,2010.12.21,61,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,采樣系統(tǒng)分析 穩(wěn)定性分析 暫態(tài)響應 穩(wěn)態(tài)誤差分析,2010.12.21,62,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,一、穩(wěn)定性分析,采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析實際上是將S平面的信息，通過Z變換轉(zhuǎn) 移到了Z平面。,1、采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 采樣系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的模小于1，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2010.12.2

21、1,63,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-8：已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖示，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,解：,2010.12.21,64,勞斯代數(shù)判據(jù)無法直接應用在Z平面上，因此引入雙線性映射,將Z平面的點映射到W平面上。,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2、穩(wěn)定性判據(jù),假定Z平面上一點 對應W平面上一點,令： ，則有,當然，也可以令,2010.12.21,65,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,因此可在W平面上利用勞斯代數(shù)判據(jù)分析采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,2010.12.21,66,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-9：已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖示，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,由閉環(huán)特征方程,解：,2010

22、.12.21,67,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,勞斯表中第一列為正，該采樣系統(tǒng)穩(wěn)定。,解：,2010.12.21,68,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,穩(wěn)定性分析的特殊問題： 潛伏震蕩：離散輸出是穩(wěn)定的，但實際物理系統(tǒng)輸出可能振 蕩；Z變換只考慮采樣時刻的局限性。 連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化后，其穩(wěn)定性一般會變壞，對參數(shù)的取值要 求更高。 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外，還與系 統(tǒng)的采樣周期有關(guān)。,2010.12.21,69,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,例8-10：當T=0.1s時，分析穩(wěn)定性。求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k取值范圍。,解：,離散系統(tǒng)，00， 則系統(tǒng)穩(wěn)定。,2010.12.21,70

23、,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,二、采樣系統(tǒng)的暫態(tài)性能,離散系統(tǒng)的動態(tài)特性，是由外加輸入信號作用下的輸出曲線來反映的，通常給定輸入為單位階躍信號，研究的是過渡過程中各采樣點上的離散值。,1、采樣系統(tǒng)的時域性能指標,例8-11：已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，T=1s，在單位階躍信號作用下， 試分析該系統(tǒng)有無零階保持器時的動態(tài)性能。,2010.12.21,71,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,解： 1）有零階保持器,用長除法求得,輸出響應序列為,2010.12.21,72,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,從響應序列曲線上估計系統(tǒng)的近似的動態(tài)性能指標，得,2）沒有零階保持器,2010.12.21,73,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,零階保持器對系統(tǒng)的動態(tài)性能不利，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。,2010.12.21,74,8. 線性離散系統(tǒng)的理論基礎,2、閉環(huán)采樣系統(tǒng)的極點與暫態(tài)性能的關(guān)系,系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定