2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章5第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（一）課件理.pptx

1、第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(一),考點(diǎn)一 不等式證明,考點(diǎn)二 不等式恒成立問題,考點(diǎn)突破,典例1(2018福建第一學(xué)期考試)已知函數(shù)f(x)=1-ln x+a2x2-ax(a0). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若a=0且x(0,1),求證:+x2-1.,不等式證明,考點(diǎn)突破,解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=-+2a2x-a=. 若a=0,則f (x)0,則當(dāng)x=時(shí), f (x)=0,當(dāng)0時(shí), f (x)0, 故f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. (2)若a=0且x(0,1),欲證 +x2-1, 只需證+x2-1,即證x(1-ln x)(1+x-x3)ex.,設(shè)

2、函數(shù)g(x)=x(1-ln x),x(0,1),則g(x)=-ln x. 當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,故函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增. 所以g(x)x3,所以1+x-x31, 又01, 所以g(x)1h(x), 即原不等式成立.,方法技巧 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問題的常用方法 (1)直接將不等式成立問題轉(zhuǎn)化成求某個(gè)函數(shù)最值問題: 若證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果F(x) 0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時(shí)若F(a)0,由減函數(shù)的定義可知,x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x).,(2)將不等式成立問題轉(zhuǎn)化為比較

3、兩個(gè)函數(shù)的最值問題: 在證明不等式時(shí),若通過不等式的變形無法將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最 值問題,可轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)的最值問題進(jìn)行證明,如要證f(x)g(x)在D上成立,則需證明f(x)ming(x)max.,1-1(2018廣西柳州畢業(yè)班摸底)已知函數(shù)f(x)=ax+xln x在x=e-2處取得極小值. (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)當(dāng)x1時(shí),求證:f(x)3(x-1).,解析(1)因?yàn)閒(x)=ax+xln x,所以f (x)=a+ln x+1, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=e-2處取得極小值,所以f (e-2)=0,即a+ln e-2+1=0, 所以a=1,所以f (x)=ln x+2, 當(dāng)f (

4、x)0時(shí),xe-2,當(dāng)f (x)0).,g(x)=ln x-1,由g(x)=0得x=e. 由g(x)0得xe,由g(x)0. 于是在(1,+)上,都有g(shù)(x)g(e)0,所以f(x)3(x-1).,典例2(2018石家莊質(zhì)量檢測(一)已知函數(shù)f(x)=axex-(a+1)(2x-1). (1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程; (2)當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,不等式恒成立問題,解析(1)若a=1,則f(x)=xex-2(2x-1), f (x)=xex+ex-4, 則f (0)=-3, f(0)=2, 所以所求切線方程為y=-3x+2.

5、 (2)由已知可得, f(1)0,則a0, f(x)0對任意的x0恒成立可轉(zhuǎn)化為對任意的x0恒成立. 設(shè)函數(shù)F(x)=(x0),則F(x)=-. 當(dāng)00,當(dāng)x1時(shí),F(x)0,所以函數(shù)F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減, 所以F(x)max=F(1)=, 于是,解得a. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.,方法技巧 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略 (1)首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (2)分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.,同類練設(shè)函數(shù)f(x)=+2ln x. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性

6、; (2)如果對所有的x1,都有f(x)ax,求a的取值范圍.,解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=, 所以當(dāng)0時(shí), f (x)0, 故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. (2)當(dāng)x1時(shí), f(x)axa+, 令h(x)=+(x1), 則h(x)=-=,令m(x)=x-xln x-1(x1),則m(x)=-ln x, 顯然,當(dāng)x1時(shí),m(x)0, 所以m(x)在1,+)上為減函數(shù), 所以m(x)m(1)=0, 因此h(x)0,于是h(x)在1,+)上為減函數(shù), 所以當(dāng)x=1時(shí),h(x)有最大值h(1)=1,故a1, 即a的取值范圍是1,+).,變式練(2018沈陽質(zhì)量檢

7、測(一)已知函數(shù)f(x)=(x+1)2-3aln x,aR. (1)求函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo); (2)若對任意的x1,e, f(x)4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解析(1)當(dāng)x=1時(shí),ln 1=0, f(1)=4, 所以函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(1,4). (2)f (x)=2x+2-=,x0. 當(dāng)a0時(shí), f (x)0, f(x)在1,e上單調(diào)遞增. f(x)min=f(1)=4, f(x)4不恒成立. 當(dāng)a0時(shí),設(shè)g(x)=2x2+2x-3a,x0. g(x)圖象的對稱軸為直線x=-,g(0)=-3a0,g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,且存在唯一的x0(0,+),使得g(x0

8、)=0. 當(dāng)x(0,x0)時(shí),g(x)0,即f (x)0, f(x)在(x0,+)上單調(diào)遞增. f(x)在1,e上的最大值f(x)max=maxf(1), f(e),由(e+1)2-3a4,解得a, 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.,深化練(2018山西八校第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x(aR),g(x)=. (1)當(dāng)a=-2時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程; (2)若a0,且對任意x1,x2(0,1,都有|f(x1)-f(x2)|4|g(x1)-g(x2)|,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解析(1)當(dāng)a=-2時(shí), f(x)=x-1+2ln x, f (x)=1+, f(1)=0,切線的斜率k=f (1)=3, 故曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為3x-y-3=0. (2)對任意x(0,1,當(dāng)a0,f(x)在(0,1上單調(diào)遞增,易知g (x)=在(0,1上單調(diào)遞減, 不妨設(shè)x1,x2(0,1且x1g(x2), f(x2)-f(x1)4g(x1)-g(x2),即f(x1)+f(x2)+. 令h(x)=f(x)+,則當(dāng)x1h(x2),h(x)在(0,1上