高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 5.4 數(shù)列求和課件(理).ppt

1、第四節(jié) 數(shù)列求和,【知識(shí)梳理】 1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,3.一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (1)1+2+3+4+n=_. (2)1+3+5+7+2n-1=_. (3)2+4+6+8+2n=_. (4)12+22+n2= . (5)13+23+n3=(1+2+n)2.,n2,n2+n,4.數(shù)列求和方法 (1)公式法求和: 使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的求和方法. (2)裂項(xiàng)相消法求和: 把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差,使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法.,(3)錯(cuò)位相減法求和: (i)適用的數(shù)列:anbn,其中數(shù)列an是公差

2、為d的等差數(shù)列,bn是公比為q1的等比數(shù)列. (ii)方法:設(shè)Sn=a1b1+a2b2+anbn(*), 則qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*),(*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和. 例如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.,(4)倒序相加法求和: 如果一個(gè)數(shù)列an與_的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)之和,可把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)式子相加,就得到一個(gè)常數(shù)列的和,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,例如,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.,首末兩端等“距離”,(5)分組轉(zhuǎn)化法求和: 若一個(gè)數(shù)列的

3、通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法求和,分別求和而后相加減.例如,已知an=2n+(2n-1),求其前n項(xiàng)和Sn.,(6)并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和: 把數(shù)列中的若干項(xiàng)結(jié)合到一起,形成一個(gè)新的可求和的 數(shù)列,此時(shí),數(shù)列中的項(xiàng)可能_出現(xiàn)或呈現(xiàn) _.形如an=(-1)nf(n)類(lèi)型,可采用兩項(xiàng)合并求解. 例如:Sn=1002-992+982-972+22-12=(1002-992)+(982- 972)+(22-12)=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,正、負(fù)相間,周期性,【特別提醒】 兩種常用求和法的關(guān)注點(diǎn) (1)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要

4、注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí),消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn). (2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.,【小題快練】 鏈接教材練一練 1.(必修5P47習(xí)題2.3B組T4改編)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn,若an= ,則S5等于(),【解析】選B. 所以S5=a1+a2+a3+a4+a5,2.(必修5P61習(xí)題2.5A組T4(3)改編)1+2x+3x2+nxn-1 =(x0且x1). 【解析】設(shè)Sn=1+2x+3x2+nxn-1, 則xSn=x+2x2+3x3+nxn,-得:(1-x)Sn=1+x+x2+

5、xn-1-nxn 所以 答案:,感悟考題試一試 3.(2014全國(guó)卷)等差數(shù)列an的公差為2,若a2,a4, a8成等比數(shù)列,則an的前n項(xiàng)和Sn=(),【解析】選A.因?yàn)閐=2,a2,a4,a8成等比數(shù)列,所以a42=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,所以a1=2. 所以利用等差數(shù)列的求和公式可求得Sn=n(n+1).,4.(2016唐山模擬)(2-35-1)+(4-35-2)+(2n-35-n)=.,【解析】(2-35-1)+(4-35-2)+(2n-35-n) =(2+4+2n)-3(5-1+5-2+5-n) 答案:,5.(2015江蘇高考)數(shù)列an滿足a1

6、=1,且an+1-an= n+1(nN*),則數(shù)列 的前10項(xiàng)和為.,【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+(n-2)+2+1= ,所以 所以 的前10項(xiàng)和 答案:,考向一裂項(xiàng)相消法求和 【典例1】(2015全國(guó)卷)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an0,an2+2an=4Sn+3. (1)求an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn= ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. (本題源自A版必修5P47習(xí)題2.3B組T4),【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)an+1=Sn+1-Sn及an2+2an=4Sn+3轉(zhuǎn)化為an+1與an的關(guān)系,確定an的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)法求

7、和.,【規(guī)范解答】(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3, 可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1, 即2(an+1+an)= an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an), 由于an0,可得an+1-an=2, 又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.,所以an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=2n+1.,(2)由an=2n+1可知 設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則 Tn=b1+b2+bn,【母題變式】若本例題(2)條件變?yōu)閎1= ,n2時(shí), bn= 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,【解析】

8、當(dāng)n2時(shí), 當(dāng)n=1時(shí),滿足b1= . 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 所以Tn= 所以Tn=,【規(guī)律方法】常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法(其中n為正整數(shù)),【變式訓(xùn)練】(2016馬鞍山模擬)Sn= =. 【解析】通項(xiàng)an= 所以 答案:,【加固訓(xùn)練】 1.(2016鄭州模擬)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 其前n項(xiàng)和為Sn,則在數(shù)列S1, S2,S2016中,有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為() A.42B.43C.44D.45,【解析】選B. 所以,因此S3,S8,S15為有理項(xiàng),又下標(biāo)3,8,15,的通項(xiàng)公式為n2-1(n2), 所以n2-12 016,且n2, 所以2n44,所以有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為43.,2.(20

9、16大同模擬)若已知數(shù)列的前四項(xiàng)是 則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.,【解析】因?yàn)橥?xiàng) 所以此數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案：,3.(2016洛陽(yáng)模擬)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+log3an,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.,【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q. 由a32=9a2a6得a32=9a42, 所以q2= . 由條件可知q0,故q= . 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1= . 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= .,(2)bn=log3a1+log3a2+log3an 故 所以數(shù)列 的前

10、n項(xiàng)和為,考向二錯(cuò)位相減法求和 【典例2】(2015山東高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知2Sn=3n+3. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)若數(shù)列bn滿足anbn=log3an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,【解題導(dǎo)引】(1)an=Sn-Sn-1要注意n2并驗(yàn)證n=1是否滿足所求出的關(guān)系式.(2)利用錯(cuò)位相減求解.,【規(guī)范解答】(1)Sn= 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1= =3; 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1, 即 又a1不滿足上式,所以an=,(2)當(dāng)n=1時(shí),a1b1=3b1=1,所以b1= ;當(dāng)n2時(shí),anbn= 3n-1bn=log33n-1=n-1, 所以bn= 故bn= 當(dāng)n=

11、1時(shí),T1=b1= ; 當(dāng)n2時(shí),Tn=b1+b2+b3+b4+bn= 則,兩式相減得 所以 因?yàn)門(mén)1= 符合上式，所以bn的前n項(xiàng)和,【易錯(cuò)警示】解答本例會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: (1)中忘記驗(yàn)證n=1是否滿足所求出的關(guān)系式, (2)中求Tn作差后沒(méi)有同除以 .,【規(guī)律方法】利用錯(cuò)位相減法的一般類(lèi)型及思路 (1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和 一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,一般是在和式的兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比,然后作差求解.若bn的公比為參數(shù)(字母),則應(yīng)對(duì)公比分等于1和不等于1兩種情況分別求和.,(2)比較大小或證明不等式 要善于識(shí)別題目

12、類(lèi)型,抓住通項(xiàng)公式的特征,正確變形,分清項(xiàng)數(shù)求和,再利用比較法或放縮法解決問(wèn)題. (3)數(shù)列求和與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的交匯問(wèn)題 此類(lèi)問(wèn)題通常以數(shù)列為載體,以函數(shù)為工具,利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求出數(shù)列,然后借用錯(cuò)位相減法求和,進(jìn)一步解決問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】(2016桐鄉(xiāng)模擬)已知公比q不為1的等 比數(shù)列an的首項(xiàng)a1= ,前n項(xiàng)和為Sn,且a4+S4,a5+S5, a6+S6成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)對(duì)nN*,在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)成等 差數(shù)列,記插入的這n個(gè)數(shù)的和為bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng) 和Tn.,【解析】(1)因?yàn)閍4+S4,a5+S5,a6+S6

13、成等差數(shù)列, 所以2(a5+S5)=a4+S4+a6+S6, 即2a6-3a5+a4=0,即2q2-3q+1=0, 解得q= , 故an=( )n.,(2)若記插入的n個(gè)數(shù)為xn(n=1,2,n),由(1)及等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式可知x1+xn=an+an+1,【加固訓(xùn)練】 1.(2016西安模擬)化簡(jiǎn)Sn=n+(n-1)2+(n-2)22 +22n-2+2n-1的結(jié)果是() A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2 C.2n-n-2D.2n+1-n-2,【解析】選D.因?yàn)镾n=n+(n-1)2+(n-2)22+2 2n-2+2n-1, 2Sn=n2+(n-1)22+(n-2)23+22

14、n-1+2n, 所以-得,-Sn=n-(2+22+23+2n)=n+2-2n+1, 所以Sn=2n+1-n-2.,2.(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)已知an是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求an的通項(xiàng)公式. (2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.,【解題提示】根據(jù)方程x2-5x+6=0求出a2,a4的值,從而 求出an的通項(xiàng)公式,再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列 的前n項(xiàng)和.,【解析】(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3, 由題意得a2=2,a4=3,設(shè)數(shù)列an的公差為d, 則a4-a2=2d,故d= ,從而a1= , 所以an的通項(xiàng)公式為:an= n+1.,(2)設(shè)數(shù)列 的前n

15、項(xiàng)和為Sn, 由(1)知 則,兩式相減得:,考向三可轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的求和問(wèn)題 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:分組轉(zhuǎn)化求和 【典例3】(2016太原模擬) =. 【解題導(dǎo)引】將 化為n+ ,再分組求和.,【規(guī)范解答】因?yàn)?所以 答案：,命題方向2:并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和 【典例4】(2016昆明模擬)在等差數(shù)列an中,已知d=2,a2是a1與a4的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn= 記Tn=-b1+b2-b3+(-1)nbn,求Tn.,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)已知條件可列方程求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論求數(shù)列的和.,【規(guī)范解答】(1)由題意知:

16、an為等差數(shù)列, 因?yàn)閍2為a1與a4的等比中項(xiàng), 所以a22=a1a4且a10,即(a1+d)2=a1(a1+3d)， 因?yàn)閐=2,解得a1=2, 所以an=2+(n-1)2=2n.,(2)由(1)知：an=2n，bn= =n(n+1)， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn=-(12)+(23)-(34)+n(n+1) =2(-1+3)+4(-3+5)+n-(n-1)+(n+1) =22+42+62+n2=2(2+4+6+n),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Tn=-(12)+(23)-(34)+-n(n+1) =2(-1+3)+4(-3+5)+(n-1)-(n-2)+n-n(n+1) =22+42+62+(n-1)2-

17、n(n+1) =22+4+6+(n-1)-n(n+1),綜上：,【一題多解】解答本例(2),你知道幾種解法? 解答本題,還有以下解法: 因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn= 所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因此,【技法感悟】 1.分組轉(zhuǎn)化求和的常見(jiàn)類(lèi)型 (1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用 分組求和法求an的前n項(xiàng)和. (2)通項(xiàng)公式為an= 的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn 是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.,2.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和的解題思路 并項(xiàng)求和常見(jiàn)的有首末并項(xiàng)、隔項(xiàng)并項(xiàng)、分段并項(xiàng)、類(lèi)周期并項(xiàng),求解時(shí)要注意觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),根據(jù)其特點(diǎn)采用相應(yīng)方法求解.,【題組通關(guān)】 1.(2016鄭州模擬)

18、數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=ncos , 其前n項(xiàng)和為Sn,則S2 016等于() A.1008B.2016C.504D.0,【解析】選A.a1=cos =0,a2=2cos=-2, a3=0,a4=4,. 所以數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)為0,前2 016項(xiàng)的所有偶數(shù) 項(xiàng)(共1 008項(xiàng))依次為-2,4,-6,8,-2 014,2 016. 故S2 016=0+(-2+4)+(-6+8)+(-2 014+2 016)=1 008.,2.(2016南昌模擬)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= (-1)n(3n-2),則a1+a2+a12=() A.18B.15C.-18D.-15,【解析】選A.記bn=3n-2,則數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),3為 公差的等差數(shù)列,所以a1+a2+a11+a12=(-b1)+b2+ +(-b11)+b12=(b2-b1)+(b4-b3)+(b12-b11)=63=18.,3.(2016保定模擬)有窮數(shù)列1,1+2,1+2+4, 1+2+4+2n-1所有項(xiàng)的和為. 【解析】由題意知所