線性系統(tǒng)的時域分析法二階系統(tǒng).ppt

1、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,一、時域的數(shù)學(xué)模型-微分方程,二、復(fù)域數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)描述,三、結(jié)構(gòu)圖,四、信號流圖,五、自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,時域分析法：根據(jù)系統(tǒng)的微分方程（或傳遞函數(shù)），用拉普拉斯變換直接解出動態(tài)方程，并依據(jù)過程曲線及表達式分析系統(tǒng)的性能。 特點：直觀、準確,一：典型輸入信號,1：單位階躍函數(shù),2：單位斜坡函數(shù),3-1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標,3：單位加速度函數(shù),4：單位脈沖函數(shù),5：正弦函數(shù),典型時間響應(yīng)由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成：,動態(tài)過程：動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。

2、 穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。,控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。,二、動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程,h(t),t,1、動態(tài)性能輸入為單位階躍函數(shù),三、動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能,上升時間 它有幾種定義： (1) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時間； (2) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時間； (3) 響應(yīng)曲線從零開始至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。 峰值時間 響應(yīng)曲線到達第一個峰值所需的時間。 調(diào)整時間 響應(yīng)達到并保持在終值的5%（或 2%

3、）誤差帶時所需要的最短時間。 延滯時間 響應(yīng)曲線到達穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間。,最大超調(diào)量 響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值：,或,評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；,同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標。,評價系統(tǒng)的阻尼程度。,2、穩(wěn)態(tài)性能： 穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作用下進行測定或計算。若時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。,平穩(wěn)性（穩(wěn)定性）指標,超調(diào)量%：輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏移量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。即：,穩(wěn)態(tài)性能指標,穩(wěn)態(tài)誤差ess：衡量輸出響應(yīng)進入穩(wěn)態(tài)后所表

4、現(xiàn)出來的性能，即表示系統(tǒng)的控制精度。 定義式：,上升時間 tr： 輸出響應(yīng)從零開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值時 所需的時間。即:c(tr)=c()=1第一次 。 峰值時間tp：輸出響應(yīng)從零開始上升到第一個極值(最大值)處時 所需的時間。即:dc(tp)/dt=0第一次 。 調(diào)節(jié)時間ts：輸出響應(yīng)達到并保持在一個允許誤差帶內(nèi)時所需的最短時間。,動態(tài)性能指標的定義,工程 規(guī)定： 或,快速性指標,用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。,T=RC為一階慣性時間常數(shù)。,3-2 一階系統(tǒng)的時域分析,1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),根據(jù)動態(tài)性能指標的定義，一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：,對于一階

5、系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，,說明一階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)誤差。另外有,3、單位脈沖響應(yīng),當輸入信號為單位脈沖信號時，,可以畫出一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖所示。,4、單位斜坡響應(yīng),當輸入信號為單位斜坡信號時，,可以畫出一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)如圖所示。對于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)，,說明一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號時，穩(wěn)態(tài)誤差為T。,5、單位加速度響應(yīng),當輸入信號為單位加速度信號時，,說明一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度輸入信號。,四種響應(yīng)的關(guān)系,某輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于該輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)。即：一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于其單位斜坡響應(yīng)，一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于其單位階躍響應(yīng)，一階系統(tǒng)的單

6、位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于其單位脈沖響應(yīng)，這一規(guī)律適用于一般的線性定常系統(tǒng)。,3.2.3 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng),r(t) R(s) C(s)= F(s) R(s) c(t) 一階系統(tǒng)典型響應(yīng) d(t) 1 1(t) t,例,一階系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts=0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)如何調(diào)整？,解,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,這是一個典型一階系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.3秒。,若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1秒，可設(shè)反饋系數(shù)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,一、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。,開環(huán)傳遞函數(shù)為:,閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,這是最常見的一種

7、系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。,稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 稱為阻尼系數(shù) 稱為無阻尼振蕩頻率或自然頻率。,3-3 二階系統(tǒng)的時域分析,特征方程為：, 當時 ，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。, 當時 ，特征方程有一對實部為負的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。, 當 時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。, 當 時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。,位于平面的左半部,（2） （欠阻尼）有一對共軛復(fù)根,（1） （無阻尼） 一對純虛根,（3）

8、（臨界阻尼）， 兩相等實根,（4） （過阻尼） 兩不等實根,（5） ， 位于右半平面,當輸入為單位階躍函數(shù)時， ，有：,分析：,此時輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以， 稱為無阻尼振蕩圓頻率。,二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)為：,當 時，,極點為：,極點的負實部 決定了指數(shù)衰減的快慢，所以 衰減系數(shù) 虛部 是振蕩頻率，稱 為阻尼振蕩頻率。,階躍響應(yīng)函數(shù)為：,當 時，,極點為：,即特征方程為,特征方程還可為,因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為,式中,上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應(yīng)

9、如下表所示：,可以看出：隨著 的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當 時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢?反映實際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。,三、典型二階系統(tǒng)的性能指標及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系,（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程 ：, 上升時間 ：根據(jù)定義，當 時， 。,解得：,稱為阻尼角，這是由于 。,等阻尼線（等線）,等自然振蕩角頻率線,阻尼振蕩角頻率,二階系統(tǒng)的阻尼角, 峰值時間 ：當 時，,整理得：,由于 出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：,其中, 最大超調(diào)量 ：,故：,將峰值時間 代入, 調(diào)節(jié)時間 ：,可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一

10、對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為,根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當tts時 |c(t)-c()| c() %。,當t=ts時，有：,由于實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。,二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析,01,1,0,1,欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計算,-n,d,n,欠阻尼二階系統(tǒng)的ts,取sin項為1，則h(t)=1e-nt,取誤差帶為=0.05,則有e-nt=0.05,例3-3：,設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解：,根據(jù)題意,阻尼系數(shù) 是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接

11、地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在 的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但 長。當 時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。,總結(jié),為了限制超調(diào)量，并使 較小， 一般取0.40.8，則超調(diào)量在25%1.5%之間。,阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系,（二）非振蕩瞬態(tài)過程 ：,例：,圖示系統(tǒng)，要求單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間不大于1秒，求開環(huán)增益K。,解：,根據(jù)題意，應(yīng)選擇=1，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,例 已知二階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當輸入量為單位階躍函數(shù)時，若要求 ，峰值時間 ，試確定系統(tǒng)參數(shù)K和，并計算上升時間和調(diào)節(jié)時間； 由條件所確定的K值不變，取0時，系統(tǒng)的超調(diào)量又是多少

12、？自然振蕩角頻率是否改變？,2),結(jié)論：引入微分負反饋可增大系統(tǒng)的阻尼比，降低超調(diào)量，但不改變自然振蕩角頻率。,四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)：,欠阻尼：,五、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施,二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程 0,t1誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。 t1,t2誤差信號為負，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出達到最大值。 t2,t3誤差信號為負，此時反向修正作用，大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。 t3,t4誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過

13、一段時間才使反向速度為零，此時輸出達到反向最大值。,二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因 0,t1 正向修正作用太大，特別在靠近t1 點時。 t1,t2 反向修正作用不足。 減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路 0,t1 減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。 t1,t2 加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。 t2,t3減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。 t3,t4 加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。 即在0,t2 內(nèi)附加一個負信號，在t2,t4內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。,1：比例-微分控制,比例-微分控制時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

14、數(shù)為：,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,系統(tǒng)的阻尼比為：,可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的自然頻率。,需要注意的是，采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點的二階系統(tǒng)，不再是典型二階系統(tǒng)，性能指標計算公式為：,設(shè)：,1）峰值時間,2）超調(diào)量,3）調(diào)節(jié)時間,2：測速反饋控制,測速反饋控制時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,系統(tǒng)的阻尼比為：,可見，測速反饋控制不影響系統(tǒng)的自然頻率，增大了系統(tǒng)的阻尼比，減小了系統(tǒng)的超調(diào)量，另外，測速反饋控制降低了系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大了系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。采用測速反饋控制

15、后，系統(tǒng)仍為典型二階系統(tǒng)，性能指標的計算公式同前。,3：比例-微分控制與測速反饋控制的比較,對于理想的線性控制系統(tǒng)，在比例-微分控制和測速反饋方法中，可以任取一種來改善系統(tǒng)性能。然而，實際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率、系統(tǒng)的線性范圍和飽和程度等。下面僅討論幾種主要差別：,1）附加阻尼來源：微分控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸入端誤差信號的速度，而測速反饋控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出端響應(yīng)的速度，因此對于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對應(yīng)較大的穩(wěn)態(tài)誤差值。,3）對開環(huán)增益和自然頻率的影響：微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和自然頻率均無影響，測速反饋雖不影響

16、自然頻率，但會降低開環(huán)增益。因此，對于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益，開環(huán)增益的加大，必然導(dǎo)致系統(tǒng)自然頻率的增加，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時，可能引起系統(tǒng)共振。,4）對動態(tài)性能的影響：微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的情況下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。,2)使用環(huán)境：微分控制對噪聲具有明顯的放大作用，當系統(tǒng)輸入端噪聲嚴重時，一般不宜選用微分控制；同時微分器的輸入信號為系統(tǒng)的誤差信號，其能量水平低，需要相當大的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器。測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端的噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)

17、電機的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場合比較廣泛。,3-4 高階系統(tǒng)的時域分析,在高階系統(tǒng)的諸多閉環(huán)極點中，把無閉環(huán)零點靠近，且其它閉環(huán)極點與虛軸的距離都在該復(fù)數(shù)極點與虛軸距離的五倍以上，則稱其為閉環(huán)主導(dǎo)極點。,一閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念,二高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似分析,由此可見高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)。 暫態(tài)響應(yīng)分量的合成則有如下結(jié)論：,（1）各分量衰減的快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 及 決定。系統(tǒng)的極點在S平面左半部距虛軸愈遠，相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減愈快。,（2）系數(shù) 和 不僅與S平面中的極點位置有關(guān)，并且與零點有關(guān)。 a.零極點相互靠近，且離虛軸較遠， 越小，對

18、 影響越小； b.零極點很靠近，對 幾乎沒影響； c.零極點重合（偶極子）， 對 無任何影響； d.極點 附近無零極點，且靠近虛軸，則對 影響大。,（3）若 時，則高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng)分析。,3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù),一穩(wěn)定的概念與定義,定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間推移而發(fā)散，則稱其不穩(wěn)定。,二線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 其特征根全部位于S平面的左半部。,三穩(wěn)定判據(jù) 1.Routh穩(wěn)定判據(jù)

19、系統(tǒng)的特征方程為,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列系數(shù)全部為正。 勞斯判據(jù)指出，若勞斯表中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點均位于左半s平面； 若勞斯表第一列系數(shù)有負數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點位于右半s平面，且位于右半s平面的閉環(huán)極點數(shù)正好等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。,勞斯陣列,2.Routh判據(jù)的特殊情況,a.某行第一個元素為零，其余均不為零。,方法一:,方法二:,b.勞斯表某行全為零,勞斯表中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，這是因為在系統(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對稱于原點的根（如大小相等，符號相反的實數(shù)根；一對共軛純虛根；對稱于原點的兩對共軛復(fù)數(shù)根）。 對稱于原點的根可由全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程式F(s)=0求得，而全零行的系數(shù)則由全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式F(s)對s求導(dǎo)后所得的多項式系數(shù)來代替，勞斯表可以繼續(xù)計算下去。,需要指出的是，一旦勞斯表