三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、最新 料推薦向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法。重心：abc 中、每條邊上所對應(yīng)的中線的交點(diǎn)；垂心：abc 中、每條邊上所對應(yīng)的垂線上的交點(diǎn)；內(nèi)心：abc 中、每個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）；外心：abc 中、每條邊上所對應(yīng)的中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）。一、重心1、 o 是 abc 的重心oa oboc0若 o 是 abc 的重心，則bocaocaob1abc 故 oaoboc0 ,1 (pa3pgpbpc)g 為 abc 的重心 .3、 p 是 abc所在平面內(nèi)任一點(diǎn).g是 abc的重心1(pa).2pgpb pc3證明：

2、pgpaagpbbgpccg3pg ( agbg cg)(papbpc) g是 abc的重心 gagbgc0agbgcg0 ，即 3pgpapbpc由此可得 pg1 ( pa pb pc) . （反之亦然（證略）33、已知 o 是平面上一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足opoa( abac) ，(0，) ，則 p 的軌跡一定通過 abc 的重心 .例 1 若 o為abc 內(nèi)一點(diǎn)， oaoboc0 ，則 o 是abc 的（）a內(nèi)心b 外心c 垂心d 重心1最新 料推薦二、垂心1、 o 是 abc 的垂心oa ob ob ocoa oc若 o 是 abc ( 非直角三角形 )

3、 的垂心，則故 tan aoatan bobtan c oc02、h是面內(nèi)任一點(diǎn)，ha hbhb hchcha點(diǎn) h 是 abc的垂心 .由 ha hbhb hchb ( hc ha) 0hb ac0hb ac ,同理 hcab ， habc . 故 h 是 abc 的垂心 . （反之亦然（證略）3、 p 是 abc 所在平面上一點(diǎn)，若 pa pbpb pcpc pa ，則 p 是 abc 的垂心由 pa pbpb pc ，得 pb (papc ) 0，即 pb ca0，所以 pb ca 同理可證 pc ab ， pa bc p 是 abc 的垂心如圖1.accbpemhpafb圖 1o圖4、

4、已知 o 是平面上一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足abac，(0，) ，則動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡一定通過op oaab cos bac cos c abc 的垂心例 2 p 是 abc所在平面上一點(diǎn)，若 pa pb pb pcpc pa ，則 p 是 abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d垂心2最新 料推薦三、內(nèi)心1、 o 是abc 的內(nèi)心的充要條件是abacobbabccacb0oaocabacbabccacbe1ae2b引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。p如果記 ab, bc, ca 的單位向量為 e1,e2 , e3，則剛才 o 是 abc的內(nèi)心的充要條件可以寫成oa e1e3

5、ob e1e2oc e2 e302、 o 是 abc 的內(nèi)心的充要條件也可以是aoab obcoc 0。3、若 o 是 abc 的內(nèi)心，則 s boc : s aoc : s aoba : b : c故aoab obc oc 0 或者 sin aoasin bobsin coc0 ;4、已知 i為 abc 所在平面上的一點(diǎn)，且abc ， acb ， bc a 若aia bibcic 0 ，則 i 是 abc 的內(nèi)心 ibiaab ， iciaac ，則由題意得 (abc) iabab cac0， babcacacababac acababac，babacca aibcabaciab cabac

6、ab ab 與 ac 分別為 ab 和 ac 方向上的單位向量，abac ai 與 bac 平分線共線，即 ai 平分bac 同理可證： bi 平分abc ， ci 平分 acb 從而 i 是 abc 的內(nèi)心，如圖。5、已知 o 是平面上一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足cc3最新 料推薦opoaabac，(0，) ，則動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡一定通過 abc 的內(nèi)abacc心o由題意得 apabac，pabacab當(dāng)(0，) 時(shí)， ap 表示p 的bac 的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)軌跡一定通過 abc 的內(nèi)心，如圖。例 3o 平面上的一定點(diǎn)，a,b,c 是平面上不共線的

7、三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足opoa( abac ) ，0,則 p 點(diǎn)的軌跡一定通過abc 的（）abac（ a）外心（b）內(nèi)心（c）重心（ d）垂心四、外心1、 o 是 abc 的外心oaoboc , 若 o是 abc 的外心則s boc : s aoc : s aobsinboc : sinaoc : sinaobsin 2a : sin 2b : sin 2c故 sinaoasin bobsin c oc0 。2、 已知 o 是 abc 所在平面上一點(diǎn)， 若 oa2ob 2oc 2 ，則 o 是 abc 的外心222222ob oc，則 o 是 abc若 oa oboc，則 oaoboc， oa

8、的外心，如圖 1。cbbm pa圖 1圖 2ooac4最新 料推薦3、已知 o 是平面上的一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足ob ocabac，(0，) ，則動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡一定通opab cos bac cosc2過 abc 的外心，如圖 2。例 4 若 o 為abc 內(nèi)一點(diǎn)， oa oboc ，則 o 是 abc 的（）a 內(nèi) 心b 外 心c 垂心d 重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重

9、心到垂心的距離是重心到外心距離的 2 倍。例 5 在 abc中，已知 q、g、h 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： q、g、h三點(diǎn)共線，且 qg:gh=1:2。證明：以 a 為原點(diǎn)， ab所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè) a(0,0) 、b（ x1,0 ）、c(x2,y 2) ， d、 e、 f 分別為 ab、 bc、ac的中點(diǎn)，則有：d（ x1,0)、x 1x 2y 2、x 2,y 2)由題設(shè)可設(shè)q（x 1, y3 )、 h (x 2, y 4 ) ,2e (2,) f (2222g ( x 1x 2 , y 2 )ah(x 2 , y 4 )，qf ( x 2x 1

10、 , y 2y 3)33222bc(x 2x1 , y 2 )yc(x 2,y2)ahbcah bc x 2 (x 2x 1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x1 )fhy 2egqxadb(x1,0)5最新 料推薦qfacqf acx 2( x 2x 1 )y2 ( y 2y 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x1 )y 22 y 22qh(x 2x 1 , y4y 3 ) （ 2x 2x 1 , 3x 2 ( x 2x 1 )y 2 )222y22qg ( x 2x 1x 1 , y 2y 3 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x 1) y 2 )323632

11、y 22( 2x 2x 1 ,3x 2 ( x 2x 1)y 2 )1 ( 2x 22x 1 ,3x 2 (x 2x 1)y 2 )66y2632y 22= 1 qh3即 qh =3qg ，故 q、g、h三點(diǎn)共線，且 qg : gh 1：2例6 若o、 h 分 別 是 abc 的 外 心 和 垂 心 . 求 證ohoaoboc .證明若 abc的垂心為 h，外心為 o，如圖 .連bo并延長交外接圓于d，連結(jié) ad，cd，. 又垂心為.adabh， ahcd bcbc ，chab ，ah cd，chad，四邊形 ahcd為平行四邊形， ah dc do oc ，故 oh oa ah oa ob

12、oc .“歐拉定理”簡化：例 7 設(shè) o、g、h分別是銳角 abc的外心、重心、垂心 . 求證og1 oh3證明按重心定理g是 abc的重心og1 (oa ob oc)3按垂心定理ohoaoboc由此可得og1 oh .36最新 料推薦補(bǔ)充練習(xí)一：、c是平面上不共線的三點(diǎn)，o 是 abc的重心，動(dòng)點(diǎn) p 滿足1已知 abop =1 (1 oa + 1 ob +2oc ), 則點(diǎn) p 一定為abc（ ）322a. ab邊中線的中點(diǎn)b.ab邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）c. 重心d.ab邊的中點(diǎn)2在 同一個(gè)平 面 上 有abc及一點(diǎn) 滿 足 關(guān) 系 式 ：oa2bc 2ob 2ac 2oc 2ab 2

13、 ，則為abc 的（）a 外心b內(nèi)心c重心d垂心2已知 abc的三個(gè)頂點(diǎn) a、b、c及平面內(nèi)一點(diǎn) p滿足： papb pc0，則 p 為 abc 的()外心內(nèi)心c重心d垂心3已知 o是平面上一定點(diǎn)， a、b、c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足：opoa( abac) ，則 p 的軌跡一定通過 abc的（）外心內(nèi)心c重心d垂心4已知 abc， p為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)p 滿足：papcpapbpbpc0 ，則 p 點(diǎn)為三角形的（）外心內(nèi)心c重心d垂心5 已 知 abc， p 為 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 點(diǎn) ， 且 點(diǎn) p滿 足 ：a p abp bc p0c，則p點(diǎn)

14、為三角形的（）外心內(nèi)心c重心d垂心2cb2cp ，則 p 點(diǎn)軌跡一定通6在三角形 abc中，動(dòng)點(diǎn) p 滿足： ca2 ab過abc的：（）外心內(nèi)心c重心d垂心7. 已知非 零向 量 ab 與 ac 滿足abacbc0, 且 abac1 ， 則abacabac2abc 為a. 三邊均不相等的三角形b.直角三角形c.等腰非等邊三角形d.等邊三角形8. abc 的 外 接 圓 的 圓 心 為 o ， 兩 條 邊 上 的 高 的 交 點(diǎn) 為 h ，ohm(oaoboc) ，則實(shí)數(shù) m =。7最新 料推薦9. 點(diǎn) o 是 abc 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 oa ob ob ococ oa ，則點(diǎn) o 是a

15、bc 的（）a 三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)b 三條邊的垂直平分線的點(diǎn)c 三條中線的交點(diǎn)d 三條高的交點(diǎn)10. 已知點(diǎn) g是 abc 的重心，過 g作直線與 ab，ac兩邊分別交于 m， n 兩點(diǎn)，且 amxab ， any ac ，則 113 。xy證點(diǎn) g是 abc 的重心，知 ga gbgco，得 ag(abag )( acag )o，有 ag1 ( abac ) 。又 m，n，g三點(diǎn)共線（ a 不在直線 mn上），3于是存在 ,，使得 agaman (且1) ，有 agxabyac = 1 ( abac) ，31，于是得 11得13 。xyxy38最新 料推薦補(bǔ)充練習(xí)二：1、已知 o是 a

16、bc內(nèi)的一點(diǎn)，若222，則是的oaobocoabca、重心b、垂心c、外心d、內(nèi)心2 、 在 abc 中 ， 有 命 題 ab acbc ； abbc ca0 ； 若abacabac0 ，則abc為等腰三角形；若 abac0 ，則 abc為銳角三角形，上述命題中正確的是a、b、c、d、3、已知 abc中，有abacbc0 和 abac1 , 試判斷 abc的形abacabac2狀。4、已知 abc中， aba ， bcb ，b 是 abc中的最大角，若 ab0，試判斷 abc的形狀。5、已知 o是 abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足222222oabcobacocab ，則 o是 abc的a、重心b

17、、垂心c、外心d、內(nèi)心6 、 已 知p是 abc 所 在 平 面 內(nèi) 的 一 動(dòng) 點(diǎn) ， 且 點(diǎn)p滿 足opoaabac,0,，則動(dòng)點(diǎn) p 一定過 abc的abaca、重心b、垂心c、外心d、內(nèi)心7、已知 o 為平面內(nèi)一點(diǎn)，a、 b、 c 平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足opoaab1 bc,0,，則動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡一定通過 abc的2a、重心b、垂心c、外心d、內(nèi)心8、已知 o是 abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足opoaabac,0,，則動(dòng)點(diǎn) p 一定過 abc的ab cosbac cosca、重心b、垂心c、外心d、內(nèi)心9、已知 o是 abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足opobocabac,0,，則動(dòng)點(diǎn) p 一定過 abc的2ab cosbac cosc9最新 料推薦a、重心b、垂心c、外心d、內(nèi)心10、已知點(diǎn)g 是的重心，過g 作直線與ab、 ac 分別相交于m、n 兩點(diǎn)，且amxab, anyac ，求證： 113xy補(bǔ)充練習(xí)三：1、已知 o是 abc內(nèi)的一點(diǎn)，若 oaob oc0，則 o是 abc的a、重心b、垂心c、外心d、內(nèi)心2、若 abc的外接圓的圓心為 o，半徑為 1