高中數(shù)學(xué) 第1講 不等式和絕對(duì)值不等式 1.2 基本不等式學(xué)案 新人教A版選修

1、2.基本不等式1了解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)2理解定理1和定理2(基本不等式)(重點(diǎn))3掌握用基本不等式求一些函數(shù)的最值及實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題(難點(diǎn)、易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1兩個(gè)定理及算數(shù)平均與幾何平均閱讀教材P5P6“例3”以上部分，完成下列問(wèn)題1兩個(gè)定理定理內(nèi)容等號(hào)成立的條件定理1a2b22ab(a，bR)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2(a，b0)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立2.算術(shù)平均與幾何平均如果a，b都是正數(shù)，我們稱為a，b的算術(shù)平均，為a，b的幾何平均下列不等式中，正確的個(gè)數(shù)是()若a，bR，則；若xR，則x222；若xR，則x212；若a，b為正實(shí)數(shù)，則.A0 B1 C2 D.3

2、【解析】顯然不正確；正確；對(duì)于，雖然x22無(wú)解，但x222成立，故正確；不正確，如a1，b4.【答案】C教材整理2利用基本不等式求最值閱讀教材P6P8，完成下列問(wèn)題已知x，y為正數(shù)，xyS，xyP，則(1)如果P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，S取得最小值2；(2)如果S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，P取得最大值.若x0，則f(x)23x2的最大值是_，取得最值時(shí)x的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】f(x)2323410，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x時(shí)取等號(hào)【答案】10質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型利用基本不等式證

3、明不等式已知a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.【精彩點(diǎn)撥】觀察不等號(hào)兩邊差異，利用基本不等式來(lái)構(gòu)造關(guān)系【自主解答】a0，b0，c0，b2 2a，同理：c2b，a2c.三式相加得：(bca)2(abc)，abc.1首先根據(jù)不等式兩端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形或配湊使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形式進(jìn)行證明2當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，上述不等式中“等號(hào)”成立，若三個(gè)式子中有一個(gè)“”號(hào)取不到，則三式相加所得的式子中“”號(hào)取不到再練一題1已知x，y，z均為正數(shù)，求證：.【證明】x，y，z都是正數(shù)，.同理可得，.將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得.利用基本不等式求最值設(shè)x，y

4、，z均是正數(shù)，x2y3z0，則的最小值為_(kāi)【精彩點(diǎn)撥】由條件表示y，代入到中，變形為能運(yùn)用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等號(hào)取到的條件【自主解答】由x2y3z0，得y，3.當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時(shí)，取得最小值3.【答案】31本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件消掉目標(biāo)函數(shù)中的y，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的變形，轉(zhuǎn)化為考生所熟悉的使用基本不等式求最值的問(wèn)題2使用基本不等式求最值，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：各項(xiàng)均為正數(shù)；其和或積為定值；等號(hào)必須成立，即“一正、二定、三相等”在具體問(wèn)題中，“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，決定著成敗的關(guān)鍵再練一題2已知x0，y0，且1，試求xy的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解

5、】x0，y0，且1，xy(xy)1021016.當(dāng)且僅當(dāng)，即y3x時(shí)等號(hào)成立又1，當(dāng)x4，y12時(shí)，(xy)min16.基本不等式的實(shí)際應(yīng)用某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)售量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3x與t1成反比例的關(guān)系，如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件已知2016年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完(1)若計(jì)劃2016

6、年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)售完，試將2016年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷(xiāo)費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)；(2)該企業(yè)2016年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？【精彩點(diǎn)撥】(1)兩個(gè)基本關(guān)系式是解答關(guān)鍵，即利潤(rùn)銷(xiāo)售收入生產(chǎn)成本促銷(xiāo)費(fèi)；生產(chǎn)成本固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用；(2)表示出題中的所有已知量和未知量，利用它們之間的關(guān)系式列出函數(shù)表達(dá)式利用基本不等式求最值【自主解答】(1)由題意可設(shè)3x(k0)，將t0，x1代入，得k2.x3.當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，年生產(chǎn)成本為32x3323.當(dāng)銷(xiāo)售x萬(wàn)件時(shí)，年銷(xiāo)售收入為150%t.由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷(xiāo)完，得年利潤(rùn)y(t0)(2)y5050250242，當(dāng)且僅當(dāng)，即t

7、7時(shí)，等號(hào)成立，ymax42，當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大再練一題3如圖111所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m2，問(wèn)當(dāng)a，b各為多長(zhǎng)時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計(jì))?圖111【解】法一設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y，其中k為比例系數(shù)(k0)根據(jù)題意，得 22b2ab2a60(a0，b0)，b(由a0，b0，可得a0)要求y的最小值必須先求出ab的最大值依題設(shè)4

8、b2ab2a60，即aba2b30(a0，b0)a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取“”)，ab230，可解得00，b0?【提示】對(duì)于不等式，如果a，b中有兩個(gè)或一個(gè)為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，當(dāng)a，b都為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式不成立；當(dāng)a，b中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另一個(gè)為正數(shù)，不等式無(wú)意義探究2利用求最值的條件是怎樣的？【提示】利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等”，即(1)各項(xiàng)或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值探究3你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？【提示】如圖，以ab為直徑的圓中，DC，且DCAB.因?yàn)镃D為圓的半弦，OD為圓的半徑，長(zhǎng)為，根據(jù)半弦長(zhǎng)不

9、大于半徑，得不等式.顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立因此，基本不等式的幾何意義是圓的半弦長(zhǎng)不大于半徑；或直角三角形斜邊的中線不小于斜邊上的高命題：任意x0，lg x2；任意xR，ax2；任意x，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命題有()ABCD.【精彩點(diǎn)撥】按基本不等式成立的條件進(jìn)行判定【自主解答】在中，lg xR，sin x1,1，不能確定lg x0與sin x0.因此是假命題；在中，ax0，ax22，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，取等號(hào)，則是真命題；在中，當(dāng)x時(shí)，tan x0，有tan x2，且x時(shí)取等號(hào)，是真命題【答案】C1本題主要涉及基本不等式成立的條件及取等

10、號(hào)的條件在定理1和定理2中，“ab”是等號(hào)成立的充要條件但兩個(gè)定理有區(qū)別又有聯(lián)系：(1)是a2b22ab的特例，但二者適用范圍不同，前者要求a，b均為正數(shù)，后者只要求a，bR；(2)a，b大于0是的充分不必要條件；a，b為實(shí)數(shù)是a2b22ab的充要條件2當(dāng)ba0時(shí)，有變形不等式a b.再練一題4若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】Aa2b22abBab2C. D.2【解析】A選項(xiàng)中，當(dāng)ab時(shí)，a2b22ab，則排除A；當(dāng)a0，b0時(shí)，ab02，00，則0，0，22，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”，所以選D.【答案】D構(gòu)建體系基本不等式1下列結(jié)論中不正確的是()Aa0時(shí)，a2

11、B.2Ca2b22abD.a2b2【解析】選項(xiàng)A，C顯然正確；選項(xiàng)D中，2(a2b2)(ab)2a2b22ab0，a2b2成立；而選項(xiàng)B中，2不成立，因?yàn)槿鬭b0，則不滿足不等式成立的條件【答案】B2下列各式中，最小值等于2的是()A. B.Ctan D.2x2x【解析】2x0,2x0，2x2x22，當(dāng)且僅當(dāng)2x2x，即x0時(shí)，等號(hào)成立故選D.【答案】D3已知1(x0，y0)，則xy的最小值是()A15 B6C60D.1【解析】2(當(dāng)且僅當(dāng)x10，y6時(shí)，取等號(hào))，21，xy60，故xy的最小值為60.【答案】C4已知lg xlg y2，則的最小值為_(kāi)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】lg xlg y2，x

12、0，y0，lg(xy)2，xy102，2，當(dāng)且僅當(dāng)xy10時(shí)，等號(hào)成立【答案】5已知a，b是正數(shù)，求證：(1)；(2).【證明】(1)左邊右邊，原不等式成立(2)右邊左邊，原不等式成立我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（二）(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1函數(shù)f(x)的最大值為()A.B.C.D1【解析】顯然x0.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，x12，f(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，f(x)max.【答案】B2設(shè)0ab，則下列不等式中正確的是()AabBabCabD.ab【解析】取特殊值法取a2，b8，則4，5，所以ab.故選B.【答案】B3已知x，則f(x)有()A最大值為 B最小值為C最大值為1D.最小值為1【解析】x，x2，f(x)(x2)21，當(dāng)且僅當(dāng)，即x3時(shí)，等號(hào)成立，f(x)min1.【答案】D4已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是()A0B1C2D.4【解析】由題意知abxy，cdxy，(ab