高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計 新人教A版選修

1、數(shù)學(xué)歸納法【教材分析】1、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法是人教社全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章第3節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)課標(biāo)要求，本書該節(jié)共2課時，這是第一課時，其主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用。2、地位作用：在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學(xué)歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過剖析生活實例中蘊(yùn)含的思維過程揭示數(shù)學(xué)思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計思想，揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個條件及它們之間的關(guān)系?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1、知識與技能：（1）了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟。（2）會證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。2、過程與方法：努力創(chuàng)設(shè)課

2、堂愉悅的情境，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會類比的數(shù)學(xué)思想。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意見和數(shù)學(xué)交流能力?！窘虒W(xué)重點】借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些簡單的與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題?！窘虒W(xué)難點】（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。（2）運用數(shù)學(xué)歸納法時，

3、在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。【教學(xué)方法】運用類比啟發(fā)探究的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)；【教學(xué)手段】借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材輔助課堂教學(xué)；【教學(xué)程序】第一階段：創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維情境1、法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到： 歸納猜想：任何形如 （n）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費馬猜想。半個世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費馬的猜想?！安煌耆珰w納有時是錯誤的”（培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程）情境

4、2 、數(shù)列通過對前4項歸納，猜想可以讓學(xué)生通過數(shù)列的知識加以驗證“不完全歸納有時是正確的”。通過對上述兩個情況的探究可以發(fā)現(xiàn)用“不完全歸納法”得到的結(jié)論不一定可靠。為了尋求一種能夠證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的方法，從而引入本節(jié)課的新課內(nèi)容一數(shù)學(xué)歸納法。第二階段：搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣1、“多米諾骨牌”游戲動畫演示：探究“多米諾骨牌”全部倒下的條件引導(dǎo)學(xué)生思考并分析“多米諾骨牌”全部倒下的兩個條件；第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。強(qiáng)調(diào)條件的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。2、類比“多米諾骨牌”的原理來驗證情境2中對于通項公式的猜想。“多

5、米諾骨牌”原理 第一塊骨牌倒下； 若第k塊倒下，則使得第k+1塊倒下驗證猜想 驗證猜想成立 如果時，猜想成立。即，則當(dāng)時，即時猜想成立3、引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1) 證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；（歸納奠基）(2) 假設(shè)當(dāng)nk (k，k) 時結(jié)論正確, 證明當(dāng)nk1時結(jié)論也正確（歸納遞推）完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法第三階段：鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實認(rèn)知過程例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊，右邊，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即則當(dāng)n=k+1時，左邊=即當(dāng)n=k+

6、1時等式也成立。=右邊由（1）、（2）可知，n時，等式成立。師生共同總結(jié)：1、數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問題。 2、兩個步驟、一個結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立；3、在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，進(jìn)行恒等變換。4、完成第1)、2）步驟的證明后，要對命題成立進(jìn)行總結(jié)。練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明：(1) n=1時，左邊= 右邊=等式成立。(2) 假設(shè)n=k（kN*)時等式成立，即 則n=k+1時，即當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN* 都成立。探究:已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項和，計算S1, S2 ,S3 ,S4,根據(jù)計算結(jié)果，猜

7、想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。解:可以看到，上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項數(shù)一致，分母可用項數(shù)n表示為3n+1,可以猜想證明過程由學(xué)生自主完成?！菊n堂小結(jié)】（1）數(shù)學(xué)歸納法只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟：1驗證n=n0（n0為命題允許的最小正整數(shù)）時，命題成立2假設(shè)n=k（kn0）時命題成立，證明n=k+1時命題成立，由1和2對任意的nn0, nN* 命題成立。（3）本節(jié)課通過從“多米諾骨牌”講起，借助這個游戲的設(shè)計理念，揭示了數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個條件及它們之間的關(guān)系。（4）本節(jié)課使用數(shù)學(xué)歸納法只證明了與正整數(shù)有關(guān)的等式成立的問題，在以后的學(xué)習(xí)中，我們將會遇到使用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式及幾何問題，也會遇到n0的取值不是1的情況。在下一節(jié)課我們還將通過具體的例子使同學(xué)們明白為什么在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時兩個步驟缺一不可?！咀鳂I(yè)】1. 習(xí)題2.3 A組 1.2.32. 思考：平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點，設(shè)f(n)為n條直線的交點個數(shù)，求證： 證明：(1) n=1時，f(1)=1 等式成立 (2) 假設(shè)n=k時,等式成立 即 成立 那么當(dāng)n=k+1時，即當(dāng)n=k+1時等式也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN*都成立