高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修

1、2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用拋物線定義求最值【例1】 在拋物線x2=8y上求一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到定點(diǎn)A(1，3)的距離之和最小，并求出這個(gè)最小距離.解析：過(guò)A作直線l與準(zhǔn)線垂直交于點(diǎn)A，與拋物線交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求.將P(1，y)代入x2=8y中，則y=，于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,)，且最小距離d=5.溫馨提示此題解法中將點(diǎn)P到焦點(diǎn)F與點(diǎn)A的最小距離，轉(zhuǎn)化為線段AA的長(zhǎng)，是緊扣定義得到的，這一方法在解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到.二、焦點(diǎn)弦問(wèn)題【例2】 已知過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)為36，求弦所在的直線方程.思路分析：弦所在的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)(1，0)，

2、只需求出直線的斜率，因?yàn)橄议L(zhǎng)為36，所以可以判斷直線的斜率是存在的且不為0.解析：由題意可設(shè)弦所在的直線的斜率為k，且與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn).拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1，0)，直線方程為y=k(x-1).由整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.x1+x2=.AB=AF+BF=x1+x2+2=+2.又AB=36，+2=36,解得k2=,即k=.所求直線方程為y=(x-1)或y=-(x-1).溫馨提示(1)此題也可以先求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出等式求出k，但是計(jì)算復(fù)雜，一般不采用.(2)也可以利用弦長(zhǎng)公式AB=x1-x2來(lái)求，這個(gè)方法普遍適用于求

3、二次曲線的弦長(zhǎng).(3)因?yàn)楸绢}的弦是過(guò)焦點(diǎn)的，是特殊位置的弦，所以結(jié)合拋物線的定義得到AB=x1+x2+p,解起來(lái)更簡(jiǎn)捷.三、直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】 直線l：y=kx+1,拋物線C：y2=4x，當(dāng)k為何值時(shí)l與C有(1)一個(gè)公共點(diǎn)；(2)兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn).解析：將l和C的方程聯(lián)立消去y，得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)當(dāng)k=0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,y=1.直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)(，1)，此時(shí)直線l平行于對(duì)稱軸.當(dāng)k0時(shí)，方程(*)是一個(gè)一元二次方程.(1)當(dāng)0，即k1,且k0時(shí)，l與C有兩個(gè)公點(diǎn)，此時(shí)稱直線l與C相交；(2)當(dāng)=0，即k=1時(shí)，l與C有一

4、個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線l與C相切；(3)當(dāng)0,即k1時(shí)，l與C沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線l與C相離.綜上所述，可知：當(dāng)k=1或k=0時(shí)，直線l和C有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1,且k0時(shí)，直線l和C有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1時(shí)，直線l和C沒(méi)有公共點(diǎn).溫馨提示一般地，直線與拋物線相切，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線不一定是相切的(如圖).因此，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要而非充分條件.各個(gè)擊破類題演練1給定拋物線y2=2x，設(shè)A(a,0),a0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且PA=d,試求d的最小值.解析：設(shè)P(x0,y0),(x00),則y20=2x0,

5、d=PA=a0,x00,(1)當(dāng)0a1時(shí)，1-a0,此時(shí)當(dāng)x0=0時(shí)，d最小=(2)當(dāng)a1時(shí)，1-a0,此時(shí)當(dāng)x0=a-1時(shí)，d最小=變式提升1拋物線y2=2px動(dòng)弦AB長(zhǎng)為a(a2p),弦AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸最短距離是()A.B.C.D.答案：D類題演練2過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).求證：證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則FA=x1+,FB=x2+,AB=x1+x2+p當(dāng)ABx軸時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，消去y得k2x2-p(k2+2)x+=0,則x1+x2=,x1x2=,變式提升2(2006湖北黃岡中學(xué)綜合能力測(cè)試(三)，14)已知橢

6、圓E的離心率為e，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若=e，則e的值為_.解析：如圖，拋物線準(zhǔn)線為x=-3c,又PF2=PH，=e,x=-3c也為橢圓E的準(zhǔn)線.-=-3ce=.答案：類題演練3設(shè)雙曲線-y2=1(a0)與直線x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求a的取值范圍.解析：由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0所以解得0a且a1.故a的取值范圍是(0，1)(1，)變式提升3設(shè)拋物線y2=2px(p0)上各點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最小值為1，求p的值.解析：由題意可知，拋