鄭振龍版金融工程期權(quán)定價(jià)模型.ppt

1、期權(quán)定價(jià)是所有衍生金融工具定價(jià)中最復(fù)雜的，它 涉及到隨機(jī)過(guò)程等較為復(fù)雜的概念。而期權(quán)定價(jià)又是整個(gè)金融工程學(xué)科的重要基礎(chǔ)。因此，本章內(nèi)容相當(dāng)?shù)闹匾?。在知識(shí)結(jié)構(gòu)安排上，本章將從證券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)規(guī)律講起，逐步推導(dǎo)出BS期權(quán)定價(jià)模型，同時(shí)，對(duì)該模型的實(shí)證研究成果進(jìn)行一定的概況性敘述。,6.1.1 研究意義 了解 6.1.2 效率市場(chǎng)假說(shuō)和馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程 熟悉6.1.3 布朗運(yùn)動(dòng) 掌握6.1.4 伊藤過(guò)程和伊藤引理 掌握6.1.5 證券價(jià)格變化過(guò)程 掌握 6.2 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 6.2.1 布萊克舒爾斯微分方程的基本假設(shè) 熟悉6.2.2 布萊克舒爾斯微分方程的推導(dǎo) 掌握6.2.3 布萊克舒爾斯

2、期權(quán)定價(jià)公式 掌握6.2.4 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的基本推廣 熟悉 6.3 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究和應(yīng)用 了解6.3.1 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究 了解6.3.2 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用 熟悉,6.1 證券價(jià)格的變化過(guò)程,期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。因此期權(quán)定價(jià)使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因而要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。 期權(quán)的價(jià)值正是來(lái)源于簽訂合約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過(guò)程。 研究

3、變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。,為什么我們要研究證券價(jià)格的變化過(guò)程？,1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過(guò)渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的,1、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息，也就是說(shuō)不能通過(guò)技術(shù)分析獲得超過(guò)平均收益率的收益。 2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開(kāi)信息

4、調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無(wú)助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。 3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒(méi)有用處。 根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。,隨機(jī)過(guò)程（Stochastic Process）是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。根據(jù)時(shí)間是否連續(xù)和變量取值范圍是否連續(xù)，隨機(jī)過(guò)程可以做如下的劃分：,時(shí)間的連續(xù)性 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 變量取值范圍的連續(xù)性 離散變量隨機(jī)過(guò)程 連續(xù)變量隨機(jī)過(guò)程,從嚴(yán)格意義上

5、說(shuō)，證券價(jià)格的變化過(guò)程屬于離散變量的離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，為了研究方便，我們可以把它近似為連續(xù)變量的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程有許多類型，在本課程中，我們將涉及一些符合證券價(jià)格變化規(guī)律的隨機(jī)過(guò)程。,一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則意味著其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格，這顯然和弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)是一致的。,布朗運(yùn)動(dòng)（Brow

6、nian Motion）起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒(méi)于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)：設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代表變量z在 時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征： 特征1： 和 的關(guān)系滿足： = 其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。 特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。,當(dāng) 0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：,1、為何定義 = 而非 = ？,當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例

7、，不受時(shí)間劃分方法的影響。 相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)?2、下面我們來(lái)考查符合標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形： 令z（T）z(0)表示變量z在T中的變化量，顯然該變量又可被看作是在N個(gè)長(zhǎng)度為的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/ t 。,很顯然，這是n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和：,因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，標(biāo)準(zhǔn)差 。,普通布朗運(yùn)動(dòng),若變量x 遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：,其中：1、a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 2、a為漂移率（Drift Rate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量 z均值的變化值。 3、b2為方差率（Varian

8、ce Rate），是指單位時(shí)間的方差。,普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為 ，顯然，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為,1、顯然，遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音。這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。 2、在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為b2T。 3、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率a為0,方差率為1。,普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就可以得到 ，這就是

9、伊藤過(guò)程（Ito Process） 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。,在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程：,其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。,首先，我們要明確，在研究證券價(jià)格變化過(guò)程的時(shí)候，我們的目標(biāo)是找到一個(gè)合適的隨機(jī)過(guò)程表達(dá)式，來(lái)盡量準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過(guò)程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)單性。 一般來(lái)說(shuō)，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為S、方差率為 S2的伊藤過(guò)程來(lái)表示：,兩邊同除以S得：,該隨機(jī)過(guò)程又可以稱為幾何布朗

10、運(yùn)動(dòng)。其中S表示證券價(jià)格，表示證券在瞬間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）， 表示證券收益率瞬間的方差， 表示證券收益率瞬間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。其中，和的時(shí)間度量單位一般都采用年。 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的離散形式為：,為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)表示？,1、市場(chǎng)一般認(rèn)同股票市場(chǎng)符合“弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)”，而幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來(lái)源于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式效率的假說(shuō)。,2、投資者感興趣的不是股票價(jià)格S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此

11、需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股票價(jià)格（幾何布朗運(yùn)動(dòng)的離散形式）。,3、幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實(shí)。,在短時(shí)間 后，證券價(jià)格比率的變化值 為：,可見(jiàn)， 也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn) 差為 ，方差為 。 也就是說(shuō) 其中 表示均值為m ，標(biāo)準(zhǔn)差為s的正態(tài)分布。,但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：這就是百分比多期收益率的乘積問(wèn)題。因此，盡管是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率

12、變化的標(biāo)準(zhǔn)差。,但是 ,如果我們運(yùn)用Ito引理來(lái)推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS（設(shè)為G）所遵循的隨機(jī)過(guò)程，就可以得到,可以看到，這個(gè)隨機(jī)過(guò)程屬于普通布朗運(yùn)動(dòng)，具有恒定的漂移率和恒定的方差率；在任意時(shí)間長(zhǎng)度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。,從以上分析，我們可以得到兩點(diǎn)重要結(jié)論： 1、幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來(lái)時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在Tt期間G的變化為：,這意味著： 進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：,也就是說(shuō)

13、，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號(hào)的定義，我們可以得到 和,2、股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布 由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。,:,1、幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率。,2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證

14、券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無(wú)關(guān)的。,3 、較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。,1、證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差,2、一般從歷史的證券價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。在計(jì)算中，一般來(lái)說(shuō)時(shí)間距離計(jì)算時(shí)越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；一般來(lái)說(shuō)采用交易天數(shù)計(jì)算波動(dòng)率而不采用日歷天數(shù)。,:,:,假設(shè)： 1、證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)； 2、允許賣空標(biāo)的證券； 3、有交易費(fèi)用和稅

15、收，所有證券都是完全可分的； 4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付； 5、存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； 6、證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； 7、衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。,由于證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有：,其在一個(gè)小的時(shí)間間隔 中，S的變化值 為：,在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，f的變化值 為：,設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：,（1）,從上面分析可以看出，(1)和(2)中的 相同，都等于 。為了消除 ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則：,(3),在 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值

16、變化 為：,(4),將式（1）和（2）代入式（4），可得：,（5）,由于式（5）中不含有 ，該組合的價(jià)值在一個(gè)小時(shí)間間隔后 必定沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)，因此該組合在 中的瞬時(shí)收益率一定等于 中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。因此：,(6),把式（3）和（5）代入上式得：,化簡(jiǎn)為：,（7）,這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。,觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，

17、所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。盡管這只是一個(gè)人為的假定，但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。,風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理,假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后

18、該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。,風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用,為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（11 0.5）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9 元時(shí)，該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?值，使3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：,11 0.5=9 =0.25,因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。,假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組

19、合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此： 這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。,從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過(guò)下式來(lái)求：,P=62.66%。,又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過(guò)下式來(lái)求：,P=69.11%。,可見(jiàn)，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期

20、收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。,在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：,其中，,表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià),原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn) 行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：,（8）,對(duì)（8）右邊求值是一種積分過(guò)程，結(jié)果為：,其中，,（9）,N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。,這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。,對(duì)于布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式

21、的理解：,在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值 。,因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼現(xiàn)。,無(wú)收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式,根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：,（10）,無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式,在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是：,有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式,

22、對(duì)于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過(guò)程的波動(dòng)率，就可直接套用公式（9）和（10）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。,因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。,當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將,代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率,證券的歐式看漲和看跌期權(quán)

23、的價(jià)格。,一般來(lái)說(shuō)，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場(chǎng)平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。,對(duì)于歐式期貨期權(quán)，可以將其當(dāng)成一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)。因此，此時(shí)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型為：,（11）,（12）,其中，,例,假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式

24、看漲期權(quán)價(jià)格。,解：由于英鎊會(huì)產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，現(xiàn)在的1英鎊等于6個(gè)月,英鎊，而現(xiàn)在的,英鎊等于6個(gè)月后的1英鎊，,，并代入式（6.23）就可求出,后的,因此可令,期權(quán)價(jià)格。,通過(guò)查累積正態(tài)分布函數(shù)N（x）的數(shù)據(jù)表，我們可以得出： c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分 因此,6個(gè)月期英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格為3.05美分。,有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價(jià),當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在,提

25、前執(zhí)行有可能是合理,價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。,時(shí)刻到期的歐式看漲看漲期權(quán)的,的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和,例,假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。,首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)第5章的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：,在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除權(quán)日前不等式右邊為：,由于2.43851.0元，因此在第一個(gè)除

26、權(quán)日前期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行。,由于0.41481.0元，因此在第二個(gè)除權(quán)日前有可能提前執(zhí)行。,第二次除權(quán)日前不等右邊為：,然后，要比較1年期和11個(gè)月期歐式看漲期權(quán)價(jià)格。,對(duì)于1年期歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于紅利的現(xiàn)值為：,因此S=50-1.8716=48.1284元,將S=48.1284，代入式（9）得：,其中，,由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，,因此,對(duì)于11個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于紅利的現(xiàn)值為：,因此,S=50-0.9592=49.0408元,因此將S=49.0408元，代入式（9）得：,其中，,由于,，因此該美式看漲期權(quán)價(jià)值近似為7.2824元。,美

27、式看跌期權(quán)的定價(jià),美式看跌期權(quán)無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)有無(wú)收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此我們一般通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。,對(duì)于精度問(wèn)題，我們可以運(yùn)用布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出期權(quán)價(jià)格的理論值，然后與市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行比較。,實(shí)證研究顯示：,1、舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低,2、高估實(shí)值期權(quán)的價(jià)格，低估虛值期權(quán)的價(jià)格。 3、改變波動(dòng)率的估計(jì)的方式會(huì)提高布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在預(yù)測(cè)實(shí)際價(jià)格時(shí)的表現(xiàn)。,的期權(quán)。,造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)：,計(jì)算錯(cuò)誤；,2.期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡；,3.使用的錯(cuò)誤的參數(shù)；,4.布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。,評(píng)估組合保險(xiǎn)成本,證券組合保險(xiǎn)是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關(guān)資產(chǎn)的