鄭振龍版金融工程期權(quán)定價模型.ppt

1、期權(quán)定價是所有衍生金融工具定價中最復(fù)雜的，它 涉及到隨機過程等較為復(fù)雜的概念。而期權(quán)定價又是整個金融工程學(xué)科的重要基礎(chǔ)。因此，本章內(nèi)容相當(dāng)?shù)闹匾?。在知識結(jié)構(gòu)安排上，本章將從證券價格的運動規(guī)律講起，逐步推導(dǎo)出BS期權(quán)定價模型，同時，對該模型的實證研究成果進行一定的概況性敘述。,6.1.1 研究意義 了解 6.1.2 效率市場假說和馬爾可夫隨機過程 熟悉6.1.3 布朗運動 掌握6.1.4 伊藤過程和伊藤引理 掌握6.1.5 證券價格變化過程 掌握 6.2 布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型 6.2.1 布萊克舒爾斯微分方程的基本假設(shè) 熟悉6.2.2 布萊克舒爾斯微分方程的推導(dǎo) 掌握6.2.3 布萊克舒爾斯

2、期權(quán)定價公式 掌握6.2.4 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的基本推廣 熟悉 6.3 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究和應(yīng)用 了解6.3.1 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究 了解6.3.2 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的應(yīng)用 熟悉,6.1 證券價格的變化過程,期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標(biāo)的資產(chǎn)價格的影響。因此期權(quán)定價使用的是相對定價法，即相對于證券價格的價格，因而要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格。 期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標(biāo)的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實中，資產(chǎn)價格總是隨機變化的。需要了解其所遵循的隨機過程。 研究

3、變量運動的隨機過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。,為什么我們要研究證券價格的變化過程？,1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨立的,1、弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。 2、半強式效率市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息

4、調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。 3、強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。 根據(jù)眾多學(xué)者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。,隨機過程（Stochastic Process）是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。根據(jù)時間是否連續(xù)和變量取值范圍是否連續(xù)，隨機過程可以做如下的劃分：,時間的連續(xù)性 離散時間隨機過程 連續(xù)時間隨機過程 變量取值范圍的連續(xù)性 離散變量隨機過程 連續(xù)變量隨機過程,從嚴格意義上

5、說，證券價格的變化過程屬于離散變量的離散時間隨機過程，為了研究方便，我們可以把它近似為連續(xù)變量的連續(xù)時間的隨機過程。 隨機過程有許多類型，在本課程中，我們將涉及一些符合證券價格變化規(guī)律的隨機過程。,一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。在這個過程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則意味著其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格，這顯然和弱式效率市場假說是一致的。,布朗運動（Brow

6、nian Motion）起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描述。,對于標(biāo)準布朗運動來說：設(shè) 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在 時間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準布朗運動的 具有兩種特征： 特征1： 和 的關(guān)系滿足： = 其中， 代表從標(biāo)準正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。 特征2：對于任何兩個不同時間間隔 ， 的值相互獨立。,當(dāng) 0時，我們就可以得到極限的標(biāo)準布朗運動：,1、為何定義 = 而非 = ？,當(dāng)我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例

7、，不受時間劃分方法的影響。 相應(yīng)的一個結(jié)果就是：標(biāo)準差的單位變?yōu)?2、下面我們來考查符合標(biāo)準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形： 令z（T）z(0)表示變量z在T中的變化量，顯然該變量又可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/ t 。,很顯然，這是n個相互獨立的正態(tài)分布的和：,因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，標(biāo)準差 。,普通布朗運動,若變量x 遵循普通布朗運動：,其中：1、a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準布朗運動。 2、a為漂移率（Drift Rate），是指單位時間內(nèi)變量 z均值的變化值。 3、b2為方差率（Varian

8、ce Rate），是指單位時間的方差。,普通布朗運動的離差形式為 ，顯然，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準差為 ，方差為,1、顯然，遵循普通布朗運動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程，其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。 2、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準差為 ，方差為b2T。 3、標(biāo)準布朗運動的漂移率a為0,方差率為1。,普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到 ，這就是

9、伊藤過程（Ito Process） 其中，dz是一個標(biāo)準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。,在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：,其中，dz是一個標(biāo)準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。,首先，我們要明確，在研究證券價格變化過程的時候，我們的目標(biāo)是找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。 一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 S2的伊藤過程來表示：,兩邊同除以S得：,該隨機過程又可以稱為幾何布朗

10、運動。其中S表示證券價格，表示證券在瞬間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）， 表示證券收益率瞬間的方差， 表示證券收益率瞬間的標(biāo)準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），dz表示標(biāo)準布朗運動。其中，和的時間度量單位一般都采用年。 幾何布朗運動的離散形式為：,為什么證券價格可以用幾何布朗運動表示？,1、市場一般認同股票市場符合“弱式效率市場假說”，而幾何布朗運動的隨機項來源于標(biāo)準布朗運動dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式效率的假說。,2、投資者感興趣的不是股票價格S，而是獨立于價格的收益率。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。因此

11、需要用百分比收益率代替絕對的股票價格（幾何布朗運動的離散形式）。,3、幾何布朗運動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實。,在短時間 后，證券價格比率的變化值 為：,可見， 也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準 差為 ，方差為 。 也就是說 其中 表示均值為m ，標(biāo)準差為s的正態(tài)分布。,但是，在一個較長的時間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：這就是百分比多期收益率的乘積問題。因此，盡管是短期內(nèi)股票價格百分比收益率的標(biāo)準差，但是在任意時間長度T后，這個收益率的標(biāo)準差卻不再是 。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率

12、變化的標(biāo)準差。,但是 ,如果我們運用Ito引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù)lnS（設(shè)為G）所遵循的隨機過程，就可以得到,可以看到，這個隨機過程屬于普通布朗運動，具有恒定的漂移率和恒定的方差率；在任意時間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標(biāo)準差仍然可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。,從以上分析，我們可以得到兩點重要結(jié)論： 1、幾何布朗運動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。 令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當(dāng)前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在Tt期間G的變化為：,這意味著： 進一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：,也就是說

13、，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，我們可以得到 和,2、股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布 由于dG實際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運動實際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標(biāo)準差與時間的平方根成比例。,:,1、幾何布朗運動中的期望收益率。,2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證

14、券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無關(guān)的。,3 、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。,1、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準差,2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準差，再對時間標(biāo)準化，得到年標(biāo)準差，即為波動率的估計值。在計算中，一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太長也不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。,:,:,假設(shè)： 1、證券價格遵循幾何布朗運動，即 和 為常數(shù)； 2、允許賣空標(biāo)的證券； 3、有交易費用和稅

15、收，所有證券都是完全可分的； 4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 5、存在無風(fēng)險套利機會； 6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； 7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。,由于證券價格S遵循幾何布朗運動，因此有：,其在一個小的時間間隔 中，S的變化值 為：,在一個小的時間間隔中，f的變化值 為：,設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：,（1）,從上面分析可以看出，(1)和(2)中的 相同，都等于 。為了消除 ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則：,(3),在 時間后，該投資組合的價值

16、變化 為：,(4),將式（1）和（2）代入式（4），可得：,（5）,由于式（5）中不含有 ，該組合的價值在一個小時間間隔后 必定沒有風(fēng)險，因此該組合在 中的瞬時收益率一定等于 中的無風(fēng)險收益率。因此：,(6),把式（3）和（5）代入上式得：,化簡為：,（7）,這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。,觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價時，

17、所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。,風(fēng)險中性定價原理,假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元；若3個月后

18、該股票價格等于9元，則該期權(quán)價值為0。,風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用,為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（11 0.5）元；若3個月后該股票價格等于9 元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?值，使3個月后該組合的價值不變，這意味著：,11 0.5=9 =0.25,因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。,假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組

19、合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險套利機會。,從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：,P=62.66%。,又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：,P=69.11%。,可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期

20、收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。,在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：,其中，,表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價,原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進 行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：,（8）,對（8）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：,其中，,（9）,N（x）為標(biāo)準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。,這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。,對于布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式

21、的理解：,在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值 。,因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。,無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式,根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：,（10）,無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式,在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣是：,有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式,

22、對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接套用公式（9）和（10）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。,因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。,當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將,代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率,證券的歐式看漲和看跌期權(quán)

23、的價格。,一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險利率。,對于歐式期貨期權(quán)，可以將其當(dāng)成一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)。因此，此時布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型為：,（11）,（12）,其中，,例,假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式

24、看漲期權(quán)價格。,解：由于英鎊會產(chǎn)生無風(fēng)險收益，現(xiàn)在的1英鎊等于6個月,英鎊，而現(xiàn)在的,英鎊等于6個月后的1英鎊，,，并代入式（6.23）就可求出,后的,因此可令,期權(quán)價格。,通過查累積正態(tài)分布函數(shù)N（x）的數(shù)據(jù)表，我們可以得出： c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分 因此,6個月期英鎊歐式看漲期權(quán)價格為3.05美分。,有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價,當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在,提

25、前執(zhí)行有可能是合理,價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。,時刻到期的歐式看漲看漲期權(quán)的,的，則要分別計算在T時刻和,例,假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個月和11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標(biāo)的股票波動率為每年30%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價值。,首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)第5章的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：,在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除權(quán)日前不等式右邊為：,由于2.43851.0元，因此在第一個除

26、權(quán)日前期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行。,由于0.41481.0元，因此在第二個除權(quán)日前有可能提前執(zhí)行。,第二次除權(quán)日前不等右邊為：,然后，要比較1年期和11個月期歐式看漲期權(quán)價格。,對于1年期歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：,因此S=50-1.8716=48.1284元,將S=48.1284，代入式（9）得：,其中，,由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，,因此,對于11個月期的歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：,因此,S=50-0.9592=49.0408元,因此將S=49.0408元，代入式（9）得：,其中，,由于,，因此該美式看漲期權(quán)價值近似為7.2824元。,美

27、式看跌期權(quán)的定價,美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價關(guān)系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。,對于精度問題，我們可以運用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式計算出期權(quán)價格的理論值，然后與市場上的期權(quán)價格進行比較。,實證研究顯示：,1、舒爾斯期權(quán)定價公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低,2、高估實值期權(quán)的價格，低估虛值期權(quán)的價格。 3、改變波動率的估計的方式會提高布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式在預(yù)測實際價格時的表現(xiàn)。,的期權(quán)。,造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式估計的期權(quán)價格與市場價格存在差異的原因主要有以下幾個：,計算錯誤；,2.期權(quán)市場價格偏離均衡；,3.使用的錯誤的參數(shù)；,4.布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。,評估組合保險成本,證券組合保險是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關(guān)資產(chǎn)的