函數(shù)與方程的思想方法

1、.2010 高考數(shù)學考點預測：函數(shù)與方程的思想方法 2009 年新課標考試大綱 明確指出 “數(shù)學知識是指 普通高中數(shù)學課程標準（實驗） 中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2 和系列 4 中的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法”。其中數(shù)學思想方法包括：函數(shù)與方程的思想方法、 數(shù)形結合的思想方法、 分類整合的思想方法、特殊與一般的思想方法、轉化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。 數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識內(nèi)容和方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學的規(guī)律性的理性認識。高考通過對數(shù)學思想方法的考查，能夠最有效地檢測學生對數(shù)學知識的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學生對數(shù)學各

2、部分內(nèi)容的銜接、綜合和滲透的能力。 考試大綱 對數(shù)學考查的要求是 “數(shù)學學科的系統(tǒng)性和嚴密性決定了數(shù)學知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數(shù)學試卷的框架結構”。而數(shù)學思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用， “ 對數(shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數(shù)學知識相結合，通過數(shù)學知識的考查，反映考生對數(shù)學思想方法的掌握程度”。“ 數(shù)學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現(xiàn)實性，重

3、視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查， 努力實現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學素養(yǎng)的要求?！?數(shù)學的思想方法滲透到數(shù)學的各個角落，無處不在，有些題目還要考查多個數(shù)學思想。在高考復習時，要充分認識數(shù)學思想在提高解題能力的重要性，在復習中要有意識地滲透這些數(shù)學思想，提升數(shù)學思想。一、函數(shù)與方程的思想所謂函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點、集合對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決，函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點去觀察分析處理問題。所謂方程的思想就是分析

4、數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程 （組），或者運用方程的性質(zhì)去分析轉化問題使問題獲得解決， 方程思想是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是利用方程或方程觀點觀察處理問題。函數(shù)思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉化的。函數(shù)和方程的思想是最重要和最常用的數(shù)學思想，它貫穿于整個高中教學中，中學數(shù)學中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結為函數(shù)，尤其是導數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具 因此，在數(shù)學教學中注重函數(shù)與方程的思想是相當重要的 在高考中，函數(shù)與方程的思想也是作為思想方法的重點來考查的，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運算，而在解

5、答題中，則從更深的層次，在知識的網(wǎng)絡的交匯處，從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。1、利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題例 1（ 2008安徽卷，理 ,11）若函數(shù)f ( x), g (x) 分別是 r 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f ( x) g( x)ex ，則有（）a f (2)f (3)g(0)b g (0)f (3)f (2)c f (2)g (0)f (3)d g (0)f (2)f (3)分析： 要比較函數(shù)值的大小，就要由已知條件求得函數(shù)解析式，本題中的f (x), g (x) 都未知，只有一個等式，就需要我們再挖掘一個等式，由函數(shù)的奇偶性容易想到用x 替換 x ，從而得到兩個方程

6、組成方程組解出。解：因為 f ( x) g( x) ex ，用 x 替換 x 得：f ( x)g( x)e x , 因為函數(shù) f ( x), g( x)分別是 r 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以f ( x)g ( x)e x ，又 f (x)g( x) ex.解 得 ：exe xe xex單 調(diào) 遞 增 且 f 00 ， f ( x)2, g( x)， 而 f ( x)2f 3 f2 0 大于等于0，而 g (0)1，故選 d 。答案： d評注： 本題中利用函數(shù)的性質(zhì)再得一方程，通過解方程組求得函數(shù)的解析式，再回歸到函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關系，是函數(shù)與方程的較好得結合。2、構造函數(shù)解題例 2.

7、 (2008天津卷，理， 16）設 a1，若僅有一個常數(shù)c 使得對于任意的 xa,2a ，都有 y a,a2滿 足 方 程 log axlog ayc ， 這 時 ， a的 取 值 的 集 合為。分析 : 題目給出的方程中含有x, y,a,c 等多個字母，而條件中是對任意的xa,2a 都有ya,a 2，這使我們聯(lián)想到函數(shù)的定義域、值域，所以必須把方程改寫為關于y 的函數(shù) ，再進一步研究函數(shù)的性質(zhì)。解：由已知 log a xlog a yc ，得 yac（其中 xa,2 a ），函數(shù)為反比例函數(shù)，在xa,2 a （ a1）上為單調(diào)遞減，所以當x a,2 a 時， y ac 1, ac1 又因為對

8、于任意的2a, a2ac1ac2loga 2xa,2a，都有 y2，所以c3，因為有且只有一個常ac 1a2數(shù) c 符合題意，所以2 log a 2 3 ，解得 a2，所以 a 的取值的集合為 2 。答案： 2評注 :本題看似方程問題，實質(zhì)是函數(shù)問題，通過分析、轉化為函數(shù)，并運用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉化為不等式組解出。本題中自覺地、巧妙地運用函數(shù)的思想來指導解答問題。3、函數(shù)與方程、不等式的轉化例 3（ 2008 廣東卷，理14) 已知 a r ，若關于 x 的方程 x2x a1a 0 有實根，則 a 的取值范圍是4分析： 求參數(shù) a 的范圍，可以先將a 分離出來，表示為x 的函數(shù)，求出函數(shù)的值域

9、，進而得到參數(shù) a 的范圍20, 1 , 利 用 絕 對 值 的幾 何 意 義 , 得解 ： 方 程 即 a1ax2xx11424411a11aa a4，可得實數(shù) a 的取值范圍為0,444評注： 本題將方程轉化為函數(shù)，利用函數(shù)的值域得到a 的不等式，求得參數(shù)a 的范圍。例 4 （福建德化一中2008 ，理） 若關于x 的方程x2 + 2kx - 1= 0 的兩根 x1、 x2 滿足.- 1 ? x1 0 x22 ，則 k 的取值范圍是（）3333a (- ,0)b (- ,0c (0, )d 0, )4444分析： 本題是研究二次方程的實根分布問題，可以轉化為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象轉為函

10、數(shù)值表示的不等式組解出。解：設函數(shù) f xx22kx1，關于x的方程x2 + 2kx - 1= 0 的兩根 x1、 x2 滿足f102k03- 1 ? x1 02 時，點 p（ x,0）存在無窮多條“相關弦” 。給定 x0 2.（ i）證明：點 p（ x0,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；(ii) 試問：點 p（ x0,0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0 表示）：若不存在，請說明理由 .分析： 本題（ 1）研究中點弦問題，可以用點差法，求得中點的坐標從而證明；（ 2）可用中點的坐標表示出弦長，得到關于中點的縱坐標的函數(shù)，再求出函數(shù)的值域。解 : （ i

11、）設 ab 為點 p（ x0,0）的任意一條“相關弦” ，且點 a、 b 的坐標分別是（ x1,y1 ）、（x2,y2 ）（ x1 x2） ,則 y21=4x1, y22=4x2,兩式相減得（ y1+y2）（y1-y2） =4（x1-x2） .因為 x1 x2,所以 y1+y20.設直線 ab 的斜率是 k，弦 ab 的中點是 m（ xm, ym） ,則y1y242l 的方程為y ymym( xxm ).k=x2y1y2.從而 ab 的垂直平分線2x1ym又點 p（ x0,0）在直線 l 上，所以ymym ( x0xm).2而 ym0, 于是 xmx0 2. 故點 p（x0,0）的所有“相關弦

12、”的中點的橫坐標都是x0-2.( ) 由 ( ) 知，弦 ab所在直線的方程是yymk( xxm ) ，代入 y24x 中，整理得 k2 x22 k( ym kxm )2 x( ymkxm ) 20.（）.則 x1、 x2 是方程（）的兩個實根，且x1x2( ymkxm) 2.k2設點 p 的“相關弦” ab 的弦長為 l ，則l 2(x1x2 )2( y1y2 )2(1 k 2 )( x1x2 )2(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 4(1k 2 )( xm2x1x2 )4( ym2 xm )22ym4(1ym2 ) xm4ym2(4y2 )(4 xmy2 )y44 y2( x1)

13、16xmmmmmm4( xm 1)2 ym22( xm 1) 24( x01)2 ym22( x0 3) 2 .因為 02mm020ym 3,則 2(x0-3)(0, 4x0-8),所以當 t=2(x 0-3),即 ym2 =2(x0-3)時 ,l 有最大值2(x0-1).若 2x03,則 2(x0-3) 0,g(t)在區(qū)間（ 0， 4 x0-8）上是減函數(shù)，所以 0l23 時，點 p（ x0,0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值為 2（ x0-1）；當 2 x03 時，點 p（ x0,0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值.評注： 本題中需要解方程組求弦長，弦長用弦的中點坐標表示出來，

14、可用配方法求得函數(shù)的值域。直線與圓錐曲線的位置關系中滲透著函數(shù)與方程的思想，在解決解析幾何問題時常常運用函數(shù)與方程的思想來解答。6、函數(shù)與方程在導數(shù)中的應用例 9（ 2008 湖南卷，理21）已知函數(shù) f xln 2 1 xx2.1x(i) 求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間 ;（）若不等式 (1 1)n ae 對任意的 n n* 都成立（其中e 是自然對數(shù)的底數(shù)） .n求 的最大值 .分析： 由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式(1 1 )n ae 對任意的n.1nn* 都成立可等價轉化為不等式( na)ln(1)1. 進而分離出 a 來，不等式恒成立轉n為函數(shù)研究最值問題，可構造

15、函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值。解: （）函數(shù)f ( x) 的定義域是( 1,) ，f ( x)2ln(1xx)x22x2(1x) ln(1x)x22x .1(1x)2(1 x)2設 g( x)2(1x)ln(1x) x22x, 則 g (x)2ln(1x)2x.令 h( x)2ln(1x) 2 x, 則 h ( x)2212x .1xx當 1x0 時，h (x) 0,h( x) 在（ -1， 0）上為增函數(shù)，當 x 0時， h ( x)0, h( x) 在 (0,) 上為減函數(shù) .所以 h(x)在 x=0 處取得極大值，而 h(0)=0,所以 g ( x)0( x0) ，函數(shù) g

16、(x)在 ( 1,) 上為減函數(shù) .于是當1x0 時， g ( x) g (0)0,當 x 0 時， g( x)g (0) 0.所以，當1x0 時， f (x)0,f (x) 在（ -1， 0）上為增函數(shù) .當 x 0時， f( x)0,f (x) 在 (0,) 上為減函數(shù) .故函數(shù)f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1， 0），單調(diào)遞減區(qū)間為(0,) .（）不等式 (11)n ae 等價于不等式(na)ln(11 )1. 由 111知，1nnna1n.設 g( x)11 , x0,1 , 則ln(1)ln(1 x)xng (x)(11x)1(1x) ln 2 (1x)x2.x) ln 2 (1

17、x2x2 (1x) ln 2 (1x)由（）知，ln2(1x)x20, 即 (1x) ln2(1x)x20.1 x所以 g ( x)0, x0,1 , 于是 g(x)在0,1 上為減函數(shù) .故函數(shù) g（ x）在 0,1 上的最小值為 g(1)11.ln 21所以 a 的最大值為1.ln 2評注： 第（ 1）問是為第二問鋪墊的，在解答問題（2）時，不等式恒成立問題轉化為函數(shù)研究最值， 利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而研究最值是解決函數(shù)最值問題的常用方法。理科的題目常常是超越方程或不等式，要利用導數(shù)解答問題。 而文科的題基本上是含有參數(shù)的三次函數(shù)，如下一例題例 10（2008 北京卷，文 17）已知函數(shù)

18、f (x)x3ax23bx c(b0) ，且 g( x)f ( x) 2是奇函數(shù)（）求 a ， c 的值；（）求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間分析： 本題從函數(shù)的性質(zhì)入手，利用奇函數(shù)的定義，確定函數(shù)的解析式，再由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。解：（）因為函數(shù)g ( x)f (x) 2為奇函數(shù)，所以，對任意的xr ， g(x)g( x) ，即 f (x)2f ( x)2 又 f (x)x3ax23bxc所以 x3ax23bx c2x3ax23bxc2a，a所以c2c2解得 a0， c2（）由（）得f (x)x33bx2 所以 f ( x) 3x23b(b0) 當 b 0 時，由 f ( x) 0 得 x

19、b x 變化時，f ( x) 的變化情況如下表：x( ， b)b(b， b)b（ b， ）f ( x)00.f x極大極小單調(diào)遞增值單調(diào)遞減單調(diào)遞增值所以，當 b0 時，函數(shù)f (x) 在 (，b ) 上單調(diào)遞增，在(b，b ) 上單調(diào)遞減，在 (b，) 上單調(diào)遞增當 b0 時， f ( x)0 ，所以函數(shù)f (x) 在 (，) 上單調(diào)遞增評注： g x 為奇函數(shù)是對任意的xr ， g(x)g (x) 都成立來說的，也就是恒等式，對應項的系數(shù)相等，從而確定系數(shù)。 在研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時往往要對參數(shù)在分界值處進行分類討論。7函數(shù)與方程在數(shù)列中的應用例 11（ 2008 陜西卷，理22）已

20、知數(shù)列 a 的首項3， a3an， n1，2，l a1n 1n2an15（）求 an 的通項公式；（）證明：對任意的x0 ， an 112x ， n12，l；1 x(1 x) 23n（）證明： a1 a2ln2ann1分析：（ 1）由遞推關系求通項，可以進行變形，構造一個特殊數(shù)列求出；（ 2）不等式的左邊只含有 n ，右邊含有n 和 x ，可以看作是關于 x 的函數(shù)，可證此函數(shù)的最大值an 。解法一：（） q an 13an，12111 1，2an1an 1，113 3a nan 13 an又 112，11 是以 2 為首項，1 為公比的等比數(shù)列an3an3311212an3nan3g n 1

21、n，3n332（）由（）知an3n0 ，3n2.112x1x(1x)23n1121 1 x1x(1x)23n111(1x)1 x (1 x)2an1 g12an(1x)21 x112anan an ，原不等式成立an1x（）由（）知，對任意的x0，有a1 a2l an 112112112xx(1x)2x1x (1x)22x l(1 x)2n1331 x3n122l2nx1 x (1 x)23 323n211取 x122l233n111，n3323n1n3nn 13則 a1a2lannn2n2111n1n1n13n13n原不等式成立解法二：（）同解法一（）設 f ( x)112x，1x(1x)2

22、3n1(1x) 22x g2(1x)22x則 f (x)23nx)23nx) 2(1x)(1(1q x0，當 x20 ；當 x20 ，n 時， f ( x)n 時， f ( x)33.當 x2時， f (x) 取得最大值 f213n3nan213n原不等式成立（）同解法一評注： 本題為利用函數(shù)與方程的思想解答數(shù)列問題，在求右邊函數(shù)的最值時，可以用配方法，也可以用導函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性求其最值。8.預測題rsin xrf x ,sin x ，其中 xr r（1）（原創(chuàng)）向量 acos x,1 ， b0, ， a / b ，則函數(shù)f x 的值域為（）a. 0,1 b. 0, 21c. 0,1d. 0, 2122分析： 先由已知求出fx 的解析式，再由定義域結合函數(shù)的圖象求出值域rrsin x sin xcosx sin 21 cos2x1解： a / b ， f xx sin x cosxsin2 x222 sin2x1 ， x 0,選 b242評注： 求函數(shù)的值域一定要在函數(shù)的定義域內(nèi)結合函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決。（2）（原創(chuàng)） 已知 yf (x) 是頂點在原點的二次函數(shù)，且方程 f (x)3 x 有一個根 x2 ，則不等式 f ( x)(1) x 的解集是（）3a ( 2,2)b ( 2,0) u (0,2