2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和課件

1、2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,小學(xué)四年級奧數(shù)教程,高斯求和,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,高斯的故事,德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人。大約10歲時，老師在算術(shù)課上出了一道難題：“把1到100的整數(shù)寫下來，然后把它們加起來！”每當(dāng)有考試時他們班有如下的習(xí)慣：第一個做完的就把石板（當(dāng)時通常用于寫字）面朝下地放在老師的桌子上，第二個做完的就把石板擺在第一張石板上，就這樣一個個落起來。這道難題當(dāng)然難不倒學(xué)過算術(shù)級數(shù)的人，但對于剛學(xué)算術(shù)不久的孩子來說，難度較大。老師心想：終于可以休息一下了！但他錯了，因為還不到幾秒鐘，高斯已經(jīng)把石板放在講桌上了。同時說道：“答案在

2、這兒”。而其他學(xué)生還在埋頭苦干，把數(shù)字一個個加起來，有的額頭都出汗了。但高斯卻靜靜地坐著，對老師投來的懷疑眼光毫不在意?？纪旰螅蠋熞粡垙埖貦z查著石板，大部分都做錯了，當(dāng)然也免不了吃一頓鞭打。最后，高斯的石板被翻了過來，只見上面只有一個數(shù)字：5050。這正是正確的答案。老師吃了一驚！,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,110029939849525051。 1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，高斯把這道題巧算為： （1+100）10025050。 高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。,2016年小學(xué)四年級

3、下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如： （1）1，2，3，4，5，100； （2）1，3，5，7，9，99； （3）8，15，22，29，36，71。 其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項+末項）項數(shù)2。 根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可以變形得到如下的數(shù)量關(guān)系：項數(shù)=（末項-首項

4、）公差+1 末項=首項+公差（項數(shù)-1） 首項=末項-公差（項數(shù)-1）,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,例1 ： 12345 1920？ 2468 4850？ 分析：觀察上面兩道題，不難發(fā)現(xiàn)它們都是等差數(shù)列。第題的首項是1，末項是20，共有20個數(shù)。而第題的首項是2，末項是50，共有25個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得： 12345 1920 （120）202 21202 210 2468 4850 （250）252 52252 650 注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 計算123

5、45 4950的和 解：原式（150）502 51502 1275 計算1357 9799的和 解：原式（199）502 100502 2500 第一行放了1顆糖，第二行放了2顆糖，第三行放了3顆糖，依此類推，第四十行放了40顆糖，第一四十行一共放了多少顆糖？ 12345 40 （140）402 41402 820（顆）,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,例2：求5811142932的和 分析：這是一個公差為3、首項為5、末項為32的等差數(shù)列。如果按等差數(shù)列求和的公式計算，還必須先找出項數(shù)。根據(jù)項數(shù)（末項首項）公差1，這個等差數(shù)列的項數(shù)是（325）31 10。 解：（325）31

6、 2731 91 10 5811142932 （532）102 37102 185,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 計算3711 4347的和 解：（473)41 4441 111 12 3711 4347 (347)122 50122 6002 300,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 計算51015 9095100的和 解：（1005)51 9551 191 20 51015 9095100 (5100)202 105202 21002 1050,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 美羊羊?qū)W做蛋糕，第一天做了5個蛋糕，

7、以后每天都比前一天多做2個，最后一天做了25個蛋糕，美羊羊這些天中一共做了多少個蛋糕？ （255)21 2021 101 11 (525)112 30112 3302 165,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,例3：有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：10、17、24、31 這列數(shù)中前80個數(shù)的和是多少？ 分析：這是一個公差為7、首項為10、項數(shù)為80的等差數(shù)列，末項未知。如果按等差數(shù)列求和的公式計算，還必須先找出末項。根據(jù)末項=首項+公差（項數(shù)-1），這個等差數(shù)列的末項是107 （ 801）563。 解： 107 （801） 107 79 10553 563 （10563）802 5738

8、02 22920,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：5、9、13、17這列數(shù)中前24個數(shù)的和是多少？ 54（241） 54 23 592 97 （597）242 102242 1224,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 小明練習(xí)寫毛筆字，第一天寫了8個大字，以后每一天都比前一天多寫3個，小明30天一共寫了多少個毛筆字？ 83（301） 83 29 887 95 （895）302 103302 1545,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 有一堆粗細(xì)均勻的圓木，最上面有33根，每一層都比上一層多1根，一

9、共堆了15層，這堆圓木一共有多少根？ 331（151） 33114 3314 47 （3347）152 80152 600,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,例4：（246 2012）（ 135 2011） 分析：這道題可以分別求出括號內(nèi)兩個數(shù)列的和，然后相減。仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列的項數(shù)一樣多。而且前面括號內(nèi)第一個數(shù)與后面括號內(nèi)第一個數(shù)相減得1，前面括號內(nèi)第二個數(shù)與后面括號內(nèi)第二個數(shù)相減也得1以此類推。 解法一：（20122）21 201021 10051 1006 （246 2012）（135 2011） （22012）10062 （12011）10062 20141

10、0062201210062 10130421012036 1006 解法二：（246 2012）（135 2011） （21）（43） （20122011） 11006 1006,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： （7911 25）（57923） 解法一：（257）21 1821 91 10 （791125）（57923） （725）102（523）102 3210228102 160140 20 解法二：（791125）（57923） （75）（97）（2523） 210 20,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 123456789585960

11、分析：計算這道題，可以變減為加，整體推算。其中，減數(shù)均為3的倍數(shù)，共有60320（個） 123456789585960 （160）602（360）2022 61602632022 18301260 570,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,例4：求所有加6以后被11整除的三位數(shù)的和。 分析：解決這道題，首先應(yīng)弄清楚“加6以后被11整除的三位數(shù)”是哪些數(shù)?！凹?以后被11整除的三位數(shù)”，換一個說法，也就是“被11除余5的三位數(shù)。 在這些數(shù)中最小的三位數(shù)是104，最大的三位數(shù)是995，而且相鄰兩數(shù)都相差11。即這些三位數(shù)依次是104、115、126、995。顯然，它們成等差數(shù)列，所以

12、可以利用等差數(shù)列求和的公式來求和。首項是104，末項是995，公差是11。 解：項數(shù)（995104）111 891111 811 82 總和（104995）822 1099822 45059,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 100以內(nèi)所有加5后是6的倍數(shù)的數(shù)的和是多少？ 分析：100以內(nèi)“加5后是6的倍數(shù)的數(shù)”，換一個說法，也就是“被6除余1的數(shù)。 在這些數(shù)中最小的是1，最大的是91，而且相鄰兩數(shù)都相差6。即這些數(shù)依次是1、7、13、91。顯然，它們成等差數(shù)列，所以可以利用等差數(shù)列求和的公式來求和。首項是1，末項是91，公差是6。 解：項數(shù)（911）61 9061 1

13、51 16 總和（191）162 92162 736,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯求和,練一練： 在1400中，所有不是9的倍數(shù)的數(shù)的和是多少？ 分析：1400中，所有“不是9的倍數(shù)的數(shù)的和” ，可以先求出1400各數(shù)的和，再去掉所有9的倍數(shù)的數(shù)的和，就能得到所要求的結(jié)果。而在所有9的倍數(shù)的數(shù)中，最小的是9，最大的是396，相鄰兩數(shù)都相差9。即這些數(shù)依次是9、18、27、396。顯然，它們成等差數(shù)列。項數(shù)是（ 3969）9144 （123400）（91827396） （1400）4002（9396）442 4014002405442 802008910 71290,2016年小學(xué)四年級下冊奧數(shù)題-第一講高斯