變型雞兔同籠問題與假設(shè)法 詳細(xì)課件+典型題型

1、第三講 變型雞兔同籠問題與假設(shè)法【專題知識點(diǎn)概述】你以前聽說過“雞兔同籠”問題嗎？這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？ 古人常用的這種思維方法叫化歸法?；瘹w法就是在解決問題時(shí)，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決的問題。今天我們將給大家介另外一種求解“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”！【授課批注】

2、本節(jié)課意讓在探究中體會解題思想，在策略多樣性中體驗(yàn)最優(yōu)思想，培養(yǎng)學(xué)生多手段、多層面、多角度地探索問題，解決問題的基本方法和一般方法，體驗(yàn)了解決問題策略的多樣性，使學(xué)生感受“雞兔同籠”問題的變式及其在生活中的廣泛的應(yīng)用，同時(shí)體會解題過程中化難為易、化繁為簡的思想方法，發(fā)展了學(xué)生創(chuàng)新意識，開拓了學(xué)生解題思路，發(fā)展了學(xué)生的個(gè)性，使學(xué)生在各種數(shù)學(xué)思想的滲透中形成良好的數(shù)學(xué)解題能力?！半u兔同籠”問題基本解題公式（1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（總腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)）（每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。或者是（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)

3、；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多時(shí)，可用式（每只雞腳數(shù)總頭數(shù)-腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)或（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時(shí)，可用公式。（每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)； 總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)?；颍恐煌玫哪_數(shù)總頭數(shù)-雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)； 總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：（

4、1只合格品得分?jǐn)?shù)產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)?；蛘呤强偖a(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分?jǐn)?shù)總產(chǎn)品數(shù)+實(shí)得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)。（5）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題），可用下面的公式：（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)和）+（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=雞數(shù)；（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=兔數(shù)?！臼谡n批注】用不同方法（同為雞，同為兔，砍足，增頭，圖示法等）解決問題，增強(qiáng)學(xué)生知識面和拓展思維?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)解析】1. 通過不同的方法

5、研究解決雞兔同籠問題2. 對“假設(shè)法”的理解和應(yīng)用，滲透假設(shè)的思想方法【競賽考點(diǎn)挖掘】1. 假設(shè)法的應(yīng)用2. 理解用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的的算理【習(xí)題精講】【例1】（難度等級 ）工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)一個(gè)到目的地給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)要倒賠100元，運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元.問共損壞了幾個(gè)花瓶？【分析與解】 假設(shè)250個(gè)能夠完整運(yùn)達(dá)目的地。將得運(yùn)費(fèi)25020=5000（元），與實(shí)際所得相差5000-4400=600（元）。損壞個(gè)數(shù)600（100+20）=5（個(gè)）?！纠?】（難度等級 ）松鼠媽媽采松果，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天只能采12個(gè).它一連幾天采了112個(gè)

6、松果，平均每天采14個(gè).問這幾天中有幾個(gè)雨天？【分析與解】 因松鼠媽媽共采松果112個(gè)，平均每天采14個(gè)，所以實(shí)際用了112148（天）.假設(shè)這8天全是晴天，松鼠媽媽應(yīng)采松果208160（個(gè)），比實(shí)際采的多了16011248（個(gè)），因雨天比晴天少采20128（個(gè)），所以共有雨天4886（天）.【例3】（難度等級 ）四年級四班有60個(gè)學(xué)生參加下棋活動老師準(zhǔn)備了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，6人下一副跳棋，問象棋和跳棋各多少副？【分析與解】假設(shè)20副均為象棋，共有202=40（人）在玩，還有20人沒參加活動。跳棋數(shù)20（6-2）=5（副），象棋數(shù)20-5=15（副）?！纠?】（難度等級 ）實(shí)驗(yàn)

7、小學(xué)四年級舉行數(shù)學(xué)競賽，一共出了10道題目，答對一道得10分，答錯(cuò)一題反扣5分（沒有不答的情況）。張華得了70分，他答對了幾道題？【分析與解】假設(shè)所有問題全部答對，得分1010=100（分），比實(shí)際得分多100-70=30（分），錯(cuò)題數(shù)：30（10+5）=2（道），正確題數(shù)：10-2-8（道）?！纠?】（難度等級 ）蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。每種小蟲各幾只？【分析與解】 因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種。利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)(118618)(86

8、)5(只)。因此就知道6條腿的小蟲共18513(只)。也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀。蟬數(shù) (13220)(21)6(只)。因此蜻蜓數(shù)是1367(只)?！纠?】（難度等級 ）一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？【分析與解】我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打306=5(份),乙每小時(shí)打3010=3(份). 現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成兔頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成雞頭數(shù),總頭數(shù)是7.兔的腳數(shù)是5,雞的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問題轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題了. 根

9、據(jù)前面的公式兔數(shù)=(30-37)(5-3) =4.5, 雞數(shù)=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小時(shí),乙打字用了2.5小時(shí). 【例7】（難度等級 ）有50位同學(xué)前往參觀,乘電車前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共用了車費(fèi)110元,問其中乘小巴的同學(xué)有多少位？【分析與解】 由于總錢數(shù)110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù),因此乘電車前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍. 如果有30人乘電車, 110-1.230=74(元). 還余下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了. 如果有40人乘電車 110-1.240=62(元). 還余下

10、50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62610).說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了.30至40之間,只有35是5的整數(shù)倍. 現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠了: 總頭數(shù) 50-35=15, 總腳數(shù) 110-1.235=68. 因此,乘小巴前往的人數(shù)是 (615-68)(6-4)=11. 【例8】（難度等級 ）商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,中球每個(gè)1.5元,小球每個(gè)1元.張老師用120元共買了55個(gè)球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個(gè)？【分析與解】 因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù),大,小球的價(jià)錢也都是整數(shù),所以買中球的錢數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們設(shè)想買中球,小球錢中各出3

11、元.就可買2個(gè)中球,3個(gè)小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個(gè)價(jià)錢是 (1.52+13)(2+3)=1.2(元). 從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是 (120-1.255)(3-1.2)=30(個(gè)). 買中,小球錢數(shù)各是 (120-303)2=15(元). 可買10個(gè)中球,15個(gè)小球. 答:買大球30個(gè),中球10個(gè),小球15個(gè).【例9】（難度等級 ）使用甲種農(nóng)藥每千克要兌水20 千克，使用乙種農(nóng)藥每千克要兌水40 千克根據(jù)農(nóng)科院專家的意見，把兩種農(nóng)藥混起來用可以提高藥效，現(xiàn)有兩種農(nóng)藥共50 千克，要配藥水1400 千克，那么，其中甲種農(nóng)藥用了多少千克？【分析與解】 假設(shè)50 千克都是乙種農(nóng)藥，那么需

12、要兌水40502000(千克)但題目要求配藥水1400 千克， 即實(shí)際兌水1400501350(千克)多用了20001350650(千克)水，又已知使用乙種農(nóng)藥每千克兌水需要比使用甲種農(nóng)藥多兌水40-2020(千克)，所以推知，在混合農(nóng)藥中甲種農(nóng)藥有6502032.5(千克)【例10】（難度等級 ）某工廠的27位師傅帶徒弟40名，每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名徒弟，如果帶一名徒弟的師傅的人數(shù)是其他師傅的人數(shù)的兩倍，那么帶兩名徒弟的師傅有幾位？【分析與解】帶一名徒弟的師傅的人數(shù)是：27=18(位) ；帶兩名或三名徒弟的師傅有27-18=9(位)，他們共帶40-18=22(名)徒弟，如果這

13、9位師傅帶兩名徒弟，他們只能帶18名徒弟，還有22-18=4(名)徒弟沒人帶，所以應(yīng)有4位師傅每人帶三名徒弟，帶兩名師傅有5位。【例11】（難度等級 ）某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎(jiǎng).獎(jiǎng)金有三種:一等獎(jiǎng)1000元,二等獎(jiǎng)250元,三等獎(jiǎng)50元.共有100人中獎(jiǎng),獎(jiǎng)金總額為9500元.問二等獎(jiǎng)有多少名？ 【分析與解】假設(shè)全是三等獎(jiǎng)，共有：9500/50=190（人）中獎(jiǎng)，比實(shí)際多：190-100=90（人） 1000/50=20，也就是說：把20個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是說：把5個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少

14、了：5-1=4（人）。 因?yàn)槎喑龅氖?0人，而：90=19*2+4*13. 即：要使總?cè)藬?shù)為100，只需要把20*2=40個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成2個(gè)一等獎(jiǎng)，把5*13=65個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成13個(gè)二等獎(jiǎng)就可以了。 所以，二等獎(jiǎng)有13個(gè)人。【例12】（難度等級 ）今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),是公元哪一年？【分析與解】4年后,兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作雞頭數(shù),弟的年齡看作兔頭數(shù).25是總頭數(shù)

15、.86是總腳數(shù).根據(jù)公式,兄的年齡是 (254-86)(4-3)=14(歲). 1998年,兄年齡是14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)4-4=40(歲). 因此,當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),兄的年齡是 (40-10)(3-1)=15(歲),這是2003年. 【例13】（難度等級 ）有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶,運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算,每只2角,如有破損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi),還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元,問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只 ？【分析與解】如果沒有破損,運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是 (400-379.6)

16、(1+0.2)=17(只). 【例14】（難度等級 ）從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米？ 【分析與解】把來回路程452=90(千米)算作全程.去時(shí)上坡,回來是下坡;去時(shí)下坡回來時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成一種路程,根據(jù)例15,平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡單的雞兔同籠問題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù)90,雞,兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時(shí)間是 (90-421)(5-4)=6(小時(shí)

17、). 單程平路行走時(shí)間是62=3(小時(shí)). 從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是 45-53=30(千米). 又是一個(gè)雞兔同籠問題.從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是 (67-30)(6-3)=4(小時(shí)). 行走路程是34=12(千米). 下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí)).行走路程是63=18(千米). 答:從甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米. 【例15】（難度等級 ）某次數(shù)學(xué)考試考五道題,全班52人參加,共做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數(shù)一樣多,那么做對4道的人數(shù)有多少人？【分析與解】對2

18、道,3道,4道題的人共有 52-7-6=39(人). 他們共做對181-17-56=144(道). 由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多,我們就可以把他們看作是對2.5道題的人(2+3)2=2.5).這樣 兔腳數(shù)=4,雞腳數(shù)=2.5, 總腳數(shù)=144,總頭數(shù)=39. 對4道題的有 (144-2.539)(4-1.5)=31(人). 【作業(yè)】1.東湖小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽,共20道試題.做對一題得5分,沒有做一題或做錯(cuò)一題倒扣3分.劉剛得了60分,則他做對了幾道題？【答案】152. 自行車進(jìn)行越野賽。賽程全長220千米，全長由每段長9米的山路和每段長14米的平路兩種組成，整個(gè)賽程共有20個(gè)賽段，求山路共有多少千米？【答案】1083. 摩托車賽全程長281千米,全程被劃分成若干個(gè)階段,每一階段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的.已知摩托車跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？【答案】14, 11.4. 大、小猴共35只，它們一起云采摘水蜜桃，猴王不在的時(shí)候，一只大猴子一小時(shí)可采摘15千克，一只小猴子一小時(shí)可采摘11千克，猴王在場監(jiān)督的時(shí)候，每只猴子不論大小每