常微分方程課件：常微分方程的常見解法

1、一、 向量場,設(shè)一階微分方程,滿足解的存在唯一性定理的條件。,，滿足,常微分方程的解法介紹,解，但我們知道它的解曲線在區(qū)域D中任意點,的切線斜率是 。,它所確定的向量場中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的,每一點都與向量場在這一點的方向相切。,向量場對于求解微分方程的近似解和研究微分方 程的幾何性質(zhì)極為重要，因為，可根據(jù)向量場的走 向來近似求積分曲線，同時也可根據(jù)向量場本身的 性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。,例1.3.1 在區(qū)域,內(nèi)畫出方程,的向量場和幾條積分曲線。,解：用計算各點的斜率的方法手工在網(wǎng)格點上 畫出向量場的方向可以得到向量場，但手工繪 圖誤差較大。我們可以用Maple 軟件包來完成。,點的向量相重

2、合。 L在每點均與向量場的向量相切。,定理1.3,L為,的積分曲線的充要條件是：,曲線,Maple指令：,DEtoolsphaseportrait # 畫向量場及積分曲線 (diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定義微分方程 x=-2.2, # 指定x范圍 y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 給出3個初始值 dirgrid=17,17, # 定義網(wǎng)格密度 arrows=LINE, # 定義線段類型 axes=NORMAL); # 定義坐標(biāo)系類型,在MATLAB的向量場命令為 quiver(x,y,px,py),所謂圖解法就是不用微分方程解的具體表達(dá)式，直接根

3、據(jù)右端函數(shù)的結(jié)構(gòu)和向量場作出積分曲線的大致圖形。 圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主要特征。 該方法的思想?yún)s十分重要。因為能夠用初等方法求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對了解該方程所反映的實際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。,二、 積分曲線的圖解法,三、一階常微分方程的解法,1線性方程 2 變量可分離方程 3 全微分方程 4 變量替換法,5 一階隱式方程 6 近似解法 7 一階微分方程的應(yīng)用,初值問題,的解為,初值問題,的解為,Bernoulli方程,求出此方程通解后,令,解法:,例 湖泊的污染,設(shè)一個化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，,這些廢水流入一個湖泊中

4、，廢水流入的速率20,立方米每小時. 開始湖中有水400000立方米. 河水,中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時, 湖泊,中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小,時,求該廠排污1年時, 湖泊水中鹽酸的含量。,解: 設(shè)t時刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為,當(dāng) ,得,齊次方程,可化為齊次方程的方程,形如,的方程可化為齊次方程.,其中,都是常數(shù).,1. 當(dāng),時, 此方程就是齊次方程.,2. 當(dāng),時, 并且,(1),此時二元方程組,有惟一解,引入新變量,此時, 方程可化為齊次方程:,或者有,不妨是前者, 則方程可變?yōu)?4. 對特殊方程,例 求方程,的通解。,令,代入原方程可得到齊次方程,例:雪球

5、融化問題,設(shè)雪球在融化時體積的變化率與表面積成比 例，且融化過程中它始終為球體，該雪球在 開始時的半徑為6cm ，經(jīng)過2小時后，其半徑縮 小為3cm。求雪球的體積隨時間變化的關(guān)系。,解:設(shè)t時刻雪球的體積為,，表面積為,，,球體與表面積的關(guān)系為,變量可分離方程的應(yīng)用,由題得,分離變量積分得方程得通解為,再利用條件,確定出常數(shù)C和r代入關(guān)系式得,中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則,定理2.1 設(shè)函數(shù),和,在一個矩形區(qū)域,是全微分方程的充要條件為:,（2.3.3),方程為全微分方程的充要條件,由于,3.全微分方程的積分,解：,當(dāng)一個方程是全微分方程時,我們有三種解法.,(1) 線積分法:,或,由公式(

6、2.3.4)得:,故通解為,所以方程為全微分方程。,(2)偏積分法,由于,解：,假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有,求,而,即,從而,即,例：驗證方程,解：,所以方程為全微分方程。,由于,由于,(3)湊微分法,方程的通解為：,利用條件,得,最后得所求初值問題得解為：,根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗,原方程可寫為,四、微分方程的近似解法,用一些函數(shù)去近似微分方程的解 在一些點上計算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor級數(shù)法 Euler折線法 Runge-Kutta法,能得到解析解的方程：,線性方程、變量可分離的方程、 全微分方程以及能通過各種方法化為這些類型的方程. 絕大部分方程無法求得解析解，一些近似 解

7、法也對實際問題的解決有很大幫助，我 們需要討論在得不到解析解時尋求近似解 的方法。,對初始值問題 構(gòu)造迭代序列 該序列一致收斂到解，故迭代一定次數(shù)后就可以作為一個近似,1、 逐次迭代法,解：該初值問題近似解的迭代序列 如下,例 求初值問題的近似解,迭代的誤差 (|x|n),例：求初始值問題解的迭代序列的前三項,解：該初始值問題等價的積分方程為 其迭代序列的前三項為,利用Maple軟件可以求出更多的項 y0:=1; for j from 1 to 4 do yj:=1+int(x2+yj-12,x=0.x); end do;,近似程度的顯示,y0:=1; for j from 1 to 7 do

8、 yj:=1+int(x2+yj-12,x=0.x): end do: plot(y0,y1,y2, y3,y4,y5,y6, y7,x=-0.9.0.9);,Taylor級數(shù)法,設(shè)初始值問題的解可以在 的鄰域內(nèi)展開為收斂冪級數(shù) 則 就是解的一個近似值 解函數(shù)在 點的值及各階導(dǎo)數(shù)的計算：,例： 用Tailor級數(shù)法求初始值 問題的近似解。 解：計算解函數(shù)在x=0點的函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值得 所以，該初始值問題的近似解為,用Maple處理 restart: ode1:=diff(y(x),x)-x2-y(x)2=0; for j from 1 to 7 do Order:=j*2: dsolve(o

9、de1,y(0)=1,y(x),type=series); solj:=rhs(%): end do: for j from 1 to 7 do yj:=solj; end do;,運(yùn)行后的結(jié)果,用Maple 處理并用圖形顯示 restart: ode1:=diff(y(x),x)-x2-y(x)2=0; for j from 1 to 7 do Order:=j*2; convert(dsolve(ode1,y(0)=1,y(x), type=series), polynom ): solj:=rhs(%): end do: plot(sol1,sol2,sol3,sol4,sol5,sol

10、6,sol7,x=-1.1);,在區(qū)間-1,1的近似情況,在區(qū)間-0.5,0.5內(nèi)的近似情況,設(shè)初始值問題的解在 可以展開為冪級數(shù) 代入初始條件 方程后得 展開后比較兩端同次冪的系數(shù)確定,待定系數(shù)法,例：用待定系數(shù)法求,解： 令,由,由,得,得,于是,的近似解。,計算出解函數(shù) 在一系列節(jié)點 處的近似值, 節(jié)點間距,在這些節(jié)點上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點xn上的數(shù)值解。,Euler折線法,為步長，通常采用等距節(jié)點.,利用Taylor公式,這樣計算的

11、誤差是h的二階無窮小量,改進(jìn)的Euler折線法,利用計算機(jī)編程 給出步長和初始值 循環(huán)計算各點上函數(shù)的近似值 顯示結(jié)果 例 求初始值問題的數(shù)值解,具體實現(xiàn),printlev1:=0: h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5: z0:=0.5: f1:=(x,y)-1+(y-x)2; f2:=(x,y)-2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)2); for n from 0 to 9 do xn+1:=h*(n+1); yn+1:=yn+h*f1(xn,yn); zn+1:=zn+h*f1(xn,zn)+h2*f2(xn,zn)/2; un+1:=xn+1+1/(2-xn+1);

12、 print (xn+1,yn+1,zn+1,un+1); od: 可以改變步長和增加分點來觀察計算精度的變化情況,對于常微分方程的邊值問題,的解,即,- (1),Runge-Kutta(龍格 - 庫塔)法,Runge-Kutta方法的導(dǎo)出,有,上使用微分中值定理,在區(qū)間,-(2),引入記號,的近似值K。就可得到相應(yīng)的,-(3),Runge-Kutta方法即(3)式,只要使用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鰕(x),上平均斜率,在區(qū)間,K可以認(rèn)為是,在區(qū)間,上的平均斜率。,低階Runge-Kutta方法,如下圖,即,則(4)式化為,即Euler方法,Euler方法也稱為一階Runge-Kutta方法,由于,-(

13、4),(由(4)式),令,則(3)式化為,-(5),稱為二階Runge-Kutta法,高階Runge-Kutta方法,未知,令,令,取,則,-(6),(6)式稱為三階Runge-Kutta方法,還可構(gòu)造四階(經(jīng)典)Runge-Kutta方法,四階(經(jīng)典)Runge=Kutta方法有4階精度,例 求初始值問題的數(shù)值解,利用四階Runge=Kutta方法計算機(jī)編程 給出步長和初始值 循環(huán)計算各點上函數(shù)的近似值 顯示結(jié)果,printlev1:=0: h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5: f:=(x,y)-1+(y-x)2; for n from 1 to 10 do xn:=h*n; k1

14、:=f(xn-1,yn-1); k2:=f(xn-1+h/2,yn-1+k1*h/2); k3:=f(xn-1+h/2,yn-1+k2*h/2); k4:=f(xn-1+h,yn-1+k3*h); yn:=yn-1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; un:=xn+1/(2-xn); print (xn,yn, un); od:,運(yùn)行結(jié)果,適應(yīng)范圍 與變化率有關(guān)的各種實際問題 應(yīng)用三步曲 (1) 建模 即根據(jù)實際問題建立起適當(dāng)?shù)奈⒎址匠蹋?給出其定解條件. (2) 求解 求出所建立的微分方程的解 (3) 翻譯 用所得結(jié)果來解釋一些現(xiàn)象，或?qū)栴}的 解決提出建議或方法,建議: 模型要詳

15、略得當(dāng),在用微分方程解決實際問題的過程中一定要意識到實際問題是十分復(fù)雜的，微分方程只能是在一定程度上對問題的一種近似描述，只要結(jié)果的誤差在一定范圍內(nèi)即可.任何模型都不可能把影響問題的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得結(jié)果 十分精確.一個好的微分方程模型是在實際問題的精確性和數(shù)學(xué)處理的可能性之間的一個平衡.,有一段時間,美國原子能委員會(現(xiàn)為核管理委員會)是這樣處理濃縮放射性廢物的,他們把這些廢物裝入密封性能很好的圓桶中,然后扔到水深300英尺的海里。 這種做法是否會造成放射性污染,很自然地引起了生態(tài)學(xué)家及社會各界的關(guān)注。原子能委員會一再保證,圓桶非常堅固,決不會破漏,這種做法是絕對安全的

16、。然而一些工程師們卻對此表示懷疑,他們認(rèn)為圓桶在和海底相撞時有可能發(fā)生破裂。而原子能委員會有專家們則仍然堅持自己的看法。于是,雙方展開了一場筆墨官司。 究竟誰的意見正確呢?看來只能讓事實說話了。問題的關(guān)鍵在于圓桶到底能承受多大速度的碰撞,圓桶和海底碰撞時的速度有多大?,放射性廢物的處理,大量破壞性實驗,發(fā)現(xiàn)圓桶在40英尺秒的沖撞下會發(fā)生破裂,剩下的問題就是計算圓桶沉入300英尺深的海底時,其末速度究竟有多大了。 美國原子能委員會使用的是55加侖的圓桶,裝滿放射性廢物時的圓桶重量為W527.436磅,而在海水中受到的浮力B470.327磅。此外,下沉?xí)r圓桶還要受到海水的阻力,阻力Dv,其中C為常

17、數(shù)。工程師們做了大量實驗,測得C0.08?，F(xiàn)在,取一個垂直向下的坐標(biāo),并以海平面為坐標(biāo)原點(0)。于是,根據(jù)牛頓第二定律建立圓桶下沉?xí)r應(yīng)滿足方程 質(zhì)量加速度=重力-浮力-摩擦阻力,模型及其解,o,y,mg,B,D,困難：無法知道下沉到海底的時間,積分和代入初始條件得：,最后再用數(shù)值計算可以得到水深300時的速度大小。,借助數(shù)值方法求出v(300)的近似值。計算結(jié)果表明, v(300)45.1英尺秒40英尺秒。 工程師們的猜測是正確的,他們打贏了這場官 司?，F(xiàn)在,美國原子能委員會已改變了他們處理放 射性廢物的方法,并明確規(guī)定禁止將放射性廢物拋入海中。,一橫截面積為常數(shù)A,高為H的水池內(nèi)盛滿了水,

18、由池底一橫截面積為B的小孔放水. 求在任意時刻的水面高度和將水放空所需的時間 .,例：水的流出時間,： 有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.,例,解：,由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為,值得進(jìn)一步探討的問題: 不同的形狀,設(shè)在微小的時間間隔,水面的高度由h 降至 ,比較(1)和(2)得:,即為未知函數(shù)的微分方程.,可分離變量,所求規(guī)律為,值得進(jìn)一步探討的問題: 漏斗型的容器,由于水的張力的原因， 每次水都無法全部留盡，總會 剩一小部分在

19、容器中。如何才 能讓水盡可能少的留在容器 中？我們知道，水與容器接觸 的面積越大，留在容器中的水 就越多先討論一下漏斗的模 型。,y,容器的位置,可否將容器傾斜，使 上部的面積大于下部的 面積，使水流的速度更 快？ 傾斜角度？,容器的運(yùn)動狀態(tài),容器的運(yùn)動狀態(tài)對流水的速度是肯定會 造成影響的，考慮極限的狀態(tài)，如果容器以大于 等于當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊募铀俣蓉Q直向下運(yùn)動，那 么，容器里的水就不會流出。容器以不同的方式 運(yùn)動時對水的流出時間有多少影響？有沒有一種 運(yùn)動狀態(tài)能加快水流的速度呢？,渦流的影響,渦流對水流的速度是有一定影響的。拿一 個水桶反復(fù)做這樣的試驗：首先將桶裝滿水，記 錄水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，讓水 自然從桶破了的孔中流出，測量流出的時間，然 后反復(fù)從同一高度作相同的試驗，最后求出水自 然流盡所需時間的平均值；然后從同一高度作相 同的試驗，不同的是用一根棍子繞同一方向在水 中攪動，使其產(chǎn)生渦流，然后重復(fù)上面的步驟。 最后發(fā)現(xiàn)通過兩種方法測得的水流盡所需時間的 平均值有較大的差距，于是猜想有無渦流或許對 水流的速度也是有一定影響的。,五、 高階常系數(shù)