周期信號的傅里葉級數(shù)表示.ppt

1、FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS,第3章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示,本章內(nèi)容：,. 周期信號的頻域分析,. LTI系統(tǒng)的頻域分析,. 傅立葉級數(shù)的性質(zhì),3.0 引言 Introduction,時(shí)域分析方法的基礎(chǔ)： 信號在時(shí)域的分解。 LTI系統(tǒng)滿足線性、時(shí)不變性。,上一章選用單位脈沖/單位沖激函數(shù)作為基本信號，得到 ，本章用復(fù)指數(shù)信號作為基本信號，LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)也具有一種特別簡單的形式。,傅里葉分析方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程界有著廣泛的應(yīng)用。它本身就是在熱學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)的。,1768年3月21日生于法國歐塞爾。9歲父

2、母雙亡，由教堂收養(yǎng)。12歲被送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。1830年5月16日逝于巴黎。,傅里葉生平,17681830,3.1歷史的回顧 （A Historical Perspective）,1748年歐拉研究振動(dòng)弦時(shí)，認(rèn)為振蕩模式均為正弦函數(shù)，并成諧波關(guān)系。 1759年拉格朗日明確批評利用三角級數(shù)研究振動(dòng)弦的主張，認(rèn)

3、為不可能用三角級數(shù)來表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù)。 1807年傅立葉向巴黎科學(xué)院遞交“熱的傳播”論文，認(rèn)為“任何周期信號都可以用正弦函數(shù)的級數(shù)來表示”，拉格朗日反對發(fā)表。 直到1822年，才以另外的形式出現(xiàn)在著作“熱的分析理論” 1829年狄里赫利給出精確的收斂條件。 1965年，快速傅立葉變換被引入。,傅里葉的兩個(gè)最重要的貢獻(xiàn),“周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn),由時(shí)域分析方法有，,特征函數(shù) (Eigenfunction)與特征值(Eigenvalue),如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不過是

4、該信號乘以一個(gè)常數(shù)，則稱該信號是這個(gè)系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對應(yīng)的特征值。,復(fù)指數(shù)函數(shù) 、 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 、 分別是LTI系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號相對應(yīng)的特征值。,如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入能表示成復(fù)指數(shù)的線性組合，則系統(tǒng)輸出也能表示成相同復(fù)指數(shù)的線性組合。例如,對時(shí)域的任何一個(gè)信號 或者 ,若能將其表示為下列形式：,利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性,即：,*問題：究竟什么樣的信號可以用復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示？ S,z為任意復(fù)數(shù),在傅立葉分析中,取s=j, z=ej,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: ，其中每個(gè)信號都是以 為周期的，它們的公共周期為 ，且該集合中所

5、有的信號都是彼此獨(dú)立的。,Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals,3.3 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示,一. 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù),如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，得,顯然 也是以 為周期的。該級數(shù)就是傅里葉級數(shù)， 稱為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。 這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時(shí)間周期信號，即: 連續(xù)時(shí)間周期信號可以分解成無數(shù)多個(gè)復(fù)指數(shù)諧波分量。,二.頻譜（Spectral）的概念,信號的某種特征量隨頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜。 頻譜圖是該特征量隨頻率的分布，包括幅度譜和相位譜。 知道了信號的幅度

6、譜和相位譜，也就知道了信號的傅立葉級數(shù)表示。因此，研究信號的頻譜就等于研究信號本身。這種表示信號的方法稱為頻域表示法。,的頻譜為,因此，當(dāng)把周期信號 表示為傅里葉級數(shù) 時(shí)，就可以將 表示為,頻譜為,例 周期信號,基波角頻率w0，畫出它的幅度譜和相位譜,解：首先將x(t)改寫成Fourier級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，,相位譜 奇函數(shù),幅度譜 偶函數(shù),三.傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式,即：,傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式,對于三角形式，k0，頻譜為單邊譜。,四.連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定,對兩邊同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)積分，有,即,在確定此積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求。,代表信號在一

7、個(gè)周期的平均值，通常稱直流分量。,五.周期性矩形脈沖信號的頻譜,其中,稱為占空比,根據(jù) 可繪出 的頻譜圖。設(shè)T=8T1，畫圖。,周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 離散性 2. 諧波性 3. 收斂性,不變 時(shí),如果周期T無限增長(這時(shí)就成為非周期信號)，那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。,3.4 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的收斂條件,問題：滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)？實(shí)質(zhì)上是傅里葉級數(shù)收斂問題。,Convergence of the Fourier series,數(shù)學(xué)理論表明：在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，傅里葉級數(shù)是對周期信號的最佳近似。,傅里葉級

8、數(shù)收斂的兩層含義： 是否存在? 級數(shù)是否收斂于 ?,兩組條件： 1.平方可積條件： 如果 則 必存在。 在一個(gè)周期內(nèi)能量有限， 一定存在。,可去不連續(xù)點(diǎn),跳躍不連續(xù)點(diǎn),第二類不連續(xù)點(diǎn),這兩組條件并不完全等價(jià)。它們都是傅里葉級數(shù)收斂的充分條件。相當(dāng)廣泛的信號都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級數(shù)表示周期信號具有相當(dāng)?shù)钠毡檫m用性。,幾個(gè)不滿足Dirichlet條件的信號,三.Gibbs現(xiàn)象,問題：滿足 Dirichlet 條件的信號，其傅里葉級數(shù)是如何收斂于 的。特別當(dāng) 具有間斷點(diǎn)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近，如何收斂于 ?,用Fourier級數(shù)去重構(gòu)方波信號，觀察下面的波形,(1) 低次諧波振幅較大，

9、組成方波的主體，而高次諧波振幅較小，影響波形的細(xì)節(jié)。高次諧波愈多，波形的邊緣愈陡峭。,規(guī)律：,(2) 諧波分量愈多，在連續(xù)點(diǎn)處愈接近于原方波信號；,(3)當(dāng)諧波次數(shù)越高，所合成波形的超量(峰起)越靠近x(t)的間斷點(diǎn)，且該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，約等于跳變值的9，并從間斷點(diǎn)開始以振蕩的形式逐漸衰減下去，此即Gibbs現(xiàn)象。,用有限項(xiàng)傅里葉級數(shù)表示有間斷點(diǎn)的信號時(shí)，在間斷點(diǎn)附近不可避免的會(huì)出現(xiàn)振蕩和峰起。峰起的幅度不會(huì)隨所取項(xiàng)數(shù)的增加而減小。只是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點(diǎn)處壓縮，從而使它所占有的能量減少。當(dāng)項(xiàng)數(shù)無窮時(shí)，其能量趨于0，從而傅里葉級數(shù)以均方差最小逼近原周期信號,Gibbs現(xiàn)

10、象表明：,Properties of Continuous-Time Fourier Series,3.5 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì),學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對概念的理解，簡化計(jì)算。,一. 線性：,二.時(shí)移:,三.反轉(zhuǎn):,表明：奇信號的 是關(guān)于 的奇函數(shù)。,表明：偶信號的 是關(guān)于 的偶函數(shù)。,當(dāng) 時(shí)，有,當(dāng) 時(shí)，有,五. 相乘:,也即,六.共軛對稱性:,由此可推得，對實(shí)信號有： 或,又，偶信號， ，,（ak為實(shí)偶函數(shù)）,奇信號， ，,（ ak為虛奇函數(shù)）,故實(shí)偶信號x(t),故實(shí)奇信號x(t),七.Parseval 定理：,表明：一個(gè)周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和。,令,則,

11、例1：,-T,1,T,0,例2：周期性矩形脈沖,將其微分后，可利用例1表示為,根據(jù)時(shí)移特性，有,由例1知,Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals,一.離散時(shí)間傅里葉級數(shù)（DFS） Discrete-Time Fourier Series,3.6 離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)表示,考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: 該信號集中每一個(gè)序列都以 為周期，且該集合中只有 個(gè)信號是彼此獨(dú)立的。,這個(gè)級數(shù)就稱為離散時(shí)間傅里葉級數(shù)（DFS）， 其中 也稱為周期信號 的頻譜。,二.離散時(shí)間傅里葉級數(shù)的系數(shù),三.周期性方波序列的

12、頻譜,時(shí),顯然 的包絡(luò)具有 的形狀。,周期性方波序列的頻譜,周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當(dāng)在 區(qū)間 考查時(shí)，也具有收斂性。不同的是，離散時(shí)間周期信號的頻譜具有周期性。,三. DFS的收斂,DFS 是一個(gè)有限項(xiàng)的級數(shù)，確定 的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而不存在收斂問題，也不會(huì)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。,3.8 傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng),Fourier Series and LTI Systems,LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信號加權(quán)了一個(gè)相應(yīng)的特征值。,對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),對離散時(shí)間系統(tǒng),、 被稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。,對 而言，是以 為周期的。,如果一個(gè)LTI系統(tǒng)輸入周期性信號 或,則,* 可見，LTI系統(tǒng)對周期信號的響應(yīng)仍是一個(gè)周期信號，LTI系統(tǒng)的作用是對各個(gè)諧波頻率的信號分量進(jìn)行不同的加權(quán)。,則,例：某離散時(shí)間LTI系統(tǒng)， 輸入為 ，求輸出 。,即：,由,得,將 代入微分方程得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為,例：求下面微分方程描述的LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng),解：已知,則,3.9 濾波( Filtering),這部分自學(xué)。第6章還會(huì)深入討論濾波器問題。,3.12 小結(jié) Summary,本章主要討論了： 復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切L