幾何與代數(shù)課件：矩陣的基本概念

1、,幾何與代數(shù),2010年國(guó)家級(jí)精品課程,2,問(wèn)題式預(yù)習(xí)、思考題,2. 矩陣的乘法與數(shù)的乘法之間有什么不同性質(zhì)？,1. 矩陣的乘法除定義外還有其他運(yùn)算方法嗎？,2x y = 0 x +2y = 3,思考題：(1) 的矩陣形式(2),向量形式(3),請(qǐng)?jiān)谄矫嫔戏謩e作圖描述(1)和(3)的幾何含義。,(1)和(3)中哪種形式的解更容易通過(guò)幾何圖形得到？,對(duì)任意向量b, 都有解嗎？,3,思考題,2x y = 0 x +2y = 3,(1) 的矩陣形式(2),向量形式(3),請(qǐng)?jiān)谄矫嫔戏謩e作圖描述(1)和(3)的幾何含義。,(1)和(3)中哪種形式的解更容易通過(guò)幾何圖形得到？,對(duì)任意向量b, 都有解嗎？

2、,第一章 行列式和線(xiàn)性方程組的求解,4,問(wèn)題1：2元線(xiàn)性方程組的Cramer法則能否推廣到n元？,問(wèn)題2：n階行列式的定義和計(jì)算？,第二章 矩 陣,1. 矩陣的乘法與數(shù)的乘法之間有什么不同性質(zhì)？,2. 方陣A可逆的充要條件有哪些？,3. 矩陣的秩反應(yīng)了矩陣的什么本質(zhì)特征？,4. 初等陣與初等變換有什么關(guān)系？,教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配,第二章 矩 陣,矩陣的基本概念,幾種特殊的方陣,一. 矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算,三. 矩陣的轉(zhuǎn)置,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,二. 矩陣的乘法,Amn = (aij)mn,1. 三角形矩陣,2. 對(duì)角矩陣, = diag(1, 2, , n),3.數(shù)量矩陣,4. 單位矩陣,En =

3、(ij), = (ij),= (i ij),5. 行階梯矩陣,6. 行簡(jiǎn)化階梯陣,主元全為1,主列為單位列向量.,0行最下方;主元列標(biāo)隨行標(biāo)遞增,1. 加法,注1: A, B同型.,C = A+B = (aij+bij)mn,注2: 負(fù)矩陣 A = (aij)mn,注3: 減法：,2. 數(shù)乘,kA = (kaij)mn =,向量: kl = (kailbi),(A, B是同型矩陣),kA lB = (kaij lbij)mn,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,一. 矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算,A B = A + (B),3. 性質(zhì),設(shè)A, B, C, O是同型矩陣, k, l是

4、數(shù), 則,(1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB.,(9) kA = 0 k = 0 或 A=O.,(10) A + X = B X = B A.,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,20200 +50100 +30150 +25180,18000,二. 矩陣的乘法,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,C = AB

5、,18150,16750,10480,10240,9680,例2. 四個(gè)城市間的單向航線(xiàn)如圖所示. 若aij表示從i市直達(dá)j市航線(xiàn)的條數(shù), 則右圖可用矩陣表示為,bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .,從 i 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到達(dá) j 市航線(xiàn)的條數(shù) = ?,= A A,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,1. 設(shè)A = (aij)ms , B =(bij)sn , 則A與B的乘積是 C = AB = (cij)mn = ( Ai* B*j)= , 其中,注1: 時(shí)才有意義，且 .,計(jì)算C=AB.,例3. 設(shè),解:,

6、第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,C = (A1 , A2),= A1+3A2,= (A1+3A2, 2A1, 3A1+A2),第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,2. 設(shè)A = (aij)ms , B =(bij)sn , 則A與B的乘積是 C = AB = (C1,C2,Cn) , 其中,A1,A2,As,Bj,Cj,計(jì)算C=AB.,例3. 設(shè),解:,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,C =,C = (A1+3A2, 2A1, 3A1+A2),=,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,3. 設(shè)A = (aij)ms , B =(bij)sn , 則A與B的乘積是,C = AB ,

7、 其中,1. 設(shè)A = (aij)ms , B =(bij)sn , 則A與B的乘積是 C = AB = (cij)mn = ( Ai* B*j)=,(1) (kA)B = k(AB), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (AB)C = A(BC).,注2:,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,2. C = AB = (C1,C2,Cn) , 其中,注1: 時(shí)才有意義，且 .,3. C = AB ,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算, 結(jié)合律的妙用之一,(還有“妙用之二”喔!),第二章 矩陣,2.1 矩

8、陣的代數(shù)運(yùn)算,CB =？A = BC =？,A2011 =？,注3: 方陣的正整數(shù)冪：,A2=AA,Ak+1=AkA =AAk, 結(jié)合律的妙用之一,(還有“妙用之二”喔!),A2011 =,?,1,2,3,2,4,6,3,6,9,= 11 + 22 + 33,= 14.,A2011 = (BC)(BC)(BC)(BC)(BC)(BC),= B (CB)(BC)(CB)(CB) C,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,= 142010 BC,= 142010A,BC CB,AB = ( Ai* B*j)=,二. 矩陣的乘法,注4:,注5:,不一定都有意義,同型但不相等,當(dāng)AB = BA時(shí)， 稱(chēng)

9、A,B可交換.,有意義但不同型,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,(AB)k,Ak Bk,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,只有AB=BA時(shí)等式成立,(AB)k = AB AB AB,(A+B)2 = (A+B) (A+B) = A2 + B2+AB+BA,(A+B)(AB) = A2B2AB+BA A2B2,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,Ak Bk,注意!,注5:,注6：對(duì)角矩陣的性質(zhì), =,= (i ij),(ti ij),= (i ti ij),= (ti ij),(i ij),=,t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0

10、 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,= (ti i ij),第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,注6：對(duì)角矩陣的性質(zhì), =,=,t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,Em Amn = Amn = Amn En,(a Em) Amn = a Amn = Amn (a En),設(shè),則,注意: (1) AB與BA是同階方陣，但AB 不等于BA. (2) 雖然A, B都是非零矩陣, 但是 AB = 0.,例5,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,設(shè),求 AB 及

11、AC.,解,注意: 雖然A不是零矩陣, 而且AB=AC, 但是B不等于C. 這說(shuō)明消去律不成立!,例6,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,注7: 消去律一般不成立.,比如:,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,注意!,注意: (1)雖然A,B都是非零矩陣, 但AB = 0. (2)雖然A不是零矩陣, 而且AB=AC, 但是B不等于C. 這說(shuō)明消去律不成立!,注8：方陣的多項(xiàng)式,設(shè)A為一個(gè)方陣, f(x)為一個(gè)多項(xiàng)式,稱(chēng)之為方陣A的一個(gè)多項(xiàng)式.,f(x) = asxs + as1xs1 + + a1x + a0,f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E,例6：,

12、第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,第二章 矩 陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,一. 矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算,二. 矩陣的乘法,三. 矩陣的轉(zhuǎn)置,kA lB = (kaij lbij)mn,AB = (Ai* B*j)=,矩陣乘法是否有意義，乘積矩陣的行數(shù)列數(shù),交換律一般不成立, =,消去律一般不成立,f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,三. 矩陣的轉(zhuǎn)置,1. 設(shè)矩陣A = (aij)mn,則矩陣A的轉(zhuǎn)置 為,2. 性質(zhì)：,(1) (AT)T = A,nm,(2) (A+B)T = AT + BT,(4) (AB)T = BTAT

13、.,(3) (kA)T = kAT,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,穿脫原理,3. 對(duì)稱(chēng)矩陣,滿(mǎn)足 AT = A.,A = (aij)mn為對(duì)稱(chēng)矩陣 m = n且aij = aji (i, j = 1, 2, , n).,反對(duì)稱(chēng)矩陣A ：,滿(mǎn)足 AT = A.,A = (aij)mn為反對(duì)稱(chēng)矩陣 A為方陣且aij = aji (i, j = 1, 2, , n).,比如：,為對(duì)稱(chēng)矩陣；,為反對(duì)稱(chēng)矩陣.,反對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角線(xiàn)元素全為0,第二章 矩陣,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,D =,= |A| |B|,= (1)mn |A| |B|,A,B為m,n階矩陣,=,=,思考：能否利用這些結(jié)果證明 |A

14、B| = |A| |B|？ (其中A,B為n階矩陣) (可先考慮 n=2的情況),第二章 矩陣,證. 設(shè)D =,分析：|AB| = |A| |B| (以A,B為2階方陣為例證明),= |A| |B|,a11b11+a12b21,a11b12+a12b22,a21b11+a22b21,a21b12+a22b22,= |AB|,=(1)22|AB| |C|,第二章 矩陣,=,= |AB| (1)22 |C|,證. 設(shè)D =,分析： |AB| = |A| |B| (以A,B為2階方陣為例證明),= |A| |B|,a11b11+a12b21,a11b12+a12b22,a21b11+a22b21,a

15、21b12+a22b22,= |AB|,=(1)22|AB| |C|,第二章 矩陣,=,= |AB| (1)22 |C|,1,0,0,1,1,0,0,1,=|AB| (1)nn(1)n,定理2.1(乘法定理) A,B為n階方陣, |AB| = |A| |B|,|A| |B|=,=(1)n n,= (1)n(n+1)|AB|,= |AB|,第二章 矩陣,2.2 可逆矩陣,證：,注6：矩陣乘積的交換率一般不成立,A,B為n階方陣, |AB| = |BA| ?,|AB| = |A| |B|,= |B| |A|,= |BA|,注7: 矩陣乘法的消去率一般不成立.,？,|AB| |E|,2. 矩陣的乘法與數(shù)的乘法之間有什么不同性質(zhì)？,1. 矩陣的乘法除定義外還有其他運(yùn)算方法嗎？,2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,C = AB = (cij)mn = ( Ai* B*j)=,C = AB = (C1,Cn) ,矩陣乘法是否有意義，乘積矩陣的行數(shù)列數(shù),交換律一般不成立, =,消去律一般不成立,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,(A) 1(1-